定积分典型例的题目精讲

1、定积分典型例题例1求lim 2(3厂+科竹|+疔).n-.: n若对题目中被积函分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.数难以想到，可采取如下方法：先对区间0, 1 n等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限.解 将区间0, 1 n等分，则每个小区间长为.次=1,然后把=1 -的一个因子-乘nn n nn入和式中各项于是将所求极限转化为求定积分即lim 4(泞 +习2n2 +|+贰)=1计丄品 +泸 +111+护)=VXdx=E 门一丿 nn 二 n n , n勺 n 04212例 2J2xxdx=2盯解法1由定积分的几何意义知，0 J2x-x2dx等于上

2、半圆周(X1)2+y2=1 ( yX0)与x轴所围成的图形的面积.故.2xx2dx = 2解法2 本题也可直接用换元法求解.令x_1 = sint (丄兰t兰三)，则2 2212応JT 2冗0 2x -x dx= 2_. 1 -sin t costdt = 2 ； J -sin t costdt = 2 02 cos tdt =p2、 1 1 2 1例 3 比较(exdx ,ex dx ,(1 +x)dx 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小.2解法 1 在1,2上，有 ex 三ex

3、.而令 f(x) =ex -(x 1)，则 f (x) =ex -1.当 x 0 时,f (x) 0，f(x)在(0,；)上单调递增，从而 f(x) f(0)，可知在1,2上，有ex 1 x 又1 2 1 1 1 x2 2f(x)dx=- f (x)dx，从而有 (1+x)dxA(exdx A Jexdx .解法2 在1,2上，有e(exdx I ex dx .0 2 例4估计定积分ex *dx的值.2分析要估计定积分的值，关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值.解 设 f(x)=exj,因为 f (x) =e*(2x-1),令 f(x)=O,求得驻点 x =,而21 1 f(0)=

4、e=1, f (2)=e2, f(2)=eP,故1e 0 .求 匹g(x)f (x)dx .解 由于f(x)在a,b上连续，则f (x)在a,b上有最大值 M和最小值m 由f()x 0 知M 0 , m .0 .又 g(x) _0 ,贝U_ bb b罟m a g(x)dx 兰g(x)fdx 兰Jag(x)dx .由于 lim n m =lim n M =1，故bbnm ag(x)n f(X)dx= ag(x)dx .p, n为自然数.分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则.解法1利用积分中值定理sin x设f(x)二,显然f (x)

5、在n,n - p上连续，由积分中值定理得xn p sin x ,sinn dxp, n,n p,n x当 n时，-,而 sin 乞1,故F十 sinxsin -nm n dx=iim p=o.解法2利用积分不等式因为而 limlnn厂n P=o,所以p sinx ,. dx - xsin xxdx -卩丄dx =lnn p sin x、x求 lim dx .01 :-x解法1由积分中值定理bba f (x)g (x)dx = f (：) l g(x)dx 可知01 xdx =1o xndx,1 1 11嚎”加日嚎齐“且訂应兰1,1 xlimdx =0 .J 01 x解法2因为0 _x _1，故

6、有nn_x .c x 0 -1 x于是可得又由于1 xn0 0 时，f (x)是 g(x)的( ).A .等价无穷小.解法1由于傀B .同阶但非等价的无穷小.2f(x) lim sin (sin x) cosx g(x) 叫23x. cosx= limx 0 3 4x1x2lim 2 =3x 0x2丄 34x.sin(sin2 x) limx_0C.高阶无穷小.D .低阶无穷小.故f (x)是g(x)同阶但非等价的无穷小.选B .解法2将sint2展成t的幕级数，再逐项积分，得到sinx 21 “2、31 . 31t 一 (t ) dt sin x - 3!342lim便x 0 g(x)311

7、4sin x( sin x )342勺x3?11 sin 42x in例17证明：若函数f(x)在区间a,b上连续且单调增加，则有ba 亠 b bxf(x)dx _ f (x)dx a2 axa x x证法 1 令 F(x)= tf(t)dt _ 二一L f(t)dt，当 twa,x时，f(t)兰 f (x)，则1 xa+xx a1 xF (x) =xf (x) f (t )dtf (x) =f (x)f (t)dt2 电222*a、x a1 .xx ax af (x) f (x)dt = f (x)f (x) =0 2 2 a 2 2故F(x)单调增加即F(x) _F(a)，又F(a) =0

