3-05 定积分在几何和经济中的应用[沐风教学]

1、上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 第五第五节节 定积分在几何和经济中的应用定积分在几何和经济中的应用 一、定积分的微元法一、定积分的微元法 二、定积分在几何上的应用二、定积分在几何上的应用 三、定积分在经济中的应用举例三、定积分在经济中的应用举例 四、小结四、小结 1 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 b a dxxfA)( 一、定积分的微元法一、定积分的微元法 a b x y o )(xfy 2 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 iii xfA )( ii x (3) 求和，得求和，得A的近

2、似值的近似值.)( 1 ii n i xfA 面积表示为定积分的面积表示为定积分的步骤步骤如下如下: 3 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 a b x y o )(xfy (4) 求极限，得求极限，得A的精确值的精确值 ii n i xfA )(lim 1 0 b a dxxf)( 提示提示 dxxfA)(lim.)( b a dxxf xdxx dA 面积元素面积元素 4 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 当所求量当所求量U 符合下列条件：符合下列条件： ( (1) ) U是与一个变量是与一个变量x的变化区间的变化区间a, b有关的量；有关的量； (2

3、) U 对于区间对于区间a, b具有可加性具有可加性. 就是说就是说， 如果把区间如果把区间a, b分成许多部分区间，则分成许多部分区间，则U 相应地分相应地分 成许多部分量，而成许多部分量，而 U等于所有部分量之和；等于所有部分量之和； 就可以就可以考虑用定积分来表达这个量考虑用定积分来表达这个量U. 5 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 元素法的元素法的一般步骤一般步骤： 1) 根据问题的具体情况，选取一个变量根据问题的具体情况，选取一个变量. 例如例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间为积分变量，并确定它的变化区间a, b; 2）设想把区间）设想把区间a, b分成分

4、成 n个小区间，取其中任一个小区间，取其中任一 小区间并记为小区间并记为x, x+dx，求出相应于这小区间的部，求出相应于这小区间的部 分量分量 U的近似值的近似值.如果如果 U能近似地表示为能近似地表示为a, b上上 的一个连续函数在的一个连续函数在 x处的值处的值f (x)与与 dx的乘积，就把的乘积，就把 f (x) dx称为量称为量 U的元素且记作的元素且记作dU，即，即 ( ).dUf x dx 6 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法(或或微元分析法微元分析法) 3）以所求量）以所求量U的的元素元素f (x) dx为被积

5、表达式为被积表达式， ( ) b a f x dxU 即为所求量即为所求量U的积分表达式的积分表达式. 在区间在区间a, b上作定积分，得上作定积分，得 7 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 应用方向：应用方向： 数学数学: : 平面图形的面积平面图形的面积, , 体积体积, , 函数平均值；函数平均值； 物理物理: : 水压力；引力等水压力；引力等; ; 经济经济: : 已知边际求总量已知边际求总量. . 8 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 x y o )(xfy a bx y o )( 1 xfy )( 2 xfy a b 曲边梯形的面积曲边梯形的

6、面积 b a dxxfA)( 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 b a dxxfxfA)()( 12 x x xx x 1.1、平面图形的面积直角坐标系情形、平面图形的面积直角坐标系情形 一一 、 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用 9 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 解解两曲线的交点两曲线的交点 )1 , 1()0 , 0( 面积元素面积元素 2 d()dAxxx 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 x 1 2 0 ()dAxxx 1 0 3 33 2 2 3 x x. 3 1 2 xy 2 yx 图形的面积图形的面积. 10 优讲课堂 上一页上一页 下一页下

7、一页返回首页返回首页 解解两曲线的交点两曲线的交点 ).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 2 3 6 xy xxy 选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x ,0, 2)1( x dxxxxdA)6( 23 1 ,3 , 0)2( x dxxxxdA)6( 32 2 2 xy xxy6 3 11 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 于是所求面积于是所求面积 21 AAA dxxxxA)6( 2 0 2 3 dxxxx)6( 32 3 0 . 12 253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式 问题：问题：积分变量只能选 积分变量

8、只能选 x 吗吗？ 2 xy xxy6 3 12 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 解解两曲线的交点两曲线的交点 ).4 , 8(),2, 2( 4 2 2 xy xy 选选 为积分变量为积分变量 y 4, 2 y 2 d4d 2 y Ayy 4 2 d18.AA xy2 2 4 xy 方法方法1 13 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 解解两曲线的交点两曲线的交点 ).4 , 8(),2, 2( 4 2 2 xy xy xy2 2 4 xy 方法方法2 选取选取 x 作为积分变量，作为积分变量， 2 0 2(2 )dAxxx 8 2 2(4)dxxx

9、18. 14 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 a b xo y x 解解 利用对称性利用对称性 , ddAy x 有有 0 4d a Ayx 利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程 xxd 例例4 求椭圆求椭圆所围图形的面积所围图形的面积 . 22 22 1 xy ab sinbt (sin )datt 4ab 1 2 2 .ab 当当 a = b 时得圆面积公式时得圆面积公式 2 0 4A cos (02 ). sin xat t ybt 应用定积分换元法得应用定积分换元法得 15 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 xo d d 面积元素面积元素 2

