现代信号处理-现代谱.

1、第七章现代谱估计第七章现代谱估计 n 7.2 ARMA7.2 ARMA模型模型 n 7.3 7.3 功率谱估计的功率谱估计的ARAR模型法模型法 n 7.1 7.1 引言引言 n 7.4 AR7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n 7.5 ARMA7.5 ARMA模型谱估计模型谱估计 n 7.6 7.6 特征分解法谱估计特征分解法谱估计 7.1 引言引言 n1. 经典谱估计方法的缺点：经典谱估计方法的缺点： n根据观察到的根据观察到的N个样本值来估计功率谱，个样本值来估计功率谱， 认为在这认为在这N个数据以外的数据为零，与实个数据以外的数据为零，与实 际不符，因而导致了各种缺点。际不

2、符，因而导致了各种缺点。 n2. 现代谱估计方法的基本思想：现代谱估计方法的基本思想： 7.1 引言引言 n2. 现代谱估计方法的基本思想：现代谱估计方法的基本思想： n对平稳和遍历的随机过程采样得到的数对平稳和遍历的随机过程采样得到的数 据不仅仅是一个样本，其中包含了数据据不仅仅是一个样本，其中包含了数据 之间的相关性质之间的相关性质 n通过提取这种相关性质，也就是先利用通过提取这种相关性质，也就是先利用 采样数据建立随机过程的模型，对数据采样数据建立随机过程的模型，对数据 进行外推，进而提高功率谱估计的分辨进行外推，进而提高功率谱估计的分辨 率。率。 n通常称为参数模型法。通常称为参数模型

3、法。 7.1 引言引言 n3. 平稳随机信号通过线性系统平稳随机信号通过线性系统 )0()()(HnxEnyE )(| )(|)( 2 xxyy PHP )()()()( * mhmhmRmR xxyy h(n) )(nx)(ny )( xx P )( yy P)( H 7.1 引言引言 n 平稳白噪声通过线性系统平稳白噪声通过线性系统 22 | )(|)( HPyy 2 )( xx P)()( 2 mmRxx 将将y(n)看成是白噪声通过一个线性系统的输看成是白噪声通过一个线性系统的输 出，则只要得到系统的频率响应，就能够计出，则只要得到系统的频率响应，就能够计 算出算出y(n)的频谱。的频

4、谱。 7.1 引言引言 n4. 线性系统线性系统 )( )( )( )( )( 0 0 zA zB za zb zX zY zH p i i i q i i i 1 00 ab )( 1)()()()(zYzAzBzXzY p i i q i i inyainxbny 10 )()()( H(z) )(zX)(zY )(ny )(nx 7.1 引言引言 nMA（Moving Average） 系统：系统： piab iq , 1, 00 且且 x(n-q-1) x(n-q) x(n-q+1)x(n-1)x(n) x(n+1) bqb1b0 bqb1b0 bqb1b0 q i i inxbny

5、0 )()( 7.1 引言引言 nAR （Auto Regressive）系统）系统: nARMA系统系统: p i i inyanxny 1 )()()(qiba ip , 1, 00 且且 00 qp ba且且 7.2 ARMA模型模型 n1. ARMA模型模型 n很多随机过程可以由或近似由均值为零、很多随机过程可以由或近似由均值为零、 方差为方差为 的白噪声序列的白噪声序列u(n)经过具有有经过具有有 理传输函数理传输函数H(z)的的ARMA线性系统来得线性系统来得 到。称该随机过程为到。称该随机过程为ARMA过程。过程。 A(z)-1 B(z) )(zX )(zU 2 )( )( )(

6、 0 0 zA zB za zb zH p i i i q i i i 22 | )(|)( HPxx )( 1)()()()(zYzAzBzXzY 7.2 ARMA模型模型 n只要根据采样样本估计出只要根据采样样本估计出ARMA模型的模型的 参数参数 （ai与与bi），即可求出），即可求出 n2. ARMA模型的分类：模型的分类： np阶阶AR模型：模型： ，记作，记作AR(p)。 nq阶阶MA模型：模型： ，记作，记作MA(q)。 n普通的普通的ARMA模型：模型： ，记作，记作ARMA(p,q)。 qiba ip , 1, 00 且且 piab iq , 1, 00 且且 00 qp b

