结构力学_静定结构

1、掌握掌握结构的支座反力的计算，结构的结构的支座反力的计算，结构的 剪力和轴力计算的两种方法，内力图剪力和轴力计算的两种方法，内力图 的形状特征和绘制内力图的的形状特征和绘制内力图的叠加法叠加法。 熟练掌握熟练掌握弯矩图绘制，能迅速绘制弯弯矩图绘制，能迅速绘制弯 矩图。矩图。 理解理解恰当选取脱离体和平衡方程计算恰当选取脱离体和平衡方程计算 静定结构内力的方法与技巧。会根据静定结构内力的方法与技巧。会根据 几何组成寻找求解途径。几何组成寻找求解途径。 回顾和补充回顾和补充 材料力学内容回顾材料力学内容回顾 杆件内力分析要点：杆件内力分析要点： 内力正负号规定：内力正负号规定： MM MM FN

2、FN FNFN FQ FQ FQ FQ 结构力学与材料力学内力规定的异同结构力学与材料力学内力规定的异同 轴力和剪力的正负号规定与材料力学相同轴力和剪力的正负号规定与材料力学相同 内力符号脚标有其特定的意义。如内力符号脚标有其特定的意义。如MAB表明表明 AB杆的杆的A端弯矩端弯矩 结构力学弯矩图画在受拉纤维一侧结构力学弯矩图画在受拉纤维一侧 4/54 【例例4-2】 图示简支梁受均布载荷q作用， 求 (1)剪力方程和弯矩方程； (2)画剪力图和弯矩图。 解解(1)求约束力 2 ql FF BA (2)列剪力方程和弯矩方程 lxqx ql qxFxF A 0 2 S lx x qx ql xM

3、0 22 2 (3)画出剪力图和弯矩图 剪力图 斜直线 弯矩图二次抛物线 82 2 max qll MM 求内力的基本方法：求内力的基本方法： 截面法截面法（截取隔离体；代之相应截面内力；利（截取隔离体；代之相应截面内力；利 用平衡方程求解）用平衡方程求解） 内力的叠加与分解：内力的叠加与分解： 假设：材料满足线弹性、小变形。假设：材料满足线弹性、小变形。 例例：求截面：求截面1 1、截面、截面2 2的内力的内力 FN2=50 FN1=1410.707=100kN FQ1= M1=125 (下拉） =50kN 141cos45o =812.5kNm +1410.707105055/25 FQ2

4、= 141sin45100kN M2 5m 5m 5m 5m 2 1 5kN/m 50kN 141kN 125kN.m M2375kN.m （左拉） 45 5051251410.7075 375kN.m +551410.707 =25kN 50 + + 1 2 8/54 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系 如图所示受任意载荷的直梁建立坐标系 取其中一微段 dx q(x)为连续函数，规定向上为正 将该微段取出，加以受力分析 9/54 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系 0 y F ) 1 (0dd SSS xFx

5、FxxqxF 0 C M )2(0d 2 d dd S xMxxF x xxqxMxM 由（1）式可得: )( d )(d S xq x xF （2）式中略去高阶微量 )( d )(d S xF x xM 注意注意 在集中力和集中力偶作用处微分关系不成立在集中力和集中力偶作用处微分关系不成立 x x xqd 2 d 10/54 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系 在剪力图无突变(无集中力作用)的某段梁上，有 2 1 d 1S2S x x xxqxFxF 在弯矩图无突变(无集中外力偶作用)的某段梁上，有 2 1 d S12 x x xxFxMxM 上述积

6、分关系有时可简化控制截面的内力计算。 q图的面积 Fs图的面积 )( d )(d S xq x xF )( d )(d S xF x xM 11/54 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系 )( d )(d S xq x xF )( d )(d S xF x xM 若q(x)为常数，则可根据这些关系得到如下表格 )(xq)( S xF )(xM 0q 常数 S F 0 S F 0 S F 0 S F 0q 0q 微分关系给出了内力图的形状特征微分关系给出了内力图的形状特征 1 1 ） 微分关系微分关系 qy Q Q+dQ NN+dNqx dx y x M

