复数的概念与运算-理科

1、第二节 复数的概念与运算一、课标考纲要求1 .复数的概念(1)理解复数的基本概念(2)理解复数相等的充要条件(3) 了解复数的代数表示法及其几何意义2 .复数的四则运算(1)会进行复数代数形式的四则运算(2) 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义二、基础知识梳理1 .复数的基本概念(1) .概念：形如a bi (a, b r)的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集.通常用c表示.(2) .虚数单位为i ：i 21.i和实数在一起，服从实数的运算律(3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限

2、内的点都表示虚数.(4) .复数的几种形式：.代数形式：z a bi (a, b r),其中a叫实部记作re(z) , b叫虚部记作im(z)；几何形式：将(a,b)作为复平面内点的坐标，那么 z与复平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与复平面内所有的点构成的集合之间的一一映射；因此复数可以用点来表示，点称为复数的几何形式.即 z (ab将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量，因此复平面内的向量也是复数的一种表示形式， 称为向量形式.即z orz(5) .复数的分类： .实数 b = 0,即z a .虚数 b 0 .纯虚数 a = 0且b 0,即z bi(6) .共轲复数：若

3、两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数叫做互为共轲复数，复数z的共轲复数用z表示，即z a bi (a, b r),则z a bi (a, b r)(7) .两个复数相等的定义：a bi c di a c且 b d(其中 a, b, c, d, r)；特别地 a bi 0 a b 02.复数的基本运算(1) .复数的运算法则：代数形式：运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，特别注意：复数的除法运算，运算结果可以通过乘以共轲复数将分母分化为实数；即：a bi c di a c b d i; a bi c di (ac bd) (ad bc)iabiabicdi(ac bd)(b

4、cad)i22cdicdicdicd向量形式：加、减法满足平行四边形和三角形法则，若为坐标满足向量的坐标运算(2) .运算定律：复数的加法满足交换律、结合律即 zi,z2,z3 c,都有 4 z24 1；44 z3 zi z2 z3复数的乘法满足交换律、结合律、分配律即zi,z2,z3c,ziz2z2zi；ziz2z3z1z2z3；ziz2z3zi z3z2 z3(3)距离：模：zja2 b2 ；复平面内的两点间距离公式：d |zi z23、复数的性质(1) .共轲复数的性质：z zz1 z2 zi z2z z 2a , z z 2bi ( z a + bi )z z | z|2 | z |2

5、zi z2zi z2zi z2ziz2z23z2(z2 0)n/一、nz (z)特别地：z r z z;非零复数z是纯虚数z z 0注：两个共轲复数之差是纯虚数.(x)之差可能为零，此时两个复数是相等的(2) .模运算的性质z|z|；zi z2i 同；马斗z2 0);znzn ； iz i z z i;z2z2i特别地：z2 区 z2 z2 z z(3) .复数的乘方： zn z z z.z(n n )；nrc f m mn mnzm、n m n .、n n n对仕何 z , zi, z2 c 及 m,n n 有 z z z ,(z ) z ,(z z2) zi z2i i注：以上结论不能拓展

6、到分数指数哥的形式，否则会得到荒谬的结果，如i2 i,i4 i若由i2 (i4)3 i i就会得到i i的错误结论.(4) .绝对值不等式：设zi, z2是不等于零的复数，则 zi| 出| |zi z2i |zi| |z2 .左边取等号的条件是z2zi(r,且0),右边取等号的条件是z2zi(r,0). zi| |z2|zi z2|zi|z2 .左边取等号的条件是z2zi(r,0),右边取等号的条件是z2zi ( r,0).ulmrmuniuumu uluulumuir注：ziz2z2z3z3z4l zn iznzizn.4.复数常用的结论：n4ni 4 n 24n 34 nn . n i .

7、n 2 . n 3(1) . i 周期为 4；即 i i,i i,i i,i i ； i i i i 0, (n z)_2(2). (1 i) 2i,(3).若是1的立方虚数根，即1,12 - n n 1 n 20,0(nz)5.易错点(1).两个复数不能比较大小；当且仅当两个复数全为实数时，才能比较大小.注：若z1,z2为复数，则1 若 z1z20 ,则 z1z2 .(x) z1,z2为复数，而不是实数1 i1 ii,i1 i1 i2 若 z1 z2 ,则 z1 z2 0 . (v)若a,b,c c,则(a b)2 (b c)2 (c a)2 0是a b c的必要不充分条件.(当(a b)2