7、a且且 )(| )(| xx PH及 7.2 ARMA模型模型 n3. ARMA过程与有理式谱密度的关系过程与有理式谱密度的关系 n任意平稳任意平稳ARMA过程，其功率谱密度有过程，其功率谱密度有 如下形式：如下形式： n若一平稳过程若一平稳过程x(n)的功率谱密度形如：的功率谱密度形如： 则则x(n)可用可用ARMA(p,q)模型描述，即模型描述，即 2 2 2 | )(| | )(| )( A B P x 2 2 2 | )(| | )(| )( A B P x 22 | )(|)( HP x )(*)()(nunhnx 7.2 ARMA模型模型 n4. ARMA模型的系统特性模型的系统特

8、性 n稳定系统：有限输入有限输出。稳定系统：有限输入有限输出。 冲击响应绝对值可和：冲击响应绝对值可和： 收敛域包含单位圆：收敛域包含单位圆： n因果系统：因果系统：0时刻以前的冲激响应为时刻以前的冲激响应为0， 系统是物理可实现的。系统是物理可实现的。 H(z)的收敛域在某个半径的圆外。的收敛域在某个半径的圆外。 i i h | 1| , 0)( zzA 7.2 ARMA模型模型 n4. ARMA模型的系统特性模型的系统特性 n可逆系统：系统的逆系统可逆系统：系统的逆系统1/H(z)是因果稳是因果稳 定的，即其零点均在单位圆内。定的，即其零点均在单位圆内。 7.2 ARMA模型模型 n5.

9、ARMA模型的模型的Wold分解定理分解定理 n任何一个具有有限方差的任何一个具有有限方差的ARMA或或MA过过 程都可用某一程都可用某一AR( )过程唯一地描述。过程唯一地描述。 n任何一个任何一个ARMA或或AR过程都可用某一过程都可用某一 MA( )过程唯一地描述。过程唯一地描述。 7.2 ARMA模型模型 n5. ARMA模型的模型的Wold分解定理分解定理 n说明：说明： 实际应用中，若模型选择有误，仍可实际应用中，若模型选择有误，仍可 通过使阶数足够大来进行合理近似；通过使阶数足够大来进行合理近似； AR模型求解简单，可多选择模型求解简单，可多选择AR模型进模型进 行估计。行估计。

10、 7.2 ARMA模型模型 n6. ARMA参数与自相关函数之间的关系参数与自相关函数之间的关系 n自相关函数与系统冲激响应的关系自相关函数与系统冲激响应的关系 设系统为因果和最小相位系统，则设系统为因果和最小相位系统，则 i i zihzH 0 )()( )(*)( )(*)()( mRm mRmRmR h hux 2 i ihimh)()( *2 )()( * imhih i 0 2 7.2 ARMA模型模型 n自相关函数与自相关函数与ARMA参数的关系参数的关系 )()( 00 inubinxa q i i p i i n q i i p i i binbinha )()( 00 )(i

11、mRa x p i i 0 )()()( 0 *2 imhihmR i x mk k x p i i bkhimRa 0 *2 0 )()( 0 2 0k p i i imkhkha)()( * p i i k imkhakh 00 2 )()( * 7.2 ARMA模型模型 当当 时，时， ，因此，因此 qmimRa x p i i ,0)( 0 qm 0 km b 2, 1, 0)()( 1 qqmimRamR x p i ix qmbhimRamR qx p i ix ,)0()()( *2 1 mk k x p i i bkhimRa 0 *2 0 )()( 7.2 ARMA模型模型

12、n自相关函数与自相关函数与AR参数的关系参数的关系 在在ARMA模型中，令模型中，令q=0可得可得 2 , 1, 0)()( 1 mimRamR x p i ix 0),0()()( *2 1 mhimRamR x p i ix 1)(lim)0( zHh z 0)( 2 , 1)( )( 2 1 1 mimRa mimRa mR x p i i x p i i x 7.3 功率谱估计的功率谱估计的AR模型法模型法 n1. 基本概念基本概念 n问题：已知随机序列问题：已知随机序列x(n)符合符合AR(p)模型，模型， 即：即： 其中其中p为未知整数。现有为未知整数。现有x(0) x(1) x(

