流变学张淳源版课后答案综合

1、粘弹性断裂力学作业1-1. 求证广义hooke定律（1.1-1）等价于畸变及体变方程（1.1-8）证明：式子（1.1-1）可以用张量的形式表示为下式（1）:(i, j = 1,2,3)1仃.仃 5 .e ij e kk ij用 ij表小0 ij可得式子（2）：二 ij = ； kk、ij 2g j其中3j是符号函数， ,e,儿，g ,k之间存在着一定的关系它们的关系如p4页的表1.1-1所示上两式中的应变偏量与应力偏量的分量为式(3)式:eij6 kksijkk将式子（1）代入到式子（3）中得至u：11.1c -c -e ij e kk ij 3 e3%kk ij1tt3ekk ijkk ij

2、11ij 3kk j根据书上p4页表知：g =e2(1)所以上式可以表示为：马二士2gt二 kk ij 畸变方程得证sij根据式子(1)可以得到:kkcrkkv3e e kkctkk又因为：k =3(1 - 2 )所以上式可以改写为：kkkk体变方程得证3k1-2求矩形应力作用下kekin住或看maxwell体的应变随时间变化的规律，即已知s(t)f忸(。-弥-；)，求已解：/l将矩形应力函数代人keh/in体的本构方程s = 2ge +2e,得到.2ga + 21*=5。6（。-fj,即事*忸一伙f 一4),其中2(。=%上式为关于e的一阶线性微分方程，积分得到一艰-亘由e（t）e -科5出

3、l/畋)一如一斗/&+c/坛青忸独一幻e df+c_g_t刍e r d + c=工和网-火r)bnt/忸（0-&7） j+c2n0延迟时间所以4g,工 、e r， er，+c t(0 r /jw )ce f 3& me 权)2.同理maxwell体的本构方程为+ = - + -2tj 2g二卜一-e(fg-w-g d = 5o忸-e(g,白倒f)-火f-/ + f忸咐-4)d-c /cj112+ + c,(0z /,)2g 2r)1c ,/ +8)1-3 求 jeffreys体j=m|n及 lethersich 体l=k n的本构方程、蠕变柔量 和松弛模量。解:jeffreys 体:2 g 1

4、 1 dfi( d ) =11 f2(d ) = 22dg 11 d2g 1 1d s=f1(d) f2(d)e=(2 2 d ) eg 11 d2 g 1 1 d松弛模量:g1=(f22d)蠕变柔量:j1 (t)2 1 2d 2 x (t)lethersich 体:f1(d)=2g12 1 d/1(f1( d )111)s =( f 2 ( d )2 g 12 1 d 22d松弛模量:g1 (t)=1 2d 212d 2g11d 2d蠕变柔量:j1 (t)尸（t）1.4流变模型图1.murayama 体 mu=st v | k2.poynting-thomson 体p th=m i h3.n

5、aramura体na=k n4.trouton-rankine 体 tr=n pth? 5.prandtl 体? p=st v h一h6.schwedoff 体schw=m | st v? 7.loonen 体? lo=n i p8.廖国华体lao=st v | p th9.schofield-scott blair 体 sch scb=schw k10.bingham 体b=n| st v1.5 证明 1.8-4证明：t变量代换 aode什_ sst =g1 t - de =g1 s s ds-10t-st分部积分tgkt f )st = gi t 一 de =gi0ete g1 t d.

6、t - ?：d t变上限积分求导t3g*t sgt- e d =g0ete 1ddt -10- 二 t-teg ft t )变量代换0cl g10e te-1 d = g10e tgi s et -s ds 0 - s ：二,一哨t)1-6 对于没有初应变及初应力的问题，stieltjes卷积的定义化为：tf dg 二 f(t)g00 f (t . .)dg( ), go =g(0 ),式中，当t0时，f =g三0.求证此时卷积的交换律仍成立：f dg = g df.、t证明:f dg = f (t - )dg ()t= g0f(t) 0 f (t - )dg( )t t= gf(t) f(t

7、-.)g(.)t0-.0.g(.)df(t-.)0 一=g0f (t) f0g(t) - f (t)g0 - t g(t - s)df (s)t二 f0g(t)0 g(t -s)df (s)=g df二在没有初应力及初应变时，卷积的交换律仍成立。1-7设t0时，&。= 0;在1 = 0, t = t1,及t = t2处分别有跳跃e(0)、 e(ti)、明).试依s(t) = g1*de勺定义，具体写出s依赖于e(t)的规律s(t)=gi*de= .gi(t- )de()而e( ) =e(0尸()e(t1户(-匕)：e(t2)u( -t2)所以 g/deng/dleqn。)g1* d e(t1)

