导数知识点归纳和练习

1、一、相关概念1.导数的概念:y _f(x0x) f(xf(xo) = hm =hm 。x 0 x x 0x一、/注息：(1)函数f (x)在点x0处可导，是指 x就说函数在点x0处不可导，或说无导数。(2)x是自变量x在x0处的改变量，x2 .导数的几何意义函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义是曲线 线的斜率。也就是说，曲线 y=f (x)在点p (x 相应地，切线方程为 yy0=f/ (x0) (x x0)。3 .导数的物理意义若物体运动的规律是 s=s (t),那么该物体在时刻0时，有极限。如果 工 不存在极限，xx0时，而 y是函数值的改变量，可以是零。y=f (x)在点 p (

2、x0, f (x0)处的切0, f (x0)处的切线的斜率是 f (x0)。t的瞬间速度v= s (t )。若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v (t),则该物体在时刻 t的加速度a=v (t)。二、导数的运算1.基本函数的导数公式c 0; (c为常数)n 1nx ;(sin x) cosx ；(cosx) sin x ；(ex)ex；(ax)ax ln a ;1 in x ; x1 , l oga xtogae.x2 .导数的运算法则法则1:两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(u v) u v .法则2:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个

3、函数，加上第一个一一 一 一 一 . 一 函数乘以第二个函数的导数，即：(uv) u v uv .法则3:两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方：u uv 2uv (v 0)。v v3 .复合函数的导数形如y=f (x )的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解一一 求导一一 回代。法则：y/ lx = y/ lu ix 或者 f (x) f()*(x).三、导数的应用1 .函数的单调性与导数(1)设函数y f (x)在某个区间(a, b)可导，如果f(x)0,则f (x)在此区间上为增函数；如果 f(x) 0,则f(x)在此区间上为减函数。

4、(2)如果在某区间内 恒有f(x) 0,则f(x)为常数。2 .极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3 .最值：在区间a , b上连续的函数f(x)在a, b上必有最大值与最小值。但在开区间( a, b)内 连续函数f (x)不一定有最大值，例如 f (x) x3, x ( 1,1)。(1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函

5、数的极值是比较极 值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区 间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可 能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。四、定积分1概念设函数 f(x)在区间a , b上连续，用分点 a = x0x1 xi 1xi xn = b把区间a, b等分成n个小区间，在每个小区间xi 1, xi上取任一点e i (i=1, 2,n)作和式inf=i=1( e i) ax (其中 x为小区间长度)，把n一即 x-0时，和式in的极限叫做函数f(x)在区间a , b上的定积分，记作:f(x)dx f (x)

6、dx pm，即a=(e i) axo这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间 a, b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。1 m 11基本的积分公式:exdx 1+ c;= e + c;axdx0dx = c；xmdx = m7x+c 机 q, mi)； xdx=jxlcosxdxsin xdxin a + c;= sinx + c;= cosx + c(表中c均为常数)。2.定积分的性质bb芯 kf (x)dx k f (x)dx、，心aa (k为常数)；bbbf(x) g(x)dx a f(x)dx a g(x)dx9 aaa；bcb f

7、(x)dxf (x)dxf (x)dx) a a c (其中 avcvb ) 。3 .定积分求曲边梯形面积由三条直线x=a, x=b(a0)围成的曲边梯的面积bs a f(x)dx如果图形由曲线 y1=f1(x) , y2 = f2(x)(不妨设 f1(x) f2(x) 0),及直线 x=a, x=b(ab)围成，那么所求图形的面积s= s曲边梯形amnb- s曲边梯形dmnc=f1(x)dxf2(x)dxo4 .牛顿一一布莱尼茨公式如果f(x)是区间a,b上的连续函数，并且 f (x)=f(x), 则bf (x)dx f(b) f(a)a【练习题】5 型1:导数的基本运算x(x21、 一f）

8、的导数;x(2)(x 1)(3)xxsin - cos-的导数;22(5)y=sin x3x2y=的导数;xx 57x 9的导数。解析：（1）3x2(2)先化简，y1x3223.x1 12 2x2 x 2(3)12. x先使用三角公式进行化简xxsin - cos-221-sin x21一 sin x21 , .、x 一(sin x)21一 cosx.2,222一、 ，(x )sin x x * (sin x) 2xsin x x cosx(4) y = 2 =2sin xsin x31 y= 3x2 x+ 5 9x 2311二.一 .o3 二y=3*(x2) x，+5/9 (x2)/=3*x