8、 i2 , (b c)2 1, (c a)2 0时，上式成立)(2) .在实数集成立的|x| x2.当x为虚数时，|x| x2,所以复数集内解方程不能采用两边平方法.即在复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x的一兀二次方程ax2 bx c 0(a 0)时，应注意下述问题：当a,b,c r时，若 0,则有二不等实数根 x12b ;若 =0,则有二相等实数根 x12;2a, 2a若 0,则有二相等复数根x1,2b |i ( x1,2为共轲复数).2a当a,b,c不全为实数时，不能用 方程根的情况.不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立三、高考真题在线题型一、复数的概念例

9、1. (2009 福建理13)复数i2(1 i)的实部是 .【解析】i2(1 i) 1 i,所以实部是-1【答案】-1例2. (2007 广东).若复数(1 bi)(2 i)是纯虚数(i是虚数单位，b为实数)，则b =a. 2 b.- c. -d. -222【解析】(1 bi)(2 i) 2 b (1 2b)i ,而复数(1 bi)(2 i)是纯虚数，那么由2 b 0且1 2b 0得b=2,故选a。【答案】a方法总结：求解复数概念方面的题目，关键在于将复数化为代数形式后，利用相关概念，找到充要条件进 行求解.过关测试1. （2006年福建卷）设a,b,c,d r,则复数（a bi）（c di）

10、为实数的充要条件是a. ad bc 0b.acbdc.ac bd 0 d. ad bc 02. （2005年北京卷）若ziz2且二为纯虚数，则实数 a的值为z2题型二、复数相等例3. （2012高考江苏3）bi111 2i7 （i为虚数单位），则a b的值为,11 7i r【解析】由a bi ii得a bi11 7i11 7i (1 2i)2i1 2i (12i)(1+ 2i)15 15i 53所以a5,b3,a b例4 （2010辽宁理数）（2）设a,b为实数，若复数1 2ia bi“31a. a , b22b.a 3,b 1c.d.1,b,1 2i【解析】由工a bi1 i 得1 2i (

11、a b) (ab）i所以方法总结：复数相等问题关键抓住定义， 利用实部与实部相等,复数不能比较大小，当且仅当复数为实数的时候，才能比较大小过关测试3. （2010江西理数）1.已知（xa. x 1, y 1b.4. （2006年浙江卷）已知故选a虚部与虚部相等,建立方程求得相关参数a. 1 2ib.题型三、复数的几何意义例5（2011年高考山东卷理科a.第一象限b.i）（1 i） y ,则实数x,y分别为1,y 2c.x 1,y 1d.x 1,y 22i2）复数ni ，(2 i)23 4i55例6 （2010北京理数）在复平面内，复数其中m,n是实数,i是虚数单位,m nic.d.2（i为虚数

12、单位）在复平面内对应的点所在象限为c.第三象限d.第四象限4 34一i故坐标为（-,一）,第四象限.555-2-对应的点的坐标为1 i【解析】_2i_i（1 i） 1 i故坐标为（-1,1）1 i【答案】（-1,1 ）方法总结：复数的三种形式间的转化，代数形式uuiroz （a,b）z a bi 复平面内的点 z（a,b）复平面内的向量过关测试1 i 5. （2006年北京卷）在复平面内，复数 对应的点位于ia.第一象限b.第二象限c. 第三象限d. 第四象限6.（2010 北京文数）在复平面内，复数 6 5i, 2 3i对应的点分别为点c对应的复数是a. 4 8i b.题型四、复数的模8 2

13、i c. 2 4i d.a,b若c为线段ab的中点，则4 i例7（2011年高考辽宁卷理科1） a为正实数，i为虚数单位，ai2,则2 =ia. 2 b. .3 c. 2d.1【解析】q a_l |1 ai | d a2 2, a 0,故 a v3. i【答案】：b例8 （2010江苏卷）设复数z满足z（2 3i） 6 4i （其中i为虚数单位），则z的模为.【解析】考查复数运算、模的性质；法 1 ：先求z 62 2i ,故z 2法2:由复数模的性质由 2 3iz(2 3i) 2(3 2i), 2 3i 与 3 2i 的模相等，得 z 2.【答案】：2方法总结：复数的模，常伴随着复数的运算，即

14、常规方法是先求出所求复数的代数形式，然后利用复数模计算公式求解.也可以利用复数模的性质，抓不变量，找等量关系进行求解过关测试7. （2008 广东）已知 0 a 2,复数z的实部为a,虚部为1,则z的取值范围是a. (1,5)b. (1,3)c . (1,v5)d. (1, 3)8. （2010山东质检）设复数 z满足关系式z |z|a. 3 i b.4题型五、复数的运算c.d.例9 (2012高考真题四川理2)复数2(1 i)2ia. 1b.c.d.【解析】直接化简为代数形式:(1i)22i1 2i2i.2i2i2i例10 (2012高考真题山东理1)若复数z满足z(2i)117i (i为虚

