人教版八年级上册数学《14.2.2 完全平方公式》PPT课件

1、 请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩 子每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招子每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招 待他们来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来待他们来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来 两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，（1）第一天）第一天 有有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块 糖？（糖？（2）第二天有）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给个女孩去了老人家，老人一共给 了这些孩子多少块糖？（了这些孩子多少块糖？（3）第三天这

2、（）第三天这（a+b）个孩子）个孩子 一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4） 这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖 果总数哪个多？多多少？为什么？果总数哪个多？多多少？为什么？ (1)a2 (2)b2 (3)(a+b)2 (4)(a+b)2-(a2+b2) 在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算， 如何进行这样的运算呢？如何进行这样的运算呢？ 我们知道我们知道a2=aa，所以，所以(a+b)2=(a+b)(a+b)，这，这 样就转化成多项式与

3、多项式的乘积了样就转化成多项式与多项式的乘积了 能不能将能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢？转化为我们学过的知识去解决呢？ 像研究平方差公式一样，我们探究一下像研究平方差公式一样，我们探究一下(a+b)2的的 运算结果有什么规律运算结果有什么规律 计算下列计算下列多项式的积多项式的积，你能发现什么规律？，你能发现什么规律？ （1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=_； （2）(m+2)2=_； （3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=_； （4）(m-2)2=_. (1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1 (2)(m+2)2=(m+2)(m+

4、2)=m2+2m+m2+22=m2+4m+4 (3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p(-1)+(-1)p+(-1)(-1) =p2-2p+1 (4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=m2+m(-2)+(-2)m+(-2)(-2) =m2-4m+4 通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？ 完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于 它们的平方和，加上（或减去）它们的积的它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍倍. 用符号怎么表述呢？用符号怎么表述呢？ (a+b)2=a2+2ab+b

5、2 (a-b)2=a2-2ab+b2 其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式 你能根据图（你能根据图（1）和图（）和图（2）中的面积说明完全平方公）中的面积说明完全平方公 式吗？式吗？ 先看图（先看图（1），可以看出大），可以看出大 正方形的边长是正方形的边长是a+b还可以看还可以看 出大正方形是由两个小正方形出大正方形是由两个小正方形 和两个长方形组成，所以大正和两个长方形组成，所以大正 方形的面积等于这四个图形的方形的面积等于这四个图形的 面积之和阴影部分的正方形面积之和阴影部分的正方形 边长是边长是a，所以它的面积是，所以它的面积是a2；

6、 另一个小正方形的边长是另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是，所以它的面积是b2； 另外两个长方形的长都是另外两个长方形的长都是a，宽都是，宽都是b，所以每个长方，所以每个长方 形的面积都是形的面积都是ab；大正方形的边长是；大正方形的边长是a+b，其面积是，其面积是 (a+b)2于是就可以得出：于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2这正好这正好 符合完全平方公式符合完全平方公式 如图（如图（2）中，大正方形的边）中，大正方形的边 长是长是a，它的面积是，它的面积是a2；长方形；长方形 DCGE与长方形与长方形BCHF是全等图形，是全等图形， 长都是长都是a，宽都是，宽都是b，所

7、以它们的，所以它们的 面积都是面积都是ab；正方形；正方形HCGM的边的边 长是长是b，其面积就是，其面积就是b2； 正方形正方形AFME的边长是（的边长是（a-b），所以它的面积是），所以它的面积是(a- b)2从图中可以看出正方形从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形的面积等于正方形 ABCD的面积减去两个长方形的面积减去两个长方形DCGE和和BCHF的面积再加的面积再加 上正方形上正方形HCGM的面积也就是：的面积也就是：(a-b)2=a2-2ab+b2这这 也正好符合完全平方公式也正好符合完全平方公式 数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步数学源于生活，又服务于生活，于是

8、我们可以进一步 理解完全平方公式的结构特征现在，大家可以轻松解开理解完全平方公式的结构特征现在，大家可以轻松解开 课时提出的老人用糖招待孩子的问题了课时提出的老人用糖招待孩子的问题了 (a+b)2-(a2+b2) =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab 于是得出孩子们第三天得到的糖果总数比前两天于是得出孩子们第三天得到的糖果总数比前两天 他们得到的糖果总数多他们得到的糖果总数多2ab块块 例例3 运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算: (1) (4m+n)2; (2) (y- )2. 1 2 解解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2(4m)n+n2 = 16m2+8mn +

9、n2; (2) (y - )2 = y2 - 2y + ( )2 = y2-y + . 1 2 1 2 1 2 1 4 例例4 运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算: (1) 1022 ; (2) 992 . 解解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2100 2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 . (2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -2 100 1+12 = 10 000 - 200 + 1 = 9 801. 请同学们完成下列运算并回忆去括号法则请同学们完成下列运算并回忆去括号法则 （1）4+（5+2） （2）4

10、-（5+2） （3）a+（b+c） （4）a-（b-c） 解：（解：（1）4+（5+2）=4+5+2=11 （2）4-（5+2）=4-5-2=-3 （3）a+（b+c）=a+b+c （4）a-（b-c）=a-b+c 去括号法则：去括号法则： 去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后， 括号里括号里各各项不项不变号变号；如果括号前是负号，去掉括；如果括号前是负号，去掉括 号后，括号里的各项都变号后，括号里的各项都变号号. 也就是说，遇也就是说，遇“加加”不变，遇不变，遇“减减”都变都变 4+5+2与与4+（5+2）的值相等；）的值相等；4-5-2与与4-（5

11、+2） 的值相等所以可以写出下列两个等式：的值相等所以可以写出下列两个等式： （1）4+5+2=4+（5+2） （2）4-5-2=4-（5+2） 左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，同学左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，同学 们可不可以总结出添括号法则来呢？们可不可以总结出添括号法则来呢？ 添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项 都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项 都改变符

12、号都改变符号 也是：遇也是：遇“加加”不变，遇不变，遇“减减”都变都变 例例5 运用乘法公式计算运用乘法公式计算: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2. 解解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) = x+ (2y 3 ) x- (2y-3) = x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. (2)(a + b +c ) 2 = (a+b) +c 2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +

13、2ab+2bc +2ac. 1、完全平方公式的内容是什么？、完全平方公式的内容是什么？ 2、请同学们总结完全平方公式的结构特征。、请同学们总结完全平方公式的结构特征。 公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是 三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平 方而另一项是左边二项式中两项乘积的方而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍倍 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 3、我们要正确理解公式中字母的广泛含义：它、我们要正确理解公式中字母的广泛含义：它 可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公可以是数字、字母或其他代数式，只要符合公 式的结构特征，就可以运用这一公式。式的结构特征，就可以运用这一公式。 5、我们体会到了转化思想的重要作用，学习数、我们体会到了转化思想的重要作用，