电磁场与电磁波课件之分离变量法[教育知识]

1、3.63.6 分分 离离 变变 量量 法法 基本思想基本思想: : 方方 式：式：所求场域的边界面应与某一正交坐标系的坐标面重合。所求场域的边界面应与某一正交坐标系的坐标面重合。 把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个未把待求的位函数表示为几个未知函数的乘积，其中每一个未 知函数仅是一个坐标变量的函数。知函数仅是一个坐标变量的函数。 代入偏微分方程进行变量分离，将原偏微分方程分离为几个代入偏微分方程进行变量分离，将原偏微分方程分离为几个 常微分方程。常微分方程。 分别求解这些常微分方程，并利用场域及边界条件确定其中分别求解这些常微分方程，并利用场域及边界条件确定其中 的待定常数，从

2、而得到位函数的解。的待定常数，从而得到位函数的解。 应应 用：用：求解二维拉普拉斯方程的边界问题。求解二维拉普拉斯方程的边界问题。 1教书育人 如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系如果问题的边界面与直角坐标系的坐标面吻合，则可采用直角坐标系 中的分离变量法。中的分离变量法。 1. 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 0 2 2 2 2 yx 在直角坐标系中的展开式为在直角坐标系中的展开式为 )()() ,(yYxXyx 令令 代入上式，得代入上式，得 0 )( )( )( )( 2 2 2 2 dy yYd xX dx xXd xY 无源区中电位满足的拉普

3、拉斯方程为无源区中电位满足的拉普拉斯方程为0 2 0 )( )( 1)( )( 1 2 2 2 2 dy yYd yYdx xXd xX 两边再除以两边再除以 X(x)Y(y)，得，得 只与只与x x有有 关关 只与只与y y有有 关关 2教书育人 此常数写成此常数写成 。 式中式中 k 称为分离常数，它的取值不同，常微分方程的解也有称为分离常数，它的取值不同，常微分方程的解也有 不同的形式。不同的形式。 0)( )( 2 2 2 xXk dx xXd yYk dy yYd 0)( )( 2 2 2 由上可见，经过变量分离后，二维偏微分方程式被简化为二个一由上可见，经过变量分离后，二维偏微分方

4、程式被简化为二个一 维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且二个常微分方维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且二个常微分方 程又具有同一结构，因此它们解也一定具有相同的形式。程又具有同一结构，因此它们解也一定具有相同的形式。 要使上式成立，式中每一项都必须为常数。要使上式成立，式中每一项都必须为常数。 2 k 当当 k = 0 时，二常微分方程的解为时，二常微分方程的解为 00 )(BxAxX 00 )(DyCyY ) 1 ()(),( 0000 DyCBxAyx 3教书育人 当当 k 0 时，二常微分方程的解为时，二常微分方程的解为 kxBkxAxXcossin)( kyDkyCy

5、Ycoshsinh)( )2()coshsinh)(cossin(),(kyDkyCkxBkxAyx 双曲函双曲函 数数 含变量含变量 x 或或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的 线性组合线性组合仍然是方程的解。仍然是方程的解。 式中式中 A, B, C, D 为待定常数。为待定常数。 为满足给定的边界条件，分离变量为满足给定的边界条件，分离变量k 通常取一系列特定的值通常取一系列特定的值 kn （n=1 1，2 2，）。 4教书育人 )3()coshsinh)(cossin( )(),( 1 0000 n nnnnnnnn ykDy

6、kCxkBxkA DyCBxAyx 位函数位函数 的通解为的通解为 ),(yx 若令若令 代替代替 2 k 2 k，可得另一形式通解，可得另一形式通解 )4()cossin)(coshsinh( )(),( 1 0000 n nnnnnnnn ykDykCxkBxkA DyCBxAyx 解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的边界条件边界条件。 解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。 5教书育人 例例 横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为横截面为矩形的无限长接地金属导体槽，上部有电位为 的