7、 M+dM qy向下为正y q x F d d Q Q d d F x M 荷载与内力之间的关系：荷载与内力之间的关系： x N q x F d d N N+N Fx N=FX QQ+Q Fy Q=Fy 增量关系说明了内力图的突变特征增量关系说明了内力图的突变特征 2 2） 增量关系增量关系 m M M+M M=m 3 3） 积分关系积分关系 由微分关系可得由微分关系可得 右端剪力等于左端剪力减去右端剪力等于左端剪力减去 该段该段qy的合力的合力； 右端弯矩等于左端弯矩加上右端弯矩等于左端弯矩加上 该段剪力图的面积。该段剪力图的面积。 xxqFF AB yAB d )( QQ xFMM AB

8、AB d Q xxqFF AB xNANB d )( 内力图形状特征内力图形状特征 无何载区段无何载区段 均布荷载区段均布荷载区段集中力作用处集中力作用处 平行轴线平行轴线 斜直线斜直线 Q=0区段区段M图图 平行于轴线平行于轴线 Q图图 M图图 备备 注注 二次抛物线二次抛物线 凸向即凸向即q指向指向 Q=0处，处，M 达到极值达到极值 发生突变发生突变 P 出现尖点出现尖点 尖点指向即尖点指向即P的指向的指向 集中力作用截集中力作用截 面剪力无定义面剪力无定义 集中力偶作用处集中力偶作用处 无变化无变化 发生突变发生突变 两直线平行两直线平行 m 集中力偶作用面集中力偶作用面 弯矩无定义弯

9、矩无定义 零、平、斜、抛 q、Q、Mq、Q、Mq、Q、Mq、Q、M 在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。 第3章 静定结构 3-1 概述 按几何构造特点求解 几何构造形式简单的静定结构比较容易求解，如： 又如： 第3章 静定结构 3-1 概述 按几何构造特点求解 几何构造形式简单的静定结构比较容易求解，如： 有些静定结构的几何构造可区分为基本部分和附属部分 由附属部分向基本部分推进由附属部分向基本部分推进 组成静定结构的构件主

10、要有二力杆和受弯杆。二力杆仅承受 轴向力的作用；受弯杆一般同时承受弯矩、剪力和轴力的作用。 如何求解？从构建联结、制作特征找突破 先对整体取矩M(,)，再对局部取矩 M(,) 3-2 静定梁和静定平面刚架静定梁和静定平面刚架 单跨静定梁：单跨静定梁： 简支梁简支梁 伸臂梁伸臂梁 悬臂梁悬臂梁 一端为滑动支座，一端为滑动支座， 一端为简支的梁一端为简支的梁 多跨静定梁：多跨静定梁： 多跨静定梁：多跨静定梁： 静定刚架：静定刚架： 3-2-1 刚架式杆件的内力以及与荷载的关系刚架式杆件的内力以及与荷载的关系 内力正负号规定：内力正负号规定： 轴力以拉力为正，压力为负；轴力以拉力为正，压力为负； 剪

11、力以使微段隔离体顺时针方向转动为正，剪力以使微段隔离体顺时针方向转动为正， 逆时针方向转动为负；逆时针方向转动为负； 弯矩的正负号不作硬性规定，弯矩图应画在弯矩的正负号不作硬性规定，弯矩图应画在 受拉一侧。受拉一侧。 3-2-1 刚架式杆件的内力以及与荷载的关系刚架式杆件的内力以及与荷载的关系 应用静力平衡条件，应用静力平衡条件， 并略去高阶微量，可并略去高阶微量，可 得以下关系式：得以下关系式： N x dF q dx Q y dF q dx Q dM F dx 2 2y d M q dx 由这些微分关系可知：由这些微分关系可知： N x dF q dx Q y dF q dx Q dM F

