妙想奇思巧切乳酪学习精品

1、妙想奇思巧切乳酪a.乔先生就餐餐馆的食物未必很好，但却是以乳酪的 美味而著称。b.在一块圆柱状的乳酪上可以切出很多花样，比如一刀切 下去，一分为二。c .两刀下去，便得到同样的四块，三刀当然可以切成同样 的六块。d. 有一次，服务员罗杰小姐请乔先生把乳酪八等分。“这 好办，”乔说，“这样再来一刀嘛 ! ”e. 当罗杰小姐去取刀的时候，她突然意识到，三刀也能把 乳酪八等分。您猜猜罗杰小姐想到了什么 ?三刀如何切罗杰小姐的想法是，乳酪是个圆柱状固体，可以沿水平方向从乳酪的半腰处把它一刀两半，如图21 所示。按图中虚线的切法，三刀可以把乳酪八等分。这种切法的前提是，每 刀之间互不影响，换言之，先被切

2、下的每一块都不可挪动。还有一种切法是，一刀一刀地切，每切一刀时，可以挪动被切下的部分，可以重新安排每部分之间的相互位置。对本题来说，这种切法也可以三刀把乳酩八等分。具体切法是：先 一分为二，再把两部分摞起来切，二分为四，再把四部分摞 起来切，四分为八。图 2-1 罗杰小姐的想法很简单，甚至可以说极其平常。但是循着她 的思路去思考，我们很快会豁然领悟：可以利用计算有限差 分的方法来探讨切割问题并用数学理论去证明它。有限差分 的计算对于求数列的通项公式是一个有力工具。涉及数列的 问题在实际生活中触手可及，利用计算机来解决又非常迅 速，所以这类问题越来越引起人们的极大兴趣。罗杰小姐切乳酪的最初想法是

3、单纯经过乳酪上表面的中心 垂直地切。乳酪的上表面像一张煎饼一样是个平面。那么我 们就不妨试一下，简单地切一张煎饼会得出一个什么样的数 列。如果每一刀都经过煎饼的中心，那么很显然，切 n 次最 多得到 2n 块。是否对于任何封闭曲线构成的平面图形切 n 次最多都只能得 到 2n 块?不如图 22 所示，这是一个很容易画出来的 非圆图形。对于这个图形，一刀你就能切下很多块。那么有 没有可能画出这样一个图形，使得切一刀可得到彼此全等的 数量一定的几块 ?如果有可能，它的周边要具有什么特性 ? 如果每一刀的切法不一样，那么切煎饼的问题便会复杂了， 你不停地切下去很快就会发现，到 n=3 的时候，得出的

4、结果 已超过 2n 块。这里我们暂不考虑切下的每一块是否全等或 者面积是否相等。图 2 3 表示出当 n=1、 2、 3、4 时，最多 能得到多少块 2、 4、7、 11。图 2-2这一列数字可以由下面的公式得出：图 2-3这里， n 代表所切的次数。从 n=0 开始，前十次切出的块数是 1、2、4、7、11、16、22、29、37、46请注意第一列 差分是1、2、3、4、5、6、7、8 9第二列差分是 1、1、I、1、1、1、I、1从这里我们可以明显地看出，数列的 通项对于切的次数 n 是二次函数。我们之所以说“明显地看出”，是因为通过有限差分的计算 得出的公式并不能保证它对于无穷数列同样成立，亦即科学 的证明不可或缺。当然对于这个切煎饼的公式，用数列归纳 法即可轻而易举证明之。举一反三，你可以举出许许多多类似的问题，有些问题得出 的数列、通项公式及其数学证明都很有意思。这里我们不妨 聊举数例。对于下列五种情形，每种情况下最多能得出多少 份?1在马洞形 （horsehoe） 的煎饼上切 n 刀。 2对一个球体、或对一个圆柱体切n 次（ 允许水平方向切 ） 。3用圆形的饼干切刀 （circular cookie cutter） 对煎饼切 n 次。4对圆环形煎饼