7、金的金 属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。属盖板；导体槽的侧壁与盖板间有非常小的间隙以保证相互绝缘。 试求此导体槽内的电位分布。试求此导体槽内的电位分布。 解解: : 导体槽在导体槽在 方向为无限长，槽内方向为无限长，槽内 电位满足直角坐标系中的二维拉普拉电位满足直角坐标系中的二维拉普拉 斯方程。斯方程。 z 0 U )0(0),0(byy 0 U b )0(0),(byya )0(0)0,(axx )0(),( 0 axUbx 0 2 （导体槽内（导体槽内D D域）域） 6教书育人 由于槽内电位由于槽内电位 和和 ，则其通解形式为，则其通解形式为0 ax 0 0 x

8、)3()coshsinh)(cossin( )(),( 1 0000 n nnnnnnnn ykDykCxkBxkA DyCBxAyx )0(0),0(byy代入上式，得代入上式，得 1 000 )coshsinh()(0 n nnnnn ykDykCBDyCB 为使上式对为使上式对 在在 内成立，则内成立，则 y b0), 2 , 1 , 0(0nBn 则则 1 000 )coshsinh(sin)(),( n nnnnnn ykDykCxkADyCxAyx )0(0),(byya 代入上式，得代入上式，得 1 000 )coshsinh(sin)(0 n nnnnnn ykDykCakAD

9、yCaA 7教书育人 为使上式对为使上式对 在在 内成立，则内成立，则 y b0 0 0 A 则则 1 000 )coshsinh(sin)(),( n nnnnnn ykDykCxkADyCxAyx 代入上式，得代入上式，得 1 000 )coshsinh(sin)(0 n nnnnnn ykDykCakADyCaA ), 2 , 1(0sinnakA nn 其中其中 不能为零，否则不能为零，否则 ，故有，故有 n A00sinakn 得得), 2 , 1(n a n kn 1 )coshsinh(sin n nnn a yn D a yn C a xn A )0(0)0,(axx 1 si

10、n0 n nn a xn DA 8教书育人 为使上式对为使上式对 在在 内成立，且内成立，且 则则xa0 ), 2 , 1(0nDn 1 sin0 n nn a xn DA 0 n A 则则 1 )coshsinh(sin),( n nnn a yn D a yn C a xn Ayx 1 sinhsin n nn a yn a xn CA 1 sinhsin n n a yn a xn A nnn CAA )0(),( 0 axUbx代入上式，得代入上式，得 1 0 sinhsin n n a bn a xn AU 9教书育人 1 0 sinhsin n n a bn a xn AU 为确定

11、常数为确定常数 ，将，将 在区间在区间 上按上按 展开为傅里叶级数，展开为傅里叶级数， 即即 n A 0 U ),0(a a xn sin 1 0 sin n n a xn fU dx a xn U a f a n sin 2 0 0 , 6 , 4 , 20 , 5 , 3 , 1 4 0 n n n U a bn f A n n sinh , 6 , 4 , 20 , 5 , 3 , 1 sinh 4 0 n n a bn n U , 3 , 1 0 sinhsin sinh 14 ),( n a yn a xn a bn n U yx 导体槽内电位函数为导体槽内电位函数为 10教书育人

12、导体槽内电位分布情况为导体槽内电位分布情况为 11教书育人 （D D域内）域内） 0 2 2 2 2 2 yx 例例一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位 为为 ，金属槽截面为正方形（边长为，金属槽截面为正方形（边长为a a），试求金属槽内电），试求金属槽内电 位的分布。位的分布。 解：选定直角坐标系解：选定直角坐标系 0 )0 , 0( ayx 0 )0 , 0( axy 0 )0 ,( ayax x a axay sin100 )0 ,( x a sin100 12教书育人 例例 由四块沿轴方向放置的金属板围成的矩形长槽