13、N-1) 共共N个样本，要求估计个样本，要求估计x(n)的功率谱密度。的功率谱密度。 )()()( 1 nuinxanx p i i 7.3 功率谱估计的功率谱估计的AR模型法模型法 n1. 基本概念基本概念 n问题：问题： 估计估计x(n)的功率谱密度。的功率谱密度。 n思路：思路： 求模型阶数求模型阶数p； 求求 求求u(n)的方差的方差 。 )()()( 1 nuinxanx p i i piai2 , 1, 2 7.3 功率谱估计的功率谱估计的AR模型法模型法 n2. Yule-Walker方程方程 n当阶数当阶数p已知时，利用已知时，利用x(n)的自相关函数的自相关函数 与与AR模型

14、参数的关系，可建立模型参数的关系，可建立Y-W方程，方程， 解该方程，即可得到解该方程，即可得到AR参数。参数。 0)()( 2 , 10)()( 2 1 1 mimRamR pmimRamR x p i ix x p i ix 0 0 1 ) 0() 1()( )1 () 0() 1 ( )() 1() 0( 2 1 p a a RpRpR pRRR pRRR AR模型的模型的Yule- Walker方程组方程组 7.3 功率谱估计的功率谱估计的AR模型法模型法 令令 n解解Y-W方程的方程的Levinson-Durbin递推法递推法 请参考请参考“自适应格形滤波器自适应格形滤波器”的有关的

15、有关 内容。内容。 ) 0() 2() 1( )1 () 1() 0( RpRpR pRRR R T pRRR)() 2() 1 (r T p aaa 21 a ra R 0 0 1 ) 0() 1()( )1 () 0() 1 ( )() 1() 0( 2 1 p a a RpRpR pRRR pRRR 7.3 功率谱估计的功率谱估计的AR模型法模型法 nAR模型参数的可辨识性模型参数的可辨识性: 矩阵矩阵R的秩为的秩为p,因此因此Y-W方程有唯一解。方程有唯一解。 即即AR模型的参数可由模型的参数可由p个个Yule-Walker方方 程唯一确定。程唯一确定。 7.3 功率谱估计的功率谱估计

16、的AR模型法模型法 n3. AR模型的阶数模型的阶数p n阶数阶数p的影响的影响 阶数太低：功率谱受到的平滑太厉害，阶数太低：功率谱受到的平滑太厉害， 降低分辨率。降低分辨率。 阶数太高：会产生许多虚假的谱峰或阶数太高：会产生许多虚假的谱峰或 谱的细节。谱的细节。 2 1 2 1 )( p i ij i x ea P 7.3 功率谱估计的功率谱估计的AR模型法模型法 nAR模型的拟合特性模型的拟合特性: AR模型相当于用一个模型相当于用一个p 阶预测器对信号阶预测器对信号 进行拟合进行拟合,而白噪声而白噪声u(n)相当于拟合误差。相当于拟合误差。 阶数太低：不能体现信号之间的内在阶数太低：不能

17、体现信号之间的内在 联系；联系； 阶数太高：会增加拟合误差，使模型阶数太高：会增加拟合误差，使模型 表现出数据随机误差的性质。表现出数据随机误差的性质。 )()()( 1 nuinxanx p i i 7.3 功率谱估计的功率谱估计的AR模型法模型法 n4. AR模型谱估计的性能模型谱估计的性能 n均值：均值： n方差：方差： )()( PPE else , )( 0, , )( )( 2 2 2 4 P N p P N p Par 7.3 功率谱估计的功率谱估计的AR模型法模型法 n5. 确定确定AR模型阶数的几种方法模型阶数的几种方法 n实验方法：观察拟合误差法实验方法：观察拟合误差法 算

18、出取各种模型阶数时的白噪声方差算出取各种模型阶数时的白噪声方差 2， 以能使以能使 2值显著减小的模型阶数的最大值值显著减小的模型阶数的最大值 作为选定的结果。作为选定的结果。 7.3 功率谱估计的功率谱估计的AR模型法模型法 n信息量准则法：（利用拟合噪声方差随信息量准则法：（利用拟合噪声方差随 阶数增加而减小以及谱估计方差随阶数阶数增加而减小以及谱估计方差随阶数 增加而增大的特点）增加而增大的特点） 定义拟合噪声方差：定义拟合噪声方差： i) 最终预测误差（最终预测误差（FPE）准则：）准则： 1 1 ),( 2 , qN-p qpN qpFPE qp P i xiqp iqRa 0 2