8、，所以F(x) _ 0 ,其中xa,b 从而ba +b bF (b) = xf (x)dx f (x)dx 3 0 .证毕.证法2由于f(x)单调增加，有(X-2 b)f(x)-f (空b) _0，从而 2 2a + b)f (x) - f ( )dx 一 0 Jx a2 2ba(x-a +b)f(x)dx K f(x-2a、a2b)f(a2b)dx = f(a2b) (x a2b)dx = 0 182计算.x|dx baXf(X)dX2ba f(x)dx 分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分.2 2202x2 cx2 c 5解L|x|dx = L（x）dx + xdx

9、= ? 注 在使用牛顿-莱布尼兹公式时，应保证被积函数在积分区间上满足可积条件如3 1111=dx=丄32=1，则是错误的.错误的原因则是由于被积函数在X=0处间断且在被xx6x积区间内无界2 9例 19 计算 0 max x ,xdx 分析被积函数在积分区间上实际是分段函数f(x) =$xLx1 ：x20乞x乞11 717=_ +-=2 36分析本题只需要注意到定积分ba f(x)dx是常数(a, b为常数).2212 2X2 1 X3 20 maxx ,xdx = xdx i x dx 二尹 亍31例20 设f(x)是连续函数，且 f (x)=x+3f(t) dt，贝U f(x)=1 1解

10、 因f (x)连续，f (x)必可积，从而 0 f (t)dt是常数，记0f(t)dt=a，则1 1f(x)=x+3a，且 0(x+3a)dx = J0 f (t)dt =a .所以1 2 1 1x3axo =a，即卩3a = a ,2 213从而a ，所以 f (x) =x -4 43x20 xf 1x例 21 设 f(x) = 23 ，, F(x)= ( f(t)dt , 0Ex 兰2，求 F(x),并讨论 F(x)5-2x, 1兰x兰2盹的连续性.分析 由于f(x)是分段函数,故对F(x)也要分段讨论.解 (1 )求F(x)的表达式.F(x)的定义域为0,2.当 x 0,1时，0,x0,

11、1,因此xx 23 x3F(x) = j0 f(t)dt = j03t2dt=t3】x=x3.当 x (1,2时，0, x =0,1|J1,x,因此,则F(x)二；3t2dt：(5-2t)dt=t30 5t-t2：=-3 5x-x2,故-3lx ,0 兰x0 .2a 22a 220 xj2ax_x2dx= 0 xja2 _(x _a)2dx，令x a 二 asin t，贝U0 xj2axx2dx = a3 总(1 +si nt)cos2tdt=2a3 0 cos2 tdt 0 = 5 a3若定积分中的被积函数含有a -x ，一般令 x =asi nt 或 x=acost .，其中解法1 令x

12、= asi nt，则26 计算a dx1 xfa2 x22-costdtsint cost(sint cost) (costsint) dt解法2 令x = asi nt2，则0sin t cost知空沁dt0 sint costIt In | si nt cost | jj =4a dx0 x . a22 costsin t costdt =2 sinu du.0 sin u cosucostdt . sint cost又令匕-u，则有所以,dxx 亠 0)，汽锤第一次击打进地下a ( m)，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r (0crc1 ).问：

13、(1) 汽锤打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？(注：m表示长度单位米)分析 本题属于变力作功问题，可用定积分来求.解 (1)设第n次击打后，桩被打进地下Xn，第n次击打时，汽锤所作的功为 g(n=1 ,2 , -).由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以xik 2 k 2x2k 22 k 22W kxdxa ,kxdx(x?)(xa ).022町22由g rrW得X2 2 2 2 2 2 2X3 -(1 r)a =r a ,即卩 X3 = (1 r r )a .从而汽锤击打3次后，可将桩打进地下X3 =a 1 r r2 ( m ).(2)问题是要求lim xn，为此先用归纳法证明：xn1 =a.1 rn假设人=.1 r ( rna，则Wn+ =+kxdx=k(Xn*2 Xn2) =kXn 一(1+r+.+rn)a2. 攵 2 2由wn 1 =rWn =讥rW ,得Xn (1 +r +. +rn*)a2 = rna2.从而Xn 1 = J rna .i1 _rn*lim xn a =lim ,ann1 ，r _Xi2 =ra2，即 X22 =(1 - r)a2 ,于是a；kxdx =夕(冷2 -X22)=号伙32(1+r)a2.若不限打击次数，汽锤至多能将桩打进地下