12、 dx 2 2y d M q dx 由这些微分关系可知：由这些微分关系可知： 在无横向荷载在无横向荷载(qy = 0)的区段，杆件剪力保持为常数的区段，杆件剪力保持为常数, 对应的剪对应的剪 力图形为与杆件轴线平行的直线力图形为与杆件轴线平行的直线, 弯矩图形为倾斜的直线，其弯矩图形为倾斜的直线，其 斜率就等于杆中的剪力。斜率就等于杆中的剪力。 在杆件剪力为零处在杆件剪力为零处, 弯矩图的切线与杆件轴线平行弯矩图的切线与杆件轴线平行, 此时弯矩取此时弯矩取 得极值得极值; 在无剪力的区段在无剪力的区段, 杆件的弯矩保持为常数杆件的弯矩保持为常数, 对应的弯矩对应的弯矩 图为与杆件轴线平行的直线

13、。图为与杆件轴线平行的直线。 在有横向均布荷载的区段在有横向均布荷载的区段, 剪力图为倾斜的直线剪力图为倾斜的直线, 弯矩图为二次弯矩图为二次 抛物线。抛物线。 在无轴向荷载在无轴向荷载(qx = 0)的区段的区段, 杆件的轴力保持为常数杆件的轴力保持为常数; 在有轴向在有轴向 均布荷载的区段均布荷载的区段, 轴力图为倾斜直线。轴力图为倾斜直线。 例如：例如： 区段叠加法做弯矩图区段叠加法做弯矩图 熟记简支梁弯矩图熟记简支梁弯矩图 2 M 2 M M 4 Pl FP 8 2 ql q MA MB 1 1）简支梁情况）简支梁情况 几点注意：几点注意： 弯矩图叠加，是指竖标相弯矩图叠加，是指竖标相

14、 加，而不是指图形的拼合，竖加，而不是指图形的拼合，竖 标标M ，如同 ，如同M、M一样垂一样垂 直杆轴直杆轴AB，而不是垂直虚线。，而不是垂直虚线。 利用叠加法绘制弯矩图可以利用叠加法绘制弯矩图可以 少求一些控制截面的弯矩值，少求一些控制截面的弯矩值， 少求甚至不求支座反力。而且少求甚至不求支座反力。而且 对以后利用对以后利用图乘法求位移图乘法求位移，也，也 提供了把复杂提供了把复杂图形分解图形分解为简单为简单 图形的方法。图形的方法。 MAMB q MAMB q M M MA MB M M M 4 Pl A M B M B M B M 做法：做法： 先在梁端绘弯矩竖标先在梁端绘弯矩竖标 过

15、竖标顶点连直虚线过竖标顶点连直虚线 以虚线为基础叠加相应以虚线为基础叠加相应 简支梁弯矩图简支梁弯矩图 FP M M 合成内力图是合成内力图是 竖标相加竖标相加, ,不是图形不是图形 的简单拼合。的简单拼合。 2 2）直杆情况）直杆情况 QAQB 1、首先求出两杆端、首先求出两杆端 弯矩，连一虚线；弯矩，连一虚线； 2、然后以该虚线为、然后以该虚线为 基基 线，叠加上线，叠加上简支梁简支梁 在跨间荷载作用下的在跨间荷载作用下的 弯矩图。弯矩图。 MAMB NANB q AB YAYB MAMB q MA MB M M 对于任意直杆段，不论对于任意直杆段，不论 其内力是静定的还是超静其内力是静定

16、的还是超静 定的；不论是等截面杆或定的；不论是等截面杆或 是变截面杆；不论该杆段是变截面杆；不论该杆段 内各相邻截面间是连续的内各相邻截面间是连续的 还是定向联结还是铰联结还是定向联结还是铰联结 弯矩叠加法均适用。弯矩叠加法均适用。 4kNm 2kNm 4kNm 6kNm 4kNm 2kNm 4kNm 4kNm 6kNm 4kNm 2kNm （1）集中荷载作用下）集中荷载作用下 （2）集中力偶作用下）集中力偶作用下 （3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图 （1）悬臂段分布荷载作用下）悬臂段分布荷载作用下 （2）跨中集中力偶作用下）跨中集中力偶作用下 （3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图 3m3m 4kN

