知识讲解-变化率与导数-提高1

1、变化率与导数【学习目标】(1)理解平均变化率的概念；(2) 了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；(3)理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵;(4)会求函数在某点的导数或瞬时变化率；【要点梳理】知识点一：平均变化率问题1 .变化率事物的变化率是相关的两个量的增量的比值如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；f(x2) f(xl)2 .平均变化率般地，函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为:x2 x|要点诠释: 本质：如果函数的自变量的“增量”为 x,且x x2 x1 ,相应的函数值的“增量”为y, y f(x2) f(xi),则函数f(x)从xi到x2的平均变

2、化率为 上(刈一3xx2 x1 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 即递增或递减幅度的大小。s (m)从ti秒到t2秒的对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。如位移运动中，位移 平均变化率即为tl秒到t2秒这段时间的平均速度。高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动, 就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。3 .如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法:作差：求出y f (x2) f(x1)和 x x2 x1作商：对所求得的差作商，即yfd) f(xjx x2 x1精品资料要点诠释:

3、1. x是xi的一个“增量”，可用xix 代替 x2，同样 y f (x2) f (x1) o2 . vx是一个整体符号，而不是 v与x相乘。3 .求函数平均变化率时注意 vx, vy,两者都可正、可负，但 vx的值不能为零， vy的值可以为零。若函数y f x为常函数，则 vy=0.知识点二：导数的概念定义：函数f(x)在x x0处瞬时变化率是lim -yx 0 x.f xo x f x0 lim x 0x,我们称它为函数y f x在x xo处的导数，记作f xo或 y x工即x x)xo =lxmof xo lim x 0x f xox要点诠释:增量 x可以是正数，也可以是负，但是不可以等

4、于o。 x o的意义：x与o之间距离要多近有多近，即| x o|可以小于给定的任意小的正数。 x o时，a y在变化中都趋于o,但它们的比值却趋于一个确定的常数。即存在一个常数与一y f(xxfx)无限接近。 xx 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率。知识点三：求导数的方法: 求导数值的一般步骤：求函数的增量:y f (xox)f (xo);求平均变化率:yf (xox) f (xo)一 ,xx 求极限，得导数：f (xo) lim lim f(x x o x x o也可称为三步法求导数。x)xf (xo)【典型例题】类型一：

5、求平均变化率1例1 函数y f (x) 一尸在区间1 , 1 +a x内的平均变化率为 ， x1【解析】 y f (1 x) f (1) 11 x1 、1 x 1 (1 x)1 x (1 -1 x) 1 xy1x 0, xo+ax上x (1 j x), 1 x【总结升华】由于平均变化率是函数值增量与自变量增量之比，所以求函数在给定区间的平均变化率问题，就是求y *x一x_f_（x2的值。本例的关键是对1 、1 x 田/-八士_-进仃分子有理化。举一反三:【变式1】求函数y=2x2+5在区间22+ax上的平均变化率;算当f(2x) f(2)一 一2一 一 2一2(2 x) 5 (2 25) 82

6、(1 , 、，时，平均变化率的值。2x）2函数在区间2, 2+ax上的平均变化率为2 x。x 9,即平均变化率的值为 9.【变式2】（2015春 松山区校级月考）在曲线yx上取点p （2,6）及邻近点q 2x,6 y ,那么-y xa.b.x)2c.x 5 d.3 x ( x)2(2x)2(2x)(2x)2 (2xx) 6/5) = 21斗1 式冷=-2内分别计算在区间3, 1, 0 ,5上函数【变式3】已知函数 的平均变化率.【答案】函数了 51在3, _ 1上的平均变化率为式幻在3, 1上的平均变化率为区（一1）一处一可；、函数在0 , 5上的平均变化率为式工)在0 , 5上的平均变化率为

7、g(5)-(0)=一上5类型二：利用定义求导数值例2用导数的定义，求函数y f (x)在x=1处的导数。【解析】 y f (1 x)f(1)= .11 、1 x1 xy1x (1 . 1 x) . 1 xf(1)limo【总结升华】 举一反三：利用定义求函数的导数值，需熟练掌握求导数的步骤和方法，即三步法。【高清课堂：变化率与导数383113例1】【变式1】(1)求函数- 2 ,f(x) 3x在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=x2 x在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.【答案】(1) y f(1 x) f(1) 3(1 x)2 3 6 x 3( x)223(x66(.o mx

8、13 x) 6,即 f (1) 6.所以 函数 f(x) 3x在x=l处的导数为6 .(2)依照定义，f(x)在x 1的平均变化率，为两增量之比,需先求 y f(x0x) f (x0)2_2(1 x) ( 1 x) 2 3 x ( x),再求:y 3 x ( x)2x xx ,即为 f (x)=x2 x 在 x1附近的平均变化率。再由导数定义得：【变式2】已知函数f ( 1) lim - lim(3 x) 3 x x x y 工 vx ,求函数在x=4处的导数.【变式3】a.1【答案】类型三:例3.(1) f (4) limx 014 x lim x 0lim0 4(4(2015 春b.f (

9、4 x) f (4)x1x)宝鸡校级月考)(.4 xlimx2)1 14 x (4 2)limx516已知函数 f(x)可导,1 c.f(1)1 d.4(4 x) , 4 x 2f (1f (1) 1 ,则 lim f( 1) 1x) f(1)等于a实际问题中导数的应用设一个物体的运动方程是：s(t)vot1at2,其中2v0是初速度，时间单位为s ,求:【解析】=2 s时的瞬时速度(函数s的瞬时变化率)s(to t) s(to)tt)2 votoat；、1,t ) a(to21vo at o a t2t 2s时，瞬时速度是vo 2a【总结升华】t =2s时的瞬时速度就是t =2s附近平均速度

10、的极限，亦即速度在 t =2s时导数。举一反三：【变式1质点按规律s (t)=at 2+1做直线运动(位移单位： m,时间单位：s)。若质点在t=2 s时的瞬时速度为8 m / s ,求常数a的值。【答案】a s=s(2+ at) s(2)=a(2+ at) 2+1 ax 221=4aa t+a( at) 2,4a at。. s /lim 4a在t=2 s时，瞬时速度为 t 0 t ，即4a=8o a=2o3【变式2】如果一个质点从固定点 a开始运动，关于时间t的位移函数是s(t) t 3求(1)(2)(3)【答案】(2)(3)t=4【变式3】【答案】t=4时、物体的位移是 s(4);t=4时

11、、物体的速度 v(4);t=4时、物体的加速度 a(4).3(1)s(4) 43 67，、3 -, .3 t=4 时，(4t)3(43) 48 12 t ( t)2lim lim 48 12 t ( t)248t 0 t t 0. v(4)=48二(t t)3 3 (t3 3) 3t2 3t t ( t)2tts_ 2_2_ 2 v(t) lim -lim 3t2 3t t ( t)23t2t o t t 02vv(t t) v(4)3(4t)23 4u j tttvlim lim 24 3 t 24t o t t 0.a (4) = 24枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是出所用的时间为1.6 x 103s。求枪弹射出枪口时的瞬时速度。运动方程为s 1at2。2191919因为 s -