人教版八年级上册数学课件：14.3.2公式法(共33张PPT)

1、 因式分解 整式乘法与因式分解 2.公式法 学习目标 1.探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分 解，体会转化思想（重点） 2.能会综合运用平方差公式和完全平方公式对多项式 进行因式分解（难点） a米米 b米米 b米米a米米 (a-b) 如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小 正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换， 你能得到什么公式？ a2- - b2=(a+b)(a- -b) 讲授新课讲授新课 用平方差公式进行因式分解 想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解 因式吗？ 是a,b两数的平方差的形式 ) )(baba -+ = 22 ba - )( 22

2、baba ba - += - 整式乘法 因式分解因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的 差的乘积. 平方差公式： 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为 什么？ 符合平方差的形式 的多项式才能用平方 差公式进行因式分解， 即能写成: ( ) 2 - ( )2的形式. 两数是平方，两数是平方， 减号在中央减号在中央 （1）x2+y2 （2）x2-y2 （3）-x2-y2-(x2+y2) y2-x2 （4）-x2+y2 （5）x2-25y2(x+5y)(x-5y) （6）m2-1(m+1)(m-1) 2 (1) 49;x 例1 分解因式： 22 (2 )3x(23)(23

3、);xx 22 (2)()() .xpx q aabb( + )( - )a2 - b2 = 解:(1)原式=2x32x2x33 () () () ()xpx qxpx q (2)原式 (2)().xp q p q 整体思想 22 ()()xpx q 方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、 还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方 差的形式，就能用平方差公式因式分解. 分解因式： (1)(ab)24a2； (2)9(mn)2(mn)2. 针对训练 (2m4n)(4m2n) 解：(1)原式(ab2a)(ab2a) (ba)(3ab)； (2)原式(3m3nmn)(3m3nmn) 4(m2

4、n)(2mn) 若用平方差公式分解后的结 果中有公因式，一定要再用 提公因式法继续分解. )( 22 bababa-+=- 2015220142 = （2mn）2 - ( 3xy)2 = (x+z)2 - (y+p)2 = 例2 已知x2y22，xy1，求x-y，x，y的值 xy2. 解：x2y2(xy)(xy)2， xy1， 联立组成二元一次方程组， 解得 1 , 2 3 . 2 x y 方法总结：在与x2y2，xy有关的求代数式或 未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然 后整体代入或联立方程组求值. 例3 计算下列各题： (1)1012992； (2)53.524-46.524. 解：(

5、1)原式(10199)(10199)400； (2)原式4(53.5246.52) =4(53.546.5)(53.546.5) 41007=2800. 方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用 因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 例4 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2 一定能被8整除 即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除 证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n2=8n， n为整数， 8n被8整除， 方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整 式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除 用完全平方公式分解因式 你能把下面4

6、个图形拼成一个正方形并求出你拼 成的图形的面积吗？ 同学们拼出图形为： a a b b a b a b aba b ab 这个大正方形的面积可以怎么求？ a2+2ab+b2（a+b）2 = b aab abb （a+b）2 a2+2ab+b2= 将上面的等式倒过来看，能得到： a2+2ab+b2 a22ab+b2 我们把a+2ab+b和a-2ab+b这样的式子叫作完全 平方式. 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的2倍 完全平方式

7、的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的2倍. 22 2baba 完全平方式: 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式， 将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. 2ab+b2 =(a b) a2 首2+尾2 2 首尾 (首尾)2 两个数的平方和加上 (或减去)这两个数的积 的2倍，等于这两个数 的和(或差)的平方. 3.a+4ab+4b=( )+2 ( ) ( )+( )=( ) 2.m-6m+9=( ) - 2 ( ) ( )+( ) =( ) 1. x+4x+4= ( ) +2(

8、 )( )+( ) =( )x2x + 2 aa 2ba + 2b2b 对照 a2ab+b=(ab)，填空： mm - 33 x 2 m 3 下列各式是不是完全平方式？ （1）a24a+4; （2）1+4a; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 例5 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( ) A . 11 B. 9 C. -11 D. -9 B 解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x(-3), 故可知N=(

9、-3)2=9. 变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值 为_. 解析：16=(4)2，故-m=2(4)，m=8. 8 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特 征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已 知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程 中，要注意积的2倍的符号，避免漏解 例6 分解因式： （1）16x2+24x+9； （2）- -x2+4xy- -4y2. 分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3,24x=24x3, 所以16x2+24x +9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 24x3 + (3)2. 2ab+b

10、2a2 (2)中首项有负号，一 般先利用添括号法则， 将其变形为- -(x2- -4xy +4y2),然后再利用公式 分解因式. 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x + 3)2； = (4x)2 + 24x3 + (3)2 (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2. 例7 把下列完全平方公式分解因式： (1)1002210099+99； (2)3423432162. 解：(1)原式=（10099) (2)原式(3416)2 本题利用完全平方公 式分解因式，可以简 化计算， =1. 2500. 例8 已知x24xy210y290，求x2y22

11、xy1 的值 112121. 解：x24xy210y290， (x2)2(y5)20. (x2)20，(y5)20， x20，y50， x2，y5， x2y22xy1(xy1)2 几个非负数的和为 0，则这几个非负 数都为0. 方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原 式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数 性质解答问题 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是() Aa2(b)2 B5m220mn Cx2y2 Dx29 当堂练习当堂练习 D 2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（） A3(x2+4x+3) B3(x2+2x+3) C(3x+3)(x+3) D3(x+1)(x+3)

12、D 3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（） A-21 B21 C-10 D10 A 4.把下列各式分解因式： =_; =_; -a4+16=_. (4a+3b)(4a-3b) 4ab (4+a2)(2+a)(2-a) 5.若将 2x n-81分解成 4x2+9 2x+3 2x-3 ，则n的值 是_. 4 6.把下列多项式因式分解. （1）x212x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1x2; (2)原式=2(2a+b) 22(2a+b)1+(1) =(4a+2b 1)2; 解：(1)原式 =x22x6+(6)2 =(x6)2; (3)原式=(y+1) x =(y+1+x)(y+1x). 7.已知4m+n=40，2m-3n=5求 m+2n 2- 3m-n2的值 原式=-405=-200 解：原式= m+2n+3m-n m+2n-3m+n = 4m+n 3n-2m =- 4m+n （2m-3n ， 当4m+n=40，2m-3n=5时， 2 (20142013) 1. 22 (2014)2 2014 2013 (2013)