9、221 + 0-9 * (-)29g（1 2） 1。2x2题型2:导数的几何意义【例2】 已经曲线c: y=x3x+2和点a（1,2）。（1）求在点a处的切线方程？ （ 2）求过点a的切线方程？ （ 3）若曲线上一点 q处的切线恰好平行于直 线y=11x-1,则q点坐标为 ，切线方程为思考：导数不存在时，切线方程为什么？【例3】(06安徽卷)若曲线 y x4的一条切线l与直线x 4y 8 0垂直，则l的方程为()a. 4x y 3 0 b.x 4y 5 0 c . 4x y 3 0 d.x 4y 3 0【例4】(06全国ii)过点(一1, 0)作抛物线y x2 x 1的切线，则其中一条切线为(

10、)(a) 2x y 2 0 (b) 3x y 3 0 (c) x y 1 0(d) x y 1 0解析：(1)与直线x 4y 8 0垂直的直线l为4x y m 0,即y x4在某一点的导 数为4,而y 4x3,所以y x4在(1 , 1)处导数为4,此点的切线为4x y 3 0,故 选a；2(2) y 2x 1 ,设切点坐标为(x,y),则切线的斜率为2x01 ,且yxx1 ,2一于是切线万程为 y x0 x0 1 (2x0 1)(x x),因为点(一1, 0)在切线上，可解得x0=0或4,代入可验正d正确，选do题型3：借助导数处理单调性、极值和最值【例5】(06江西卷)对于r上可导的任意函

11、数f(x),若满足(x1)f(x)0,则必有()a . f (0) +f(2)2f (1)b. f(0) +f (2)2f (1)c. f(0)+f(2)2f (1)d.f(0)+f(2)2f (1)【例6】(06天津卷)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a, b)内有极小值点()a. 1个 b. 2个 c. 3个 d. 4个【例7】(06全国卷i)已知函数f x e ax。(i)设a 0,讨论y f x的单1 x调性；(n)若对任意x 0,1恒有f x 1,求a的取值范围。解析：(1)依题意，当x 1时，f (x)

12、 0,函数f (x)在(1, + )上是增函数；当有 f (0) f (1), f (2) f (1),故选 c;(2)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示, 函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由 负到正的点，只有1个，选a。(3) : (i )f(x)的定义域为(一8,i)u(1,+ 8).对 f(x)求导数得 f (x)= a： +2x2a e ax。(i )当 a=2 时，f (x)= 2x e 2x, f，仅)在(_oo ,0), (0,1)和(1,+ oo)均大于 0,所以 f(x)在

13、(1 x)(一0 ,1), (1,+ ).为增函数;(ii)当 0a0, f(x)在(8 ,1),(1,+ oo)为增函数a _ 2a _ 21 a _ 2a-2,a-2(iii)当 a2 时，0一a-1,令 f (x)=0 ,解得 x1= v-a-, x2= aj ；x(-8,7/a2 a )7(卢2,1)(1,+ )f (x)十一十十f(x)当x变化时，f (x)和f(x)的变化情况如下表：f(x)在(一8, z12), (、/y,1), (1,+ 8)为增函数，f(x)在(一函数。(n )( i )当 0f(0)=1 ;(ii)当 a2 时，取 xo= 13/a c (0,1)，则由(i

14、 )知 f(xo)7+ 1.综上当且仅当 ac ( 8,2时，对任意xc(0,1)恒有f(x)1 。1 x(a) 2(b)0(c)2(d)4【例9】(06山东卷)设函数f(x)= 2x3 3(a 1)x2 1,其中a 1. (i)求f(x)的单调区间；(n)讨论f(x)的极值。解析：(1) f (x) 3x2 6x 3x(x 2),令 f(x) 0 可得 x = 0 或 2 (2 舍去)，当-1 x 0时，f (x) 0,当0 x 1时，f (x) 0,所以当x=0时，f (x)取得最大值为2。 选c;(2)由已知得 f (x) 6x x (a 1),令 f (x) 0,解得 x1 0, x2 a 1。(i)当a 1时，f(x) 6x2, f (x)在(，)