电场的能量能量密度[教师教材]

1、5-5 1青苗辅导 带电体系的带电过程可看成是从电势带电体系的带电过程可看成是从电势0 0点移动电荷到点移动电荷到 该带电体系，使带电体系带电。这个过程外界作的功，该带电体系，使带电体系带电。这个过程外界作的功， 就是就是 qq dq E E 移动移动 dq 作的元功作的元功 VdqdA u 极板带电量从极板带电量从 0 到到Q 作功作功 dAA Q 0 WVdq Q 0 外力所做的功外力所做的功A A转化为带电体的转化为带电体的 能量能量WW。 2青苗辅导 例1、求半径为R ,带电量为Q的孤立导体球的电能。 Q 由： dA=Vdq 得： dq R q dA 0 4 将导体球的电荷从0增加到Q

2、,所作的功为 Q dq R q A 00 4R Q R q Q 0 2 0 0 2 88 W R rRrR时电场的能量元为drr r Q dw 22 2 0 0 4) 4 ( 2 1 r dr r Q W R 2 0 2 8 R r Q 0 2 8R Q 0 2 8 由由电场能量密度积分得： 3青苗辅导 C q V VdqA Q 0 dq C q Q 0 C Q 2 2 1 外力作功等于电容器能量增量，外力作功等于电容器能量增量， WA W为电容器能量，为电容器能量，单位：单位：焦耳，焦耳，J。 二、电容器存储的能量：二、电容器存储的能量： 电容器的电压由：电容器的电压由： 2 2 CV QV

3、 2 1 C Q 2 2 1 qq dq E E V 4青苗辅导 带电体系具有能量，这一能量也可以认为就带电体系具有能量，这一能量也可以认为就 存在于电场之中。电场能量计算如下：存在于电场之中。电场能量计算如下： 以充满介质的平行板电容器为例以充满介质的平行板电容器为例 , 0 d S C r EdV 2 2 1 CVW 2 0 )( 2 1 Ed d S r SdE r 2 0 2 1 体 VE 2 2 1 能量由：能量由： 5青苗辅导 单位体积内的电场能量。单位体积内的电场能量。 体 V W w 2 2 1 EwED 2 1 2 2 1D 非均匀电场能量计算非均匀电场能量计算 V wdVW

4、 只要确定只要确定 w w 就可计算电场能量就可计算电场能量 WW。 体 VEW 2 2 1 6青苗辅导 例例2：平行板电容器带电量为平行板电容器带电量为 q，极板面积为，极板面积为 S，将极，将极 板间距从板间距从 l l 拉大到拉大到 l l+d ，求外力作功，求外力作功 A A，和电场能量，和电场能量 的增量。的增量。 qq F F l q d 解：解：拉力拉力 0 2 qqEF 将极板拉开时外力作的功为将极板拉开时外力作的功为 d S q dqA 0 2 0 22 电容器拉开后，其电能为拉开后，其电能为 C q W 2 2 )/(2 0 2 dlS q )( 2 0 2 dl S q

5、d S q l S q 0 2 0 2 22 AW 0 外力作正功，电容器能量增加。外力作正功，电容器能量增加。 7青苗辅导 由上述的计算结果，在拉开极板时，电荷并没有增加，由上述的计算结果，在拉开极板时，电荷并没有增加， 但电场能量增加了。增加的原因是极板拉开时，外力但电场能量增加了。增加的原因是极板拉开时，外力 对系统作了功，使有电场的空间增大了。这部分增加对系统作了功，使有电场的空间增大了。这部分增加 的电场能量恰等于外力对系统作了功。所以本例说明的电场能量恰等于外力对系统作了功。所以本例说明 静电能存储于电场中。静电能存储于电场中。 d S q l S q W 0 2 0 2 22 体

