导数题型分类大全

1、导数题型分类(a)题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则(一)导数的定义：函数y f(x)在xo处的瞬时变化率limx 0为函数y f (x)在x x0处的导数，记作f/(x0)或y/yx即f (xlim 0x ox) f(x )称f/(x0)limx 0f(x0x) f(x0)如果函数y 应着一个确定的导数xf (x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数,此时对于每一个 x (a,b),都对f/(x),从而构成了一个新的函数 f/(x)。称这个函数f/(x)为函数yf (x)在开区间内的 导函数，简称导数，也可记作y/,即f/(x)= y/ =limxf(x x) f(x)0x导

2、数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数f (x)在x0处的导数y/x x0，就是导函数f/(x)在x0处的函数值，即x x0f/(x0)。1.函数yf x在x a处的导数为a,求“用f a 4t f a 5t2.求y丁在点x 3处的导数。x 3(二)常见基本初等函数的导数公式和运算法则c 0(c 为常数)；(xn) nxn1,n(sin x) cosx;(ex)xx xe ; (a ) a ln a ；(in x)1-； x(log a x)a法则1:u(x) v(x)u (x)(x)法则 2： u(x)v(x)(cosx)1.一 log ex a一一u (

3、x)v(x)sin x;u(x)v (x)法则3:u(x)v(x)ju (x)v(x)u(x)v (x)v2(x)(v(x)0)(理)复合函数的求导：若y f(u),u(x)，则 yxf (x)g (x)如，(esinx);(sin ex)公式(xn)/n 1 .nx 的特例：(x),(jxj题型二：利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义： 函数y f (x)在x0处的导数是曲线y f (x)上点(xo, f (x。)处的切线的斜率.因此，如果f (x0)存在，则曲线y f (x)在点(x, f (x)处的切线方程为x,则f (1)的值例1.若函数f (x)满足,_13_2f(x) 3x3

4、 f (1) x2例2.设曲线y eax在点d处的切线与直线x 2y 1 0垂直，则a 练习题31 31 .曲线y 4x x在点1, 3处的切线方程是y x 23x y 0,则p点的坐标为(1, 0)42 .若曲线f(x) x x在p点处的切线平行于直线43,若曲线y x的一条切线l与直线x 4y4.求下列直线的方程：(注意解的个数)(1)曲线y x3 x2 1在p(-1,1)处的切线；解：(1) 点p( 1,1)在曲线 y x3 x2 1 上，y/8 0垂直，则l的方程为4x y 3 0(2)曲线y x2过点p(3,5)的切线；3x2 2x k y/ |x 1 3-2 1所以切线方程为y 1

5、 x 1，即x y 2 0(2)显然点p (3,5)不在曲线上，所以可设切点为 a(x0，y0),则y02x0又函数的导数为y/ 2x所以过a(x0,y0)点的切线的斜率为k y/|x x0 2x0 ,又切线过a(x0,y0)、p(3,5)点，所以有2x0v。5x0 3，由联立方程组得,x01 或 x05y0 厂 y025,即切点为(1, 1)时，切线斜率为k1 2x0 2;；当切点为(5, 25)时，切线斜率为k2 2x010 ；所以所求的切线有两条，方程分另i为 y 1 2(x 1)或y 25 10(x 5),即y 2x 1 或y 10x 255.设p为曲线c: y=x2+2x+3上的点，

6、且曲线c在点p处切线倾斜角的取值范围为，京则点p横坐标的取值范围为()1 a. t, -2b. -1,0c. 0,11 -d. 2，16.下列函数中，在(0, +8)上为增函数的是()a.y=sinx b.xy xe3c. y x xd.y=ln(1+x) x7.设f(x),g(x)是 r 上 的可导 函数，f (x),g (x)分别 为f(x),g(x)的导数，且f (x)g(x) f (x)g (x)0 ,则当axf(b)g(x)c.f(x)g(a)f(a)g(x)b.f(x)g(x)f(b)g(b)d.f(x)g(x)f(b)g(a)题型三：利用导数研究函数的单调性1 .设函数y f(x