19、)( , ),(minarg ) , ( ),( qpFPEqp qp 7.3 功率谱估计的功率谱估计的AR模型法模型法 ii) Akaike信息准则（信息准则（AIC）：）： ，其中，其中N为数据为数据 长度。长度。 iii) BIC准则：准则： NpqqpAIC qp / )( 2ln),( 2 , ),(minarg ) , ( ),( qpAICqp qp NNpqqpBIC qp /ln)(ln),( 2 , ),(minarg ) , ( ),( qpBICqp qp 7.3 功率谱估计的功率谱估计的AR模型法模型法 iv)最小长度准则（最小长度准则（MDL） v) 自回归传递函数

20、准则（自回归传递函数准则（CAT） NpqNqpMDL qp ln)(ln),( 2 , ),(minarg ) , ( ),( qpMDLqp qp 2 ,1 2 , 111 ),( qk p kqk N qpCAT ),(minarg ) , ( ),( qpCATqp qp 2 , 2 , qkqk kN N 7.3 功率谱估计的功率谱估计的AR模型法模型法 说明：说明： 当数据长度当数据长度N较小时，方法较小时，方法iv均不理均不理 想；想； 在处理实际数据时，各种方法的效果在处理实际数据时，各种方法的效果 差别不大；差别不大； 试验表明，对于短数据，模型阶数选试验表明，对于短数据，模

21、型阶数选 在在N/2到到N/3之间效果较好。之间效果较好。 7.3 功率谱估计的功率谱估计的AR模型法模型法 n线性代数法：线性代数法： 奇异值分解法奇异值分解法 行列式检验法行列式检验法 Gram-Schmidt正交法正交法 7.3 功率谱估计的功率谱估计的AR模型法模型法 n6. AR模型定阶的奇异值分解法模型定阶的奇异值分解法 n奇异值分解：奇异值分解： 对于一个对于一个MN矩阵矩阵A，存在一个，存在一个MM 酉阵酉阵U和和NN酉阵酉阵V，使得，使得A可分解为可分解为 其中其中 为为MN对角矩阵，其主对角线上对角矩阵，其主对角线上 元素非元素非 负，且负，且 称称 为矩阵为矩阵A的奇异值

22、。的奇异值。 不为不为0的奇异值的个数等于的奇异值的个数等于A的秩。的秩。 H VUA , 0 2211 hh ),min(NMh ii 7.3 功率谱估计的功率谱估计的AR模型法模型法 n奇异值分解确定奇异值分解确定 AR阶数阶数 利用利用R(m)构造构造 矩阵：矩阵： Re为为R的扩展，它的秩为的扩展，它的秩为p。因此。因此Re有有p个个 主要的奇异值，其余的都十分接近于零。主要的奇异值，其余的都十分接近于零。 可以用可以用Re的主要奇异值的个数来确定的主要奇异值的个数来确定 AR阶数阶数p。 )() 1()( )2() 1() 2( )1()() 1( Re eeee eeee eeee

23、 pMqRMqRMqR pqRqRqR pqRqRqR ) 1( e pM pqpqqqpppM eeeee , , , 0 0 1 ) 0() 1()( )1 () 0() 1 ( )() 1() 0( 2 1 p a a RpRpR pRRR pRRR 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n1. 性质性质1:AR模型谱估计等效于最大熵谱估模型谱估计等效于最大熵谱估 计计 n最大熵谱估计问题的提出最大熵谱估计问题的提出 经典谱估计方法具有分辨率低和旁瓣经典谱估计方法具有分辨率低和旁瓣 “泄漏泄漏”的问题，其根本原因是自相的问题，其根本原因是自相 关函数加窗。为克服这些问题必须对关函

