281锐角三角函数第2课时

1、28.1 28.1 锐角三角函数（锐角三角函数（2 2） 探究探究 如图，在如图，在RtABC中，中，C 90，当锐角，当锐角A确定时，确定时， A的对边与斜边的比就随的对边与斜边的比就随 之确定，此时，其他边之之确定，此时，其他边之 间的比是否也确定了呢？间的比是否也确定了呢？ 为什么？为什么？ A B C 邻边邻边b 对边对边a 斜边斜边c 当锐角当锐角A的大小确定时，的大小确定时，A的邻边与斜边的比我们把的邻边与斜边的比我们把A的的 邻边与斜边的比叫做邻边与斜边的比叫做A的余弦（的余弦（cosine），记作），记作cosA，即，即 cos 的邻边 斜边 Ab A c 情情 境境 探探 究

2、究 1、sinA、cosA是在是在直角三角形直角三角形中定义的，中定义的，A是是锐角锐角( 注意注意数形结合数形结合，构造直角三角形，构造直角三角形)。 2、sinA、 cosA是一个是一个比值比值（数值数值）。）。 3、sinA、 cosA的大小只与的大小只与A的大小的大小有关，而与有关，而与直角直角 三角形的边长三角形的边长无关。无关。 如图：在如图：在Rt ABC中，中，C90， 正弦正弦 余弦余弦 sin 的对边 = 斜边 Aa A c cos 的邻边 = 斜边 Ab A c 当直角三角形的一个锐当直角三角形的一个锐 角的大小确定时角的大小确定时，其对边其对边 与邻边比值也是惟一确定与

3、邻边比值也是惟一确定 的吗？的吗？ 想一想想一想 比一比比一比 在直角三角形中，在直角三角形中，当当锐角锐角A的度数一定时，不管三角的度数一定时，不管三角 形的大小如何，形的大小如何，A的对边与邻边的比是一个的对边与邻边的比是一个固定值。固定值。 BC BC AC AC 所以所以 AC BC AC BC 即即 AC BC AC BC 问：问： 有什么关系？有什么关系？ 如图，如图，RtABC和和RtABC， C=C=90，A=A=， 由于由于C=C=90，A=A=， 所以所以RtABC RtABC 如图：在如图：在Rt ABC中，中，C90， 我们把锐角A的对边与邻边的比 叫做A的 正切正切，

4、记作 tanA。 一个角的正切一个角的正切 表示表示定值定值、比比 值值、正值正值。 b a A A A 的邻边 的对边 tan , , . 的对边记作 的对边记作 的对边记作 Aa Bb Cc A B C 思考：思考：锐角A的正切值可以 等于1吗？为什么？ 可以大于1吗？ 对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都 有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、 正切叫做A的锐角三角函数的锐角三角函数。 例例2 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，AB =10，BC6，求，求 sinA、cosA、tanA的值的值 解：解： AB BC A sin 63 sin 1

5、05 BC A AB 又又 8610 2222 BCABAC , 5 4 cos AB AC A 3 tan 4 BC A AC A B C 6 例例 题题 示示 范范 10 变题：变题： 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，cosA ，求，求 sinA、tanA的值的值 15 17 解：解： 15 cos 17 AC A AB 88 sin, 1717 BCk A ABk 88 tan 1515 BCk A ACk A B C 例例 题题 示示 范范 设设AC=15k，则，则AB=17k 所以所以 2222 (17 )(15 )8BCABACkkk 下图中下图中ACB=90ACB=90

6、，CDAB,CDAB,垂足为垂足为D D。指出。指出A A和和B B 的对边、邻边。的对边、邻边。 A B C D (1) tanA = = AC ( ) CD ( ) (2) tanB= = BC ( ) CD ( ) BC AD BD AC 如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, ,锐角锐角A A的邻边和斜边同时的邻边和斜边同时 扩大扩大100100倍倍,tanA,tanA的值（的值（ ） A.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小100100倍倍 C.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定 A B C C C 例例3： 如图，在如图，在RtABC中，中，C90 例例 题题

7、示示 范范 1.求证：求证：sinA=cosB，sinB=cosA 2.求证：求证： sin tan cos A A A 3.求证：求证： 22 sincos1AA A B C 2 sinsinsinAAA 例例4： 如图，已知如图，已知AB是半圆是半圆O的直径，弦的直径，弦AD、BC相交于点相交于点P，若，若 例例 题题 示示 范范 DPB 那么那么 ( ) CD AB 1 .sin, .cos , .tan,. tan ABCD B 变题：变题： 如图，已知如图，已知AB是半圆是半圆O的直径，弦的直径，弦AD、BC相交于点相交于点P，若，若 AB=10，CD=6，求，求 .sin O C

8、D B A P 4 sin 5 小结 如图，如图，RtABC中，中， C=90度，度， 因为因为0sinA 1, 0sinB 1, tan A0, tan B0 A B C 0cosA 1, 0cosB 1, 22 sincos1 所以，对于任何一个锐角所以，对于任何一个锐角 ，有，有 0sin 1， 0cos 1， tan 0， sin,cos,tan BCACBC AAA ABABAC sin,cos,tan ACBCAC BBB ABABBC sincos cossin 1 tan tan AB AB A B 1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值分别求出下列直角

9、三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值 练练 习习 解：由勾股定理解：由勾股定理 2222 13125BCABAC A B C 13 12 5 sin 13 BC A AB 12 cos 13 AC A AB 5 tan 12 BC A AC 12 sin 13 AC B AB 5 cos 13 BC B AB 12 tan 5 AC B BC 2. 在在RtABC中，如果各边长都扩大中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角倍，那么锐角A的正弦值、余的正弦值、余 弦值和正切值有什么变化？弦值和正切值有什么变化？ A B C 解：设各边长分别为解：设各边长分别为a、b、c，A的三个三角函数分别为的三

10、个三角函数分别为 sincostan aba AAA ccb ， 则扩大则扩大2倍后三边分别为倍后三边分别为2a、2b、2c 2 sin 2 aa A cc 2 cos 2 bb A cc 2 tan 2 aa A bb A B C 3. 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，AC8，tanA ， 求：求：sinA、cosB的值的值 4 3 A B C 8 解：解： 3 tan 4 BC A AC 8AC 33 86 44 BCAC 63 sin 105 BC A AB 2222 8610ABACBC 63 cos 105 BC B AB 4. 如图，在如图，在ABC中，中，AD是是BC边

11、上的高，边上的高，tanB=cosDAC, （1）求证：）求证：AC=BD； （2）若）若 ，BC=12，求，求AD的长。的长。 12 sin 13 C D BC A 5. 如图，在如图，在ABC中，中， C=90度，若度，若 ADC=45度，度，BD=2DC， 求求tanB及及sinBAD. D A BC = a c的斜边 的对边 A A sinA= 小结小结 回顾回顾 在在RtRtABCABC中中 及时总结经验，要养成积累及时总结经验，要养成积累 方法和经验的良好习惯！方法和经验的良好习惯！ = b c的斜边 的邻边 A A cosA= = a b的邻边 的对边 A A tanA= 定义定义中应该注意的几个问题中应该注意的几个问题: : 回味回味 无穷无穷 1 1、sinAsinA、cosAcosA、tanAtanA是在是在直角三角形直角三角形中定中定 义的，义的，A