7、)在某个区间(a,b)内有导数，如果在这个区间内,则 y f(x)在 这个区间内 单调递增;如果在这个区间内,则 y f(x)是这个区间内 单调递减.2 .求函数的单调区间的方法：(1)求导数y f (x) ；(2)解方程f (x) 0；(3)使不等式f (x) 0成立的区间就是递增区间，使 f (x) 0成立的区间就是递减区间3 .若函数yf (x)在区间(a,b)上单调递增，则f(x)_0在(a,b)恒成立.例：1.函数y = xcosx sinx在下面哪个区间内是增函数()(a)(-, -)(b) (, 2 )(c) (3-, -)(d) (2,3)22222 .函数f(x)=xlnx(

8、x0)的单调递增区间是.3 .已知函数f(x) ex ax 1在r上单调递增，则a的取值范围是 题型四：利用导数研究函数的极值、最值 。34 21. f (x) x 3x 2在区间1，1上的最大值是2222 .已知函数y f(x) x(x c)在x 2处有极大值，则常数 c=63 .函数y 1 3x x3有极小值1 ,极大值 3a.-1vav2 b.a v-3 或 a6 c.-3 vav6 d.a v-1 或 a2作业和练习：1 .已知函数f(x) x2 2ax a在区间(一, 1)上有最小值，则函数g(x) f(x)在区间(1, x+ 8)上一定()a.有最小值b.有最大值c.是减函数d.是

9、增函数2 .已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x 1处取得极值，求过点 a(0, 16)作曲线y=f(x)的切线，求该切线的方程3 .已知函数f (x) xln x(1)求f(x)的最小值(2)若对所有x1都有f(x) ax-1,求a的取值范围124.已知函数f(x) x lnx,其中a为大于零的常数. 2a(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间和极值(2)当x 1,2时，不等式f(x) 2恒成立，求a的取值范围32y=3x+15 .已知函数f(x) x ax bx c,过曲线y f (x)上的点p(1, f(1)的切线方程为(i)若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；(

10、n)在(i)的条件下，求函数 y f(x)在3, 1上的最大值；(出)若函数y f(x)在区间2, 1上单调递增，求实数 b的取值范围解.(1)由 f(x) x3 ax2bx c,求导数得 f (x) 3x2 2ax b.过y f (x)上点p(1，f (1)的切线方程为：y f (1) f (1)(x 1),即 y (a b c 1) (3 2a b)(x 1).而过y f (x)上p1, f(1)的切线方程为y 3x 1.3 2a b 3 2a b 0即故ac3a c3y*)在*2时有极值，故f ( 2) 0, 4ab 12由得 a=2 , b=- 4, c=52 f (x) 3x3 x

11、2时，f (x)一 24x 4 (3x 2)(x 2).一2一，0；当 2 x 时，f(x)3当 2 x 1 时，f(x) 0. f(x)极大0；f(2) 13 又 f(1) 4,f (x) x3 2x2 4xf(x)在3, 1上最大值是13。2(3) y=f(x)在2, 1上单调递增，又 f (x) 3x 2ax b，由知 2a+b=0。依题意 f (x)在2, 1上恒有 f (x) 0,即 3x2 bx b 0.bx 1 时，f(x)min f (1) 3 b b 0, b 6当 6;bx 2日t f (x)min f ( 2) 12 2b b 0, b当 6;22 1 时，f(x)min

12、 0,则0 b 6.当 b12综上所述，参数b的取值范围是0，)326,已知三次函数f(x) x ax bx c在x 1和x1时取极值，且f( 2)4.(1)求函数y f(x)的表达式;(2)求函数y f(x)的单调区间和极值；若函数g(x) f(x m) 4m(m 0)在区间m 3，n上的值域为4,16，试求m、n应满足 的条件.2解： f (x) 3x 2ax b ,由题意得，1，1是3x2 2ax b 0的两个根，解得，a 0，b 3.3再由 f( 2)4可彳导c 2.f(x)x 3x 2.(2) f (x)3x2 33(x 1)(x1)当 x1 时，f(x) 0 ；当 x 1 时，f

13、(x) 0 ；当 1x 1 时，f (x)0 ；当x 1 时，f (x) 0；当x 1时，f (x) 0. .函数f(x)在区间(，1上是增函数；在区间1,1上是减函数；在区间1,)上是增函数.函数f(x)的极大值是f( 1) 0,极小值是f4.(3)函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移 m个单位，向上平移 4m个单位得到的，所以，函数f(x)在区间 3，n m上的值域为 4 4m，16 4m ( m 0).而 f( 3)20 , . 4 4m 20 ,即 m 4于是，函数f(x)在区间 3，n 4上的值域为 20，0.令f(x) 0得x 1或x 2.由f(x)的单调性知，1加 4 2