15、数单位)，a. 3 5ib.3 5ic.3 5id.3 5i解析z(112 i (27i)(2 i) i)(2 i)15 25i55i .故选a.例11(2011年高考湖北卷理科1)i为虚数单位，则1 i 2011(1 i)a. ib.c.d. 一，1 i , 一2【解析】因为1i,法1：利用i21 i1,2011 2011i505i法2:利用in是以4为周期的，则有20112011i 4 502ii所以选a.方法总结：复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一,复数代数形式的运算：加减法按合并同类项法则进行；乘法展开、除法须分母实数化.乘方运算时，若次数较低可以直接计算，若次数较高时常常隐含着

16、周期，利用周期进行转化 .如：in的周期为4.运算结果都必须为复数的代数形式，因此，一些复数问题只需设z a bi ( ab r)代入原式后，就可以将复数问题化归为实数问题来解决 过关测试9. (2012高考真题安徽理1)复数z满足:(z i)(2i) 5;则 za. 2 2ib.2ic.d.10. (2010天津理数)i是虚数单位，复数1 3i1 2ia. 1 ib.5 5ic.5 5id.11. (2009 -广东理 2)设z是复数，a(z)表示满足zn 1的最小正整数n ,则对虚数单位ia(i)a. 8b.6c.4d.2题型六：共轲复数例12(2011浙江卷理科2)把复数z的共轲复数记作

17、i , i为虚数单位，则(1z)z =a. 3 ib.c.1 3id.【解析】(1 z)zz zz 1 i (1 i)(1 i) 1故选a例13 (2008山东)设z的共轲复数是 z ,且z+z=4,zz =8,则三等于za. 1b.c.【解析】本题考查共轲复数的概念、复数的运算，可设出复数的代数形式,z+z =4则 z 2 bi,z 2 bi ,由 z z 8得4 b28 ,则 b 2 ,-z-2z8(22i)28方法总结：法1：利用共轲复数的定义，常先计算出 算相关问题，法2:共轲复数的性质解题过关测试z a bi的形式,再用定义得到zbi,最后直接计12.(2011年高考全国新课标卷理科

18、1)复数21 2i的共轲复数是.3.a. -i 5b.3.i5c.d.13.(2011年高考江西卷理科1)若za.b.c.d.题型七、复数与其它知识的综合例14(2012高考真题新课标理3)下面是关于复数z的四个命题：其中的真命题为p2 : z2 2ip3 ： z的共轲复数为p4 ： z的虚部为1a. p2,p3b.pi, p2c.d.【解析】因为2( 1i)(1 i)( 1i)i)22i ,共轲复数为z 1 i, z的虚部为 1,所以证明题为p2, p4 ,故选 c.例15(2012高考真题陕西理3)设 a,b ri是虚数单位，则“ab 0” 是“复数b一为纯虚数”的ia.充分不必要条件b.

19、必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件【解析】 ab 0 ab0或b 0,而受数a a bi是纯虚数a0且b0i是纯虚数，故选b.方法总结：复数与其它知识的综合问题在于抓住复数为背景，利用其它章节的知识来来解决 识的综合性和关联性.过关测试.关键在于知14. (2007年山东）若z cos isin（i为虚数单位），则使z21的 值可能是a.-6b.c.d.15. (2009为a.13四、重庆1.2.3.4.5.6.湖北理）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n ,则复数（m ni）（nmi）为实数的概率b.c.d.1129年高考（2012重庆理11）若（1（2011重庆理

20、1）a. 1 1i2 2（2010重庆理数（2009重庆理数a. 2 i（2008重庆理数a. 1 2i（2007重庆理数7. (20068.(2005a.9.(2004复数b.i)(2.2.3i i1 i11）已知复数2)1)b.i) a bi.4i其中a,br,i为虚数单位,c.d.已知复数z的实部为. 2 i一 2复数1+1i1 2ic.11)重庆11）复数1,虚部为2,5id.复数一m的虚部为2 i31 2i3重庆卷 1) (1 _i) 2005 1j.3i的值是9 20052d.。2005一 2重庆卷）设复数1历，则z2a. 3b.c.2z (3id.3i五、2014权威预测复数的重点是复数的概念及代数形式的运算.难点是复数的复数的四则运算，复数的概念及其运算是高考命题热点；复数的概念，要搞清楚实部与虚部,2i 1,共轲复数等概念，及复数的运算 .从近几年高考试题来看，主要考查复数的概念及其运算，难度不大，常以选择、填空题出现，分值为 试卷中属于必考题，应引起注意 .六、挑战高