24、数加窗。为克服这些问题必须对 自相关函数进行外推。自相关函数进行外推。 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n最大熵谱估计问题的提出最大熵谱估计问题的提出 Burg于于1967年提出以最大熵作为自相年提出以最大熵作为自相 关函数外推的准则，其合理性在于这关函数外推的准则，其合理性在于这 样对自相关函数的约束最少，因而时样对自相关函数的约束最少，因而时 间序列的随机性最大，功率谱最光滑间序列的随机性最大，功率谱最光滑 （相当于光滑性约束）。（相当于光滑性约束）。 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n最大熵谱估计原理最大熵谱估计原理 熵率的定义：熵率的定义： N维随机向量维随

25、机向量x的概率密度为的概率密度为p(x)，则其，则其 熵率定义为：熵率定义为： 功率谱密度功率谱密度 的熵定义的熵定义(高斯信号高斯信号)： x)x(ln) x( 1 - )x(ln 1 ) x( dpp N pE N h )( P dpCph )(ln)( x x 越随机、概率越随机、概率 分布越均匀，其分布越均匀，其 熵率越大。熵率越大。 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 最大熵谱估计问题的定义：最大熵谱估计问题的定义： 在约束在约束 的条件下，即在的条件下，即在时自相时自相 关函数与观测值一致的条件下，外推自关函数与观测值一致的条件下，外推自 相关函数，使相关函数，使 最大。

26、最大。 pmmRdep jm 1, 0, )()( 2 1 pm 1, 0 dpCph )(ln)( 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n最大熵谱估计的求解方法最大熵谱估计的求解方法 令令 pm mR ph x |,0 )( )( mj x e mR p )( )( 0)( )( )(ln 1 mj x ep mR p pmdep mj |,0)( 2 1 1 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 depmc mj )( 2 1 )( 1 pmmc |,0)( mj p pm emcP )()( 1 mj p pm emc P )( 1 )( )()( 1 )( 1* 2

27、zAzAzmc m p pm )()( )( 1* 2 zAzA zP mj m emcp )()( 1 令令 2 2 | )(| )( A P pmdep mj |,0)( 2 1 1 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n说明：说明： 最大熵谱估计是由功率谱的熵针对未最大熵谱估计是由功率谱的熵针对未 知自相关函数求导来得到，它恰好满知自相关函数求导来得到，它恰好满 足足AR模型。模型。 对自相关函数依使谱熵最大的准则进对自相关函数依使谱熵最大的准则进 行外推后得到的谱实际上就是把信号行外推后得到的谱实际上就是把信号 看作服从看作服从AR模型所得到的谱。反之，模型所得到的谱。反之，

28、 当把信号看成服从当把信号看成服从AR模型，也相当于模型，也相当于 对自相关函数依谱熵最大准则进行外对自相关函数依谱熵最大准则进行外 推。推。 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n说明：说明： 已知的自相关函数值可用来求得已知的自相关函数值可用来求得AR模模 型的参数。型的参数。 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n2. 性质性质2:AR谱估计隐含了对自相关函数的谱估计隐含了对自相关函数的 外推外推 n已经知道自相关与已经知道自相关与AR模型参数的关系为模型参数的关系为 设设R(0), R(1),R (p)已知，则已知，则 0)( 0)( )( 2 1 1 mimRa

29、mimRa mR p i i p i i )1()1()()1( 21 RapRapRapR p )2()() 1() 2( 21 RapRapRapR p 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n说明：说明： AR谱估计相当于将有限个自关函数值谱估计相当于将有限个自关函数值 按照按照Y-W方程进行外推后进行付氏变换方程进行外推后进行付氏变换 得到的结果；得到的结果； 由该方法将自相关函数进行了外推，由该方法将自相关函数进行了外推， 克服了经典谱估计方法加窗导致分辨克服了经典谱估计方法加窗导致分辨 率低和旁瓣泄露的问题。率低和旁瓣泄露的问题。 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性

30、质 AR模型谱估计与周期图比较示例模型谱估计与周期图比较示例 周期图估周期图估 计频谱计频谱 AR模型估模型估 计频谱计频谱 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n3. 性质性质3: AR谱估计与线性预测谱估计等效谱估计与线性预测谱估计等效 n线性预测谱估计：求最小均方误差意义线性预测谱估计：求最小均方误差意义 下针对随机序列下针对随机序列x(n)的的p阶预测器阶预测器 p i i inxanx 1 )() ( min 2 , 21 | ) ( )(|minarg , 21 nxnxEaaa p aaa p 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n3. 性质性质3: AR谱估