14、,即3刑n 6.综上所述，m、n应满足的条件是：m 4,且3制n 6.7.已知函数 f(x) x alnx , g(x) ，(a r). x(n)设函数h(x) f(x) g(x) ,求函数h(x)的单调区间；(出)若在1,e上存在一点x0,使得f(x0) g(x0)成立，求a的取值范围窜；)1 x - 1当 3=1 时.f( m j 二口值，f(x )=1- =,(粉)x xx(oj 1 1(1 , +8 )fn.- 1 . 1十才一己一算一仃二(1十同一卜.力卜二(1同西ri x - 1x- - - k i &m jt堂士 照，即日)-1 时，在f (l 1#曰，上 hy k)(k 在f

15、+ d 所以收乂】花(。if )上岸调吹在t卜3, 中3、上单出摩；(7分1 k39口.朗ai时，在 (1,十0，上旧(n 口， 厮以画藏取口上隼遍递增.分j(111) ie 11,司上存在一点便褐(冷)工口工)威qfb1十己旧十1由m2户e1 + a ,且0-1自2 : 1因为 -e-1, e- 12 +1所以a-；1。分 e -1份当即m4酎j hk)在3团上单调通增.所以工及)最小值为1 )由杆(1=1+1+a4。可得4丈-2 : 当1+之七即。 ag-1时.可得h( 乂)是小值为hf 1+总) 因为。4 in(1 +a) 1 j所以 j 0 aln 1+a) 2jkw h 1 +a)

16、-一丁或分】1处取极值,8,设函数 f(x) x(x a)(x b)(1)若f(x)的图象与直线5x y 8 0相切，切点横坐标为2 ,且f(x)在x求实数a，b的值；(2)当b=1时，试证明：不论 a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点.2解：(1)f (x) 3x 2(a b)x ab.由题意f5, f,代入上式，解之得：a=1, b=1.(2)当b=1 时，令f (x) 0得方程 3x2 2(a 1)x a 0.2因 4(a a 1)0,故万程有两个不同实根xl,x2不妨设x1x2,由f (x) 3(x x1)(x x2)可判断f (x)的符号如下：当 x x1时，f (x) 0

17、；当 x1x x2时，f (x) v 0 ；当 x x2时，f (x) 0因此x1是极大值点，x2是极小值点.，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的 极值点。题型五：利用导数研究函数的图象1.如右图：是f (x)的导函数，f/(x)的图象如右图所示，则 f (x)的图象只可能是(d )(a)(b)(q(d)y x3 4x 1的图像为2 .函数 3( a )3 方程2x3 6x2 7 0在(0,2)内根的个数为a、 0 b 、 1 c 、 2题型六：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围一，、13_2_ 2 .一.f(x) x 2ax 3a x b,0 a 1.1.设函数3

18、(1)求函数f(x)的单调区间、极值.(2)若当x a 1，a 2时，恒有1f (x)| a,试确定a的取值范围解：（1）f (x) x4 ax23a = (x 3a)(xa)令 f (x) 0得 x1 a,x2 3a列表如下:(-00, a)(a,3a)3a(3a, +0)f (x)f(x)极小极大. f(x)在3a)上单调递增，在（-0, a）和（3a, +）上单调递减x a时,f极小（x）b -a33,x 3a时，及小（x） f (x)2_.4ax 3a 0 a 1,对称轴x 2a a 1. f (x)在a+1a+2上单调递减fmax (a1)2 4a (a1)23a 2a 1 f mi

19、n_ 2(a 2) 4a(a一、 一 22) 3a 4a 4依题1f (x) | fmin | a 即 12a1| a,|4a 4|4- a解得51，又0 a，a的取值范围是q1）2.已知函数f (x) = x3+ ax2 + bx+ c在x= 3与x= 1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f （x）的单调区间若对x 1,2，不等式f解：（1） f （x） =x3 + ax2+bx+c（x） c2恒成立，求c的取值范围。f （x） = 3x2+ 2ax+ b212由 (3)=94 , a+ b = 03f (1) = 3+ 2a+b = 0得a=2b= 2f (x) =3x2 x2= (3x