13、，四条棱线处由四块沿轴方向放置的金属板围成的矩形长槽，四条棱线处 有无限小间隙以保证相互绝缘。试求槽内空间的电位分布。有无限小间隙以保证相互绝缘。试求槽内空间的电位分布。 解解: : 设金属板沿设金属板沿 方向为无限长，槽方向为无限长，槽 内空间的电位函数满足直角坐标系中内空间的电位函数满足直角坐标系中 的二维拉普拉斯方程。的二维拉普拉斯方程。 z z )0(0)0 ,(axx )0(0),(axbx )0(0 ),0( by x y )0(),( 0 byUya 0 2 （矩形槽内）（矩形槽内） y Ox 0 0 U 0 x 0 a b 13教书育人 2. 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系

14、中的分离变量法 电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为 0 11 2 2 2 令其解为令其解为 )()(),( R 0 d d1 d d d d 2 2 R R 代入上式求得代入上式求得 上式中第二项仅为变量上式中第二项仅为变量 的函数，而第一项与的函数，而第一项与 无关，因此二项均无关，因此二项均 应为常数，令应为常数，令 具有圆柱面边界的问题，可采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。具有圆柱面边界的问题，可采用圆柱坐标系中的分离变量法求解。 ),( 2 2 2 2 d d1 d d d d k R R 14教书育人 0 d d 2 2 2 k 即即 00 )(

15、BA 0k 0 d d d d1 2 Rk r R 式中式中k为分离常数为分离常数 ln)( 00 DCR )ln)(),( 0000 DCBA kBkAsincos)( 0k kk DCR )( )(sincos(),( kk DCkBkA 15教书育人 通常变量通常变量 的变化范围为的变化范围为 ，那么位函数随，那么位函数随 的变化一定是以的变化一定是以 2 2 为周期的周期函数。因此分离常数为周期的周期函数。因此分离常数 k 一定是整数，以保证函数的一定是整数，以保证函数的 周期为周期为2 2 。即。即 且且 ，则通解为，则通解为 20 ), 2 , 1 , 0(nnk0 0 B )(

16、)sincos(ln),( 1 00 n n n n n nn DCnBnADC x y a E0 电场线等位面 圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示： 16教书育人 3. 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 电位微分方程在球坐标系中的展开式为电位微分方程在球坐标系中的展开式为 0 sin 1 sin sin 11 2 2 222 2 2 rrr r rr )()()(),(rRr令令 0 d d1 d d sin d dsin d d d dsin 2 2 2 2 r R r rR 代入上式，得代入上式，得 与前同理

17、，与前同理， 的解应为的解应为 mBmAcossin)( 具有球面边界的问题，可采用球坐标系中的分离变量法求解。具有球面边界的问题，可采用球坐标系中的分离变量法求解。 17教书育人 0 sind d sin d d sin 1 d d d d1 2 2 2 m r R r rR 可见，上式中第一项仅为可见，上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与的函数，第二项与 r 无关。因此，与前无关。因此，与前 同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令 ) 1( d d d d1 2 nn r R r rR 0) 1( d d 2 d d 2 2 2 Rnn r

18、R r r R r 式中式中n 为整数。这是尤拉方程，其通解为为整数。这是尤拉方程，其通解为 1 )( n n r D CrrR 将此结果代入上式，得将此结果代入上式，得 18教书育人 0 sin sin) 1( d d sin d d 2 m nn 令令 ，则上式变为，则上式变为xcos 0 1 ) 1( d d )1 ( d d 2 2 2 x m nn x x x 上式为上式为连带勒让德方程连带勒让德方程，其通解为，其通解为第一类连带勒让德函数第一类连带勒让德函数 与与 第二类连带勒让德函数第二类连带勒让德函数 之和，这里之和，这里 m n 。 )(Px m n )(Qx m n 当当 n 是整数时，是整数时， 及及 为有限项多项式。因此，要求为有限项多项式。因此，要求 n 为整数。为整数。 )(Px m n )(Qx m n 根据第二类连带勒让德函数的特性知，当根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 时，时， 。 因此，当场存在的区域包括因此，当场存在的区域包括 或或 时，时， ，此时只能取第一，此时只能取第一 类连带勒让德函数作为方程的解。类连带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令所以，通常令 1x )(Qx m n 01x 19教书育人 )(cosP)(P)( m n m n x 那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性