17、4kNm 3m3m 8kNm2kN/m 2m 4kNm 分析步骤分析步骤 确定控制点确定控制点 分析各段内力图走势分析各段内力图走势 （利用微分关系）（利用微分关系） 求控制截面内力求控制截面内力 绘控制截面间内力绘控制截面间内力 图（弯矩图、剪力图（弯矩图、剪力 图）图） 确定弯矩最大点位确定弯矩最大点位 置及最大值置及最大值 q l/2l/2 q M0 FAyFBy FAy M0 FOy l/2ll/2 ql2/2 ql2/4ql2/8 ql q AB D F E qL qL M图 Q图 ql ql2/4 ql2/8 qlql 10kN/m 15kN 60kN.m 2m2m2m2m 20

18、M 图 (kN.m) 30 55 5 30 30 m/2 m/2 m 3030303030 3030303030 8kN 4kN/m A BC G E DF 1m 16kN.m 1m2m2m1m 17 7 9 Q图（kN） 16 7 26 4 30 23 7 836.1 28 H x RA=17kN RB=7kN 4 8 8 8 M图（kN.m） RA=17kN RB=7kN RA=17kN RB=7kN RA=17kN RB=7kN RA=17kN RB=7kN 1m 8kN 4kN/m A BC G E DF 1m 16kN.m 1m2m2m1m 17 7 9 Q图（kN） 16 7 26

19、 4 30 23 7 836.1 28 H x RA=17kN RB=7kN CE段中点段中点D的弯矩的弯矩MD=28+8= 36kN.m ，并不是梁中最大弯矩，梁中最大，并不是梁中最大弯矩，梁中最大 弯矩在弯矩在H点。点。Mmax=MH=36.1kN.m。 均布荷载区段的中点弯矩与该段内的均布荷载区段的中点弯矩与该段内的 最大弯矩最大弯矩,一般相差不大一般相差不大,故常用中点弯矩作为最大弯矩！故常用中点弯矩作为最大弯矩！ M图（kN.m） RA=17kN RB=7kN RA=17kN RB=7kN RA=17kN RB=7kNRA=17kNRB=7kN 由 QH=QCqx=0 可得： xQC

20、/q9/42.25(m) MHMC+(CH段Q图的面积） 26+92.252 36.1（kN.m) 1m 力偶不影响剪力 1m1m 4m 1m 1m2m 不不 可可 简简 称称 K 截截 面面 剪剪 力力 斜率相等斜率相等 剪力等于零处弯矩为极值点剪力等于零处弯矩为极值点 相切相切 x=17/8 46.0625 29 17 15 10 Q图图(kN) 18 11 28 32 17 20 M图图(kNm) 25kN29kN 10kN 12kN 22kN.m18kN.m 8kN/m K 5 1m1m2m2m4m 40kN160kN 80kN.m40kN/m 斜率相等 不相切 130 30 190

21、120 Q图图(kN) 340 130 210280 160 M图图(kNm) 310kN130kN q q lqlq 0 cos 0 q q l l 简支斜梁计算 q+q0 3-2-2 静定梁静定梁 222 2 qx x ql M ql Y A oo q l YA 斜梁斜梁 x q YA Y A o 2 ql YA = 22 2 qx x ql M =M 由整体平衡：由整体平衡： YA x M N Q sinsin) 2 ( o Qx l qN coscos) 2 ( o Qx l qQ 由分离体平衡可得：由分离体平衡可得： 斜梁与相应的水平梁相比反力相同，对应截面弯矩相同，斜梁与相应的水平

22、梁相比反力相同，对应截面弯矩相同， 斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影。斜梁的轴力和剪力是水平梁的剪力的两个投影。 2 ql Qqx o 0 l q MA MB MB MA ql2/8 斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平斜梁的弯矩图也可用叠加法绘制，但叠加的是相应水平 简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。简支梁的弯矩图，竖标要垂直轴线。 3-2-2 静定梁静定梁 q为为沿梁水平投影长度沿梁水平投影长度 上均布荷载的集度上均布荷载的集度, 在在 工程上对应如屋面活工程上对应如屋面活 载、楼梯活载和积雪载、楼梯活载和积雪 荷载等以水平投影面荷载等以水平投影面 积计算的均布荷载。积计