8、 (t -11)g*de(t2”(t-t2)1-8 证明(1.9-4)式(p48)t= g1(t)e(0”(t)：e(t1)g(t f尸(t f)：e(t2)g(t-t2”(t - t2)g1 t =gv t -。1 d =2gu t - / 1 d.g2 t =g2u t - .0 2 d. =3kt - .0 2 d.tt二2g1e t = ej t) 1)d . = e t) 1)d .tj1 t =3 t .1 . d- 0t .t 02d.tj2 t =j20 口 t j d =63kt1td t =d0u t 0. d. =e-0. d.证明：本构方程：松弛型sij x, t =

9、g“ de由 stieltjes 卷积定义得：sj(x,t 产 fgi(t-t )dq (e )p35由 t ：0,gi t =0,g 0=gi0则本构关系可表为：t分部积分tsjx,ti-i-git-dej=gi0ejt -二ejit- d由(p12),已知本构关系，在本构方程中令e = 6(t)所求得s(t广勺便是松弛模量 g(t)将上式中的q =8(t ),则q即为g1 (t) t有：gi t =gi0t -, it-, d由巩t庭义(p7),有： 0tgi t =gi。口 t - . 3 i t-. d.0t1 . i t-. d.t变量代换tt= gi0t - 0 i t - - d

10、 .= gi0lt - 0 i . d.=2gf t - 0 i . d.同理可求g2 t由(pi2),已知本构关系，在本构方程中令s = h(t)所求得e(t)的便是松弛模量j1(t)通过分部积分及变量代换，同样可求j1(t ),j2(t )又，在单轴拉、压的情况下(p38),有松弛型仃(t)=e d 蠕变型 式t )= d* d同理，可求得单轴应力松弛模量 e(t )和单轴应力蠕变柔量 d (t)则以下关系式全部得证:t/(x1-e- -rlutgi t =gi/ t - i . d =2gf t -ttg2 t =g20u t - 0 2 d =3kf t - .0 2 - de t =

11、ef t - .0 d =eu t - ； dt1tji t * t 0 ; . d.t 0; d.2gt1tj2 t =2。口 t 0 2 d =t - 0 23kt1td t = d0u ti%”）d .=曰1t 厂 i 一九）d.1.9求解banger体的松弛模量解：banger体的微分本构方程二、2 s 卜一：“ s 上一：0s = eb1 e由拉普拉斯变换可知耳；）s,幻）=ess（ ；）= ；2s求松弛模量，则给定初始应变e（t） = e。）经过拉普拉斯变换可以得到一. e 一. .e（ s） = , e = se（ 8）, e = w e（ 6）,将由拉普拉斯变换的应力应变待入本

12、构方程有二 2 ；2 s , ： 1 ； s ： 0 s = ； 2e0 包其中2（二 2；二 i ；： 0）s = ；e0 . bie0对应拉普拉斯变换手册，化为标准型s 二 （；p1）e（；32）（ ； p3） 5pibip2p32- 、.2 巴 ill j2gi 2 id 2 d2g。12gi 2 id r 111 g 2 id 2 d_ i t_ t* in2go |i 2gi 2 idj注nq d =2g0 111 (2gi 2 id 2 deili ijn：对于广义 maxwell体，是由一个 hooke体一个newton体和n个maxwell体并联而成的组合体，maxwell的本

13、构关系为：s = e，其余各原件的本构关系如i中所述。 i . i2g 2 d根据并联则有：s = so + s + s + sn + sn书；e= o_ = a= = d = =q = qedeleienei+ ；s=2g0e。3 e1en12 deni2gi 2 id2gi 2 id2gn 2 ndn 1=e 2go +z i a 1+12g 2nid换成连乘形式则有:s 1 n 112go 匕 2gi 2 id=em1时，该方程不能表示为粘弹性材料 的本构方程。答：因为尚没有与之相对应的粘弹性模型。我认为它的laplace逆变换不存在。2.6若在例2.4-1和2.4-2中将材料换成畸变时

14、遵从标准线性体的规律，问两例的结果如何?解：（1）、标准线性体中，经 laplace变换后，弹性常数置换为：2g* =b1p b0 ,3k* =c =3k a1p 1载荷转换为：f*fo.2tp弹性梁的最大挠度为:*:= *3e i弹性常数置换有:* *9k g* _ *3k g2p g g2foi3g1p2p+g2)j 9toi1c g1 p2131 p -t jfl3进彳l laplace反演得:t 29t0i(c+g )-f-n n22（2）标准线性体中，经 laplace变换后，弹性常数置换为:* b1pb0*2g =-10,3k =c=3kap 1载荷转换为:f*p最大挠度为:3* f l3& 二*3d其中：d*e*h3121-.*2* l3 则有：=ff-*3io143k +g ) 4g jl3%f 鼠p) 1 十 1_十_3_3io |g n2 n+1 4(c + gi ip_p g1 g2p-cgi cg2 g1g2p c g12进彳l laplace反演得（据2.1-11式）：13f 11-t 0 f二tf二t*ef；：t*、. t口心2产310 1g12ig1 g2cg1 cg2 g1g2其中：pi_2,p222c gi 22-8证明标准线性体畸变方程（表2.4-1）(ad + ao )sj =(bd + bo )向中的系