20、 + 2) (x1),函数f (x)的单调区间如下表:x2(一,-3)232(-3,1)1(1, + )f (x)十0一0十f (x)极大值极小值所以函数f （x）的递增区间是（一,一3）与（1,+ ）,递减区间是（一 3,1）1222(2) f (x) = x3 2 x2 2x + c, x 1, 2，当 x= 3 时，f (x) = 27 +c为极大值，而f (2) =2+c,则f (2) = 2+c为最大值。要使 f (x) c2 (x 1, 2)恒成立，只需 c2 f (2) =2+c,解得 c 1 或 c 21.3v b=( 2, 2 ).题型七：利用导数研究方程的根v -1.已知平

21、面向量a=( 43 , 1).v vvuvvvvv(1)若存在不同时为零的实数k 和 t ,使 x = a +(t2 3) b , y =-k a +t b , x y ,试求函数关系式k=f；(2)据(1)的结论，讨论关于tv v v v解：(1) x, y , x y =0的方程f(t) k=0的解的情况.即a +(t2-3) b ( -k a +t b )=0.整理后得v2-k a +t-k(t2-3)v vv2a b + (t2- 3) b =0v v. a b=0,v2v2a =4, b =1,，上式化为-4k+t(t2-3)=01,即 k= 4 t(t2-3)(2)讨论方程14 t

22、(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线1f(t)=4 t(t2-3)与直线y=k的交点个33于是 f (t)=4 (t2-1)=4 (t+1)(t-1).令f (t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f (t)、f(t)的变化情况如下表:t(- oo , -1)-1(-1,1)1(1,+ 8)f (t)+0-0+f(t)极大值极小值1当t= 1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2 .1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=-21函数 他)=4 t(t2-3)的图象如图1321所示,可观察出：当k 2或kv 2时，方程f(t) k=0有且只有一解;11(2)当k= 2

23、或k=- 2时，方程f k=0有两解;(3)当一2 v k1, f (x) 1,且 f (f(x0)x0,求证：f(x0) x0.22解：(1) y f (x) 3x a,若f(x)在1,上是单调递减函数，则须y 0,即a 3x ,这样的实数a不存在.故f (x)在1,上不可能是单调递减函数.若f(x)在1,上是单调递增函数，则aw 3x2,2由于x 1,，故3x3.从而0a 1,u 1 ,2x0xou3,又 0 ao23xoxu2.已知a为实数,f(x)函数(x23)(x a)(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线,a的取值范围f( 1) 0(i)求函数 刈的单调区间(n)证明对任意

24、的x1、x2( 1,0),不等式i f(xi)f (x2) |16恒成立一 3q f (x) x3解：233.ax x - a f (x)22函数f (x)的图象有与x轴平行的切线,4a2f( 1) 0f(x) 0,x2a3x2f(x)f(x)f (x)的单调递增区间是1),(12,f(易知f(x)的最大值为1)25f(x)f(x)在1，0上的最大值m27对任意x1, x2( 1,0),恒有a3.已知函数f (x) in x 一 x2ax 3 20有实数解a的取值范围是f(x)3x2i衿)0, 1 x);单调减区间为f(的极小值为49m 一8 ,最小值 16i f(x1) f(x2)| m(1

25、)当a 0时，判断f (x)在定义域上的单调性i)2781,4916491613(x 2)(x 1)，又 f(0t5163(2)若f(x)在1,e上的最小值是 一，求a的值;2设 g(x) ln x a ,若 g(x)2 .x在(0,e上恒成立，求a的取值范围.题型九：导数在实际中的应用1.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点 。到底面中心5的距离为多少时，帐篷的体积最大?解：设oox m，则1 x由题设可得正六棱锥底面边长为：32 (x 1)28 2故底面正六边形的面积为:_34(.8 2x x2)2 =3.3

26、2,(单位:帐篷的体积为:v (x)3 3(822 12x x2)3(x 1) 1.3-2(1612x x3)(单位:v(x)求导得u(1223x2)o令 v(x)解得x(不合题意，舍去)，x 2,2时，v(x)v (x)为增函数;4时，v(x)v(x)为减函数。当x 2时，v(x)最大。答：当oo1为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为16丁32.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x(千米/1 q 3 y x3 x 8(0 x 120).小时)的函数解析式可以表示为：12800080已知甲、乙两地相距 100千米。(i)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？1002.5(ii )当汽车以多大的速度匀速行驶