23、算的均布荷载。 q为为沿梁自身长度上沿梁自身长度上 均布荷载的集度均布荷载的集度, 在在 工程上对应如结构工程上对应如结构 自重、装饰重量等自重、装饰重量等 均布荷载。均布荷载。 均布荷载均布荷载q垂直于杆垂直于杆 件轴线件轴线, 在工程上对在工程上对 应如流体压力形成应如流体压力形成 的均布荷载。的均布荷载。 其内力可由以下隔离体的平衡条件求得：其内力可由以下隔离体的平衡条件求得： 3-2-2 静定梁静定梁 3-2-2 静定梁静定梁 3-2-2 静定梁静定梁 例例3-1 绘制图示多跨静定梁的内力图。绘制图示多跨静定梁的内力图。 例例3-1 绘制图示多跨静定梁的内力图。绘制图示多跨静定梁的内力

24、图。 例例3-2 绘制图示多跨静定梁的弯矩图。绘制图示多跨静定梁的弯矩图。 3-2-3 静定刚架静定刚架 0, 6100 xxB FkNkNF 16() xB FkN 0,66810320630 ByA MFmkNmkNmkN mmm 47( ) yA FkN 0, 68103206360 AyB MkNmkNmkN mmmFm 73( ) yB FkN 16kN 47kN 73kN 6212() CE MkNmkN m左侧受拉 6 QCE FkN 0 NCE F 12() 6 0 CE QCE NCE MkN m FkN F 左拉 3-2-3 静定刚架静定刚架 16kN 47kN 73kN

25、12() 6 0 CE QCE NCE MkN m FkN F 左拉 103 30() CA MkNm kN m 左侧受拉 10 QCA FkN 47 NCA FkN 30() 10 47 CA QCA NCA MkN m FkN FkN 左拉 3-2-3 静定刚架静定刚架 16kN 47kN 73kN 12() 6 0 CE QCE NCE MkN m FkN F 左拉 30() 10 47 CA QCA NCA MkN m FkN FkN 左拉 18() CDCACE MMM kN m 上侧受拉 47 QCDNCA FFkN 16 NCDQCAQCE FFF kN 18() 47 16 C

26、D QCD NCD MkN m FkN FkN 上拉 3-2-3 静定刚架静定刚架 16kN 47kN 73kN 12() 6 0 CE QCE NCE MkN m FkN F 左拉 30() 10 47 CA QCA NCA MkN m FkN FkN 左拉18() 47 16 CD QCD NCD MkN m FkN FkN 上拉96() 73 16 DC QDC NDC MkN m FkN FkN 上拉 3-2-3 静定刚架静定刚架 16kN 47kN 73kN 12() 6 0 CE QCE NCE MkN m FkN F 左拉 30() 10 47 CA QCA NCA MkN m

27、FkN FkN 左拉18() 47 16 CD QCD NCD MkN m FkN FkN 上拉96() 73 16 DC QDC NDC MkN m FkN FkN 上拉 ()MkN m图 () Q FkN图 () N FkN图 刚架内力的计算应遵循先附属部分刚架内力的计算应遵循先附属部分, 后基本部分的顺序进行。后基本部分的顺序进行。 ()MkN m图 例例3-3 绘制图示刚架的内力图。绘制图示刚架的内力图。 解：求支座反力；解：求支座反力； 0,0 xxA FF 0, D M 42252420 yA FmkN mmmkN mmm 9( ) yA FkN 0, A M 24222140 y

28、D kN mmmkN mmmFm 3( ) yD FkN 0 9kN 3kN 求各杆端内力；求各杆端内力； BE杆端：杆端： 2214() BE MkN mmmkN m上侧受拉 224 QBE FkN mkN 0 NBE F 4() 4 0 BE QBE NBE MkN m FkN F 上拉 BA杆端：杆端： 0 0 9 BAAB QBAQAB NBA MM FF FkN 0 9kN 3kN 4() 4 0 BE QBE NBE MkN m FkN F 上拉 0 0 9 BAAB QBAQAB NBA MM FF FkN BC杆：杆： 0 QBCQCB FF 22 NBCNCByA FFFkN