6、 VEW 2 0 2 1 Sd S q 2 0 0 )( 2 1 d S q 0 2 2 该能量恰与电容器的能量增量相同。该能量恰与电容器的能量增量相同。 8青苗辅导 例例1：平行板电容器真空时参数如平行板电容器真空时参数如 下下 , 0000 DVE 00,W C . .充电后断开电源，插入介电常充电后断开电源，插入介电常 数为数为 r r 介质；介质； . .充电后保持电压不变，充电后保持电压不变， 插入插入 r r 介质介质； 求：求： r d K 0 0 0 V 解：充电后断开电源，极板上解：充电后断开电源，极板上 电量不变电量不变 0 ,DVE e WC, 9青苗辅导 2. .介质中

7、场强：介质中场强： 0 00 rr E E 3.3.电压：插入介质后电压：插入介质后 EdV d E r 0 r V 0 4.4.电位移矢量电位移矢量: :插入介质后插入介质后 ED r 0 r r E 0 0 0 00E 0 D 由于由于 D = 0 ，断开电源后，断开电源后 0 不变，不变，D 也不变。也不变。 0 0 r d K 0 V 10青苗辅导 5.5.电容电容 由于电容器电容与电量无关，由于电容器电容与电量无关， 与介质有关，充满介质时与介质有关，充满介质时 0 0 C d S C r r 6.6.能量能量 , 2 0 2 0 0 C q W C q W 2 2 0 0 2 0

8、2C q r r W 0 0 0 r d K 0 V 11青苗辅导 解：解：电压不变即电键电压不变即电键 K 不断开。不断开。 1.1.电压电压 0 VV 2.2.场强场强 0 VV , 0d EEd 0 EE 3.3.自由电荷面密度自由电荷面密度 , 00 0 r 0 r . .充电后保持电压不变，插入充电后保持电压不变，插入 r 介质；介质； 0 0 r d K 0 V 12青苗辅导 0 0 r d K 0 U D 5.5.电容电容 由于电容器电容与电量无关，由于电容器电容与电量无关， 与介质有关，充满介质时与介质有关，充满介质时 0 CC r 4.4.电位移矢量电位移矢量D D 00 D

9、 0 r 0 D r 13青苗辅导 6.6.电容器能量电容器能量WeWe r 0 0 K 0 U 000 2 1 VqW 0 2 1 qVW 00 2 1 Vq r 0 W r 由于由于q q增多而增加的能量，大增多而增加的能量，大 于插入介质损失的能量，所以于插入介质损失的能量，所以 WW也增加。也增加。 14青苗辅导 例例5：同轴电缆由内同轴电缆由内 径为径为 R1、外径为、外径为 R2 的两无限长金属圆柱的两无限长金属圆柱 面构成，单位长度带面构成，单位长度带 电量分别为电量分别为 + +、 - -， 其间充有其间充有 r 电介质。电介质。 求：求：两柱面间的场两柱面间的场 强强 E；电

10、势差电势差 U； 单位长度电容单位长度电容 ； 单位长度贮存能量。单位长度贮存能量。 2 R 1 R r 15青苗辅导 解：解： 极板间作高为极板间作高为 h 半径为半径为 r 的高斯柱面，的高斯柱面， 由介质中高斯定理：由介质中高斯定理： S SD Dd 0 q 2 R 1 R r r h hrhD2 r D 2 场强场强 r D E 0 r r 0 2 16青苗辅导 极间电压极间电压 2 1 R R Edr 2 1 12 R R dUl lE E 1 2 0 ln 2R R r 2 1 0 2 R R r r dr 2 R 1 R r r h 单位长度电容单位长度电容 h 长电容长电容 12 U h C )/ln( 2 12 0 RR h r 17青苗辅导 h C c 2 R 1 R r r h 单位长度电容单位长度电容 )/ln( 2 12 0 RR r 单位长度贮存能量单位长度贮存能量 h 长贮存能量长贮存能量 12 2 1 qUW e 1 2 0 ln 22 1 R R h r 18青苗辅导 1 2 0 2 ln 4R Rh W r e 2 R 1 R r r h 单位长度贮存能量单位长度贮存能量 h W w e e 1 2 0