31、计与线性预测谱估计等效谱估计与线性预测谱估计等效 与与Y-WY-W方程方程 组相同组相同 p i i inxanx 1 )() ( min 2 , 21 | ) ( )(|minarg , 21 nxnxEaaa p aaa p 0 0 1 1 mimRa mimRa mR p i i p i i )( )( )( min AR谱估计相当于谱估计相当于:用随机序列前用随机序列前p个时刻的值在个时刻的值在MMSE准准 则下预测（外推）当前值，依次外推出未知序列后再进行则下预测（外推）当前值，依次外推出未知序列后再进行 谱估计。谱估计。 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n说明：说明：

32、 匹配问题匹配问题 A(z)-1 )(nx)(nu A(z)(nx)(nu 2 )( )( )( A P P u x 2 2 )( )( A P AR dPARnuE xu )()()()( 2 22 2 1 0 1 2 1 d P P AR x )( )( 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 匹配问题匹配问题 功率谱匹配功率谱匹配 自相关匹配自相关匹配 1 2 1 d P P AR x )( )( NmimRa NmmR mR AR p i i AR |)( |)( )( 1 1 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 匹配问题匹配问题 能否时域匹配能否时域匹配? 基于自相关

33、函数的基于自相关函数的AR模型谱估计只模型谱估计只 能做到能做到 功率谱匹配功率谱匹配 自相关匹配自相关匹配 1NnnxnxAR),()( 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n4. 影响影响AR谱估计性能的因素谱估计性能的因素 n噪声噪声 若存在观测白噪声若存在观测白噪声v(n)，受干扰的，受干扰的AR过过 程变为程变为 )( )( )( )(zV zA zU zY )()( )()( )()( )( 1* 1*22 2 1* 2 zAzA zAzA zAzA zP v vy y(n)符合符合 ARMA(p,p)模型模型 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n噪声噪声 不

34、仅有极点，而且有零点。不仅有极点，而且有零点。 当当 时，零点与原来的极点抵消，时，零点与原来的极点抵消， 产生非常平滑的谱，导致分辨率下降。产生非常平滑的谱，导致分辨率下降。 )()( )()( )()( )( 1* 1*22 2 1* 2 zAzA zAzA zAzA zP v vy 22 v )(zPy 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n自相关函数的计算误差自相关函数的计算误差 理想情况下，应有理想情况下，应有 事实上由于估计误差，可能造成事实上由于估计误差，可能造成 即估计的谱中多出即估计的谱中多出N-p个额外的极点。个额外的极点。 若其中有靠近单位圆的极点，则会形若其中

35、有靠近单位圆的极点，则会形 成虚假的谱峰。成虚假的谱峰。 ,10piai pia i , 0 2p 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n克服噪声对克服噪声对AR谱估计的影响谱估计的影响 i) 对数据滤波，减小噪声；对数据滤波，减小噪声； ii) 采用高阶采用高阶AR模型模型 ARMA(p,q)模型可由模型可由AR()描述。因描述。因 此，随着此，随着AR模型阶数的增加，估计模型阶数的增加，估计 结果趋于结果趋于y(n)的真实谱；的真实谱； 考虑到自相关计算的误差，考虑到自相关计算的误差，AR模型模型 的阶数一般不超过数据长度的一半。的阶数一般不超过数据长度的一半。 iii) 采用采

36、用ARMA(p,p)模型。模型。 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n5. 自相关法自相关法 n求使在观测数据范围内前向预测误差功求使在观测数据范围内前向预测误差功 率最小的模型参数率最小的模型参数 n p i i inxanx N 2 1 1 )()( 0 1 0 1 0 1 1 n p i i n p i i m mnxinxanx N inxanxmnx Na )( )()( )()()( * * 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n5. 自相关法自相关法 n设在设在n=N范围内，范围内，x(n)=0 p in i n mnxinx N amnxnx N 1 11

37、 )()()()( * 1 1 N mn mnxnx N mR)()()( * 令 p i i imRamR 1 )()( 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n5. 自相关法自相关法 n自相关法的求解式与自相关法的求解式与Y-W方程组形式一致方程组形式一致 pmimRamR p i i ,)()(210 1 min * min )()( )( )()( p i i n p i i iRaR nxinxanx N 1 1 0 1 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n6. 协方差法协方差法 n避免假设在避免假设在n=N范围内，范围内，x(n)=0 1 2 1 1 N pn