29、 mm 945kNkNkN 由结点由结点B的力矩平衡条件以及杆件的力矩平衡条件以及杆件 剪力为零的条件可得：剪力为零的条件可得： 4() BC MkN m左侧受拉 4() CBBC MMkN m左侧受拉 4() 0 5 BCCB QBCQCB NBCNCB MMkN m FF FFkN 左拉 0 9kN 3kN 4() 4 0 BE QBE NBE MkN m FkN F 上拉 0 0 9 BAAB QBAQAB NBA MM FF FkN 4() 0 5 BCCB QBCQCB NBCNCB MMkN m FF FFkN 左拉 斜杆斜杆CD： 4() CD MkN m上侧受拉 4 cos3

30、5 QDCyD FFkN 2.4kN 3 sin3 5 NDCyD FFkN 1.8kN 0,sin24sin0 tNCDyD FFFkN mm 3 NCD FkN 0,cos24cos0 nQCDyD FFFkN mm 4 QCD FkN 4(),0 4,2.4 3,1.8 CDDC QCDQDC NCDNDC MkN mM FkN FkN FkN FkN 上拉 0 9kN 3kN 4() 4 0 BE QBE NBE MkN m FkN F 上拉 0 0 9 BAAB QBAQAB NBA MM FF FkN 4() 0 5 BCCB QBCQCB NBCNCB MMkN m FF FFk

31、N 左拉4(),0 4,2.4 3,1.8 CDDC QCDQDC NCDNDC MkN mM FkN FkN FkN FkN 上拉 ()MkN m图 () Q FkN图 () N FkN图 例例3-4 绘制图示刚架的弯矩图。绘制图示刚架的弯矩图。 ()MkN m图 例例3-5 绘制图示刚架的弯矩图。绘制图示刚架的弯矩图。 解：解：D支座处无水平反力。支座处无水平反力。 几何构造分析：几何构造分析： 其几何构造和求解方法与图其几何构造和求解方法与图3-2 所示三铰刚架相同。所示三铰刚架相同。 分别截取刚片分别截取刚片AEC和和BFC为隔离体：为隔离体： M( , ) 0, 281020 xCy

32、C FmFmkNm M( , ) 0, 283840 xCyC FmFmkNmm 将以上两个方程联立求解，得：将以上两个方程联立求解，得： 29 4.75 xC yC FkN FkN 由此可求得各支座反力：由此可求得各支座反力： 0.25( ) yA FkN 4.75( ) yB FkN 29.0( ) yD FkN ()MkN m 图图 对复杂刚架，例如：对复杂刚架，例如： 可先假设可先假设C支座的未知反力为支座的未知反力为X, 在根据局部或整体的平衡条件在根据局部或整体的平衡条件, 将各支座反力和铰联结中的相关约束力用将各支座反力和铰联结中的相关约束力用X来表示来表示, 如图如图b所示。所

33、示。 最后以刚架整体作为隔离体最后以刚架整体作为隔离体, 按力矩平衡方程按力矩平衡方程MA = 0, 有：有： 3(2)(2) 20 PPP XaFXaFXaFa 解得：解得： 2 3 P XF 2m 40kN 2m4m 4m 20kN/m 例例：求截面：求截面1 1、截面、截面2 2的内力的内力 FN2=50 FN1=1410.707=100kN FQ1= M1=125 (下拉） =50kN 141cos45o =812.5kNm +1410.707105055/25 FQ2= 141sin45100kN M2 5m 5m 5m 5m 2 1 5kN/m 50kN 141kN 125kN.m M2375kN.m （左拉） 45 5051251410.7075 375kN.m +551410.707 =25kN 50 + + 1 2 例如：例如： MA MB 1 1）简支梁情况）简支梁情况 几点注意：几点注意： 弯矩图叠加，是指竖标相弯矩图叠加，是指竖标相 加，而不是指图形的拼合，竖加，而不是指图形的拼合，竖 标标