10、1 d ( ) d 2 A 曲边扇形的面积曲边扇形的面积 2 1 ( ) d . 2 A )( r 1.2 平面图形的面积极坐标系情形平面图形的面积极坐标系情形 16 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 解解由对称性知总面积由对称性知总面积 = = 4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 1 4AA daA2cos 2 1 4 4 0 2 . 2 a xy 2cos 22 a 1 A 17 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 解解 dadA 22 )cos1( 2 1 利用对称性知利用对称性知 . 2 3 2 a d d 2 )cos1( 0 2 2 1 2

11、aA d)coscos21( 2 0 2 a 2sin 4 1 sin2 2 3 2 a 0 18 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线就是由一个平面图形饶这平面内一条直线 旋转一周而成的立体旋转一周而成的立体 圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台 二二 旋转体的体积旋转体的体积 这直线叫做这直线叫做旋转轴旋转轴 19 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 ,bax 2 d ( ) dVf xx xdxx x y o 旋转体的体积为旋转体的体积为 2 ( ) b a Vf xdx )(xfy 一般的，如果旋转体是由连续曲线一

12、般的，如果旋转体是由连续曲线y=f(x)，直线，直线x =a, x =b及及x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的轴旋转一周而成的 立体，体积为多少？立体，体积为多少？ 取积分变量为取积分变量为x , 在区间在区间a, b上任取小区间上任取小区间 x, x+dx， 取以取以dx为底的窄边为底的窄边 梯形绕梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积为轴旋转而成的薄片的体积为体积元素体积元素: 20 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段 ( ) ()xycyd 2 ( )y dy d c V x o y ( )xy c d y 绕绕

13、y 轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时,有有 21 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 a y x b 例例7 计算由椭圆计算由椭圆 22 22 1 xy ab 所围图形绕所围图形绕 x 轴旋转而轴旋转而 解解 方法方法1 利用直角坐标方程利用直角坐标方程 22 () b yaxaxa a 2 22 2 0 2()d a b axx a ( (利用对称性利用对称性) ) 2 23 2 1 2 3 b a xx a 0 a 2 4 . 3 ab o 0 2 a V 2 dyx x 转而成的椭球体的体积转而成的椭球体的体积. 22 优讲课堂 上一页上一页 下一页

14、下一页返回首页返回首页 方法方法2 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程 cos sin xat ybt 则则 2 0 2d a Vyx 23 2sin dabt t 2 2 ab 2 3 2 4 3 ab 1 2 0 特别当特别当b = a 时时, 就得半径为就得半径为a 的球体的体积的球体的体积 3 4 . 3 a 23 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 三、定积分在经济中的应用举例三、定积分在经济中的应用举例 例例8 某公司研发推出一种新产品，预计产品价格某公司研发推出一种新产品，预计产品价格P 随时间随时间t （从产品上市开始计算月数）变化的函数为（从产品上市开始计算月

15、数）变化的函数为 ( )100.2p tt (万元万元/件件). 在时刻在时刻 t 时时, 此产品的边际此产品的边际 需求量需求量 Q(t)与价格与价格p(t)及其变化率及其变化率 ( )p t 有关，且满足有关，且满足 202 ( )( )10( ),p tQ tp t 又当产量为又当产量为Q件时的边际生产成本为件时的边际生产成本为 2 0.5( )5 ( )1)3(Q ttQCt （万元（万元/件）件） 求该产品一年内能给公司创造的总利润求该产品一年内能给公司创造的总利润 24 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 解解 将价格函数代入边际需求函数得将价格函数代入边际需求函

16、数得 ( )202 ( )10( )Q tp tp t 20.4 , t 202(100.2 )10(100.2 )t t 在在t 时刻的边际生产成本为时刻的边际生产成本为 2 ( )0.5(20.4 )5(20.4 )13C ttt 2 0.081.25,tt 25 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 12 0 ( )( )( )LP t Q tC tdt 12 32 0 0.16 2.415 3 ttt =433.44(万元万元). 于是生产该产品在一年内的总利润为于是生产该产品在一年内的总利润为 因为因为 总利润总利润=总收入总收入- -总成本，总成本， 12 2 0

17、0.164.815ttdt 26 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 例例9 某企业生产某产品某企业生产某产品x单位时的边际收益为单位时的边际收益为 ( )1000.2R xx （元（元/单位）单位） (1)求生产求生产x单位时的总收益单位时的总收益R(x)及平均收益及平均收益 ( );R x （2）求生产）求生产100个单位该产品的总收益及平均收益，个单位该产品的总收益及平均收益， 并求再生产并求再生产100个单位时该产品所增加的总收益个单位时该产品所增加的总收益 解解 (1)因为因为 (0)0,R 所以总收益为所以总收益为: 27 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回

18、首页返回首页 平均收益平均收益为为 ( ) ( ) R x R x x 0 ( )(0)( ) x R xRR t dt 2 1000.1.xx 0 0.2(100) x t dt 1000.1 .x 解解 (1)因为因为 (0)0,R 所以所以总收益总收益为为: 28 优讲课堂 上一页上一页 下一页下一页返回首页返回首页 (2) 生产生产100个单位该产品的总收益为个单位该产品的总收益为 2 (100)100 1000.1 100R 平均收益为平均收益为 (100) (100) 100 R R 再生产再生产100个单位该产品所增加的总收益为个单位该产品所增加的总收益为 (200)(100)RRR 7000 （元元).). 200 100 ( )R x dx 20