38、p i i inxanx pN )()( 0 1 0 1 1 N pn p i i m inxanxmnx pNa )()()( * 1 1 N pn mnxinx pN imR)()(),( * 令 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n6. 协方差法协方差法 00 1 p i i imRamR),(),( 1 1 N pn mnxinx pN imR)()(),( * min * min ),(),( )( )()( p i i N pn p i i iRaR nxinxanx pN 1 1 1 000 1 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n6. 协方差法协方差法

39、n该方程组不能用该方程组不能用Levinson算法求解算法求解 pmimRamR p i i ,),(),(100 1 min ),(),( p i i iRaR 1 000 0 0 1 10 11101 01000 1 min ),(),(),( ),(),(),( ),(),(),( p a a ppRpRpR pRRR pRRR 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n7. 修正协方差法修正协方差法 n联合前向预测和后向预测联合前向预测和后向预测 pN n p i i N pn p i i inxanxinxanx pN 1 0 2 1 1 2 1 1 )()()()( 0 1

40、0 1 01 1 1 )()()( )()()( * * pN n p i i N pn p i i m inxanxmnx inxanxmnx pNa )()()()(),( * pN n N pn mnxinxmnxinx pN imR 1 0 1 1 令 7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n7.修正协方差法修正协方差法 00 1 p i i imRamR),(),( min * * min ),(),( )( )()( )( )()( p i i pN n p i i N pn p i i iRaR nxinxanx nxinxanx pN 1 1 01 1 1 000 1

41、7.4 AR模型谱估计的性质模型谱估计的性质 n7. 修正协方差法修正协方差法 n该方法用于计算自相关的数据量加倍该方法用于计算自相关的数据量加倍 0 0 1 10 11101 01000 1 min ),(),(),( ),(),(),( ),(),(),( p a a ppRpRpR pRRR pRRR )()()()(),( * pN n N pn mnxinxmnxinx pN imR 1 0 1 1 7.5 ARMA模型谱估计模型谱估计 n1. MA模型参数与自相关的关系模型参数与自相关的关系 由系统冲激响应与自相关的关系已经得到由系统冲激响应与自相关的关系已经得到 )()( 0 i

42、nubnx q i i i q i iz bzH 0 )( qmbb qm qmbb mR mi q mi i mi mq i i , 2, 1 |0 , 2 , 1 , 0 )( *2 0 *2 mk k x p i i bkhimRa 0 *2 0 )()( else qib h i i 0 ,.1 , 0 0, 1 210 p aaaa 7.5 ARMA模型谱估计模型谱估计 n2. MA模型的系数求解模型的系数求解 nMA模型可由无穷阶模型可由无穷阶AR模型逼近模型逼近 q qm jm m jm emR emRP )( )()( 1 1 1 1 )( 1 )()(1 i i i q i

43、i i za zA zHzBzb 1)()( zBzA)(*iba ii 7.5 ARMA模型谱估计模型谱估计 2 , 1, 0)( 1 mmaba q i imim pmmeaba q i imim 2 , 1, )( 1 等效于等效于 的的q阶线性预测器。阶线性预测器。 设计设计 使使 最小，可逼近最小，可逼近 。 m me 2 | )(|)(*iba ii i b m a 7.5 ARMA模型谱估计模型谱估计 nMA模型参数估计步骤：模型参数估计步骤： 由由x(n)建立建立AR(p)， ，得到，得到 由由 建立建立q阶阶MMSE线性预测器，该预线性预测器，该预 测器的系数为测器的系数为

44、。 piai2 , 1, qp i a i b 7.5 ARMA模型谱估计模型谱估计 n3. ARMA模型参数与自相关的关系模型参数与自相关的关系 qmimRa qmbihimRa qmbihimRa mR p i i mq mi mi p i i mq i mi p i i )( , 2, 1)()( , 2 , 1 , 0)()( )( 1 *2 1 0 *2 1 mk k x p i i bkhimRa 0 *2 0 )()( 7.5 ARMA模型谱估计模型谱估计 n4. ARMA参数估计步骤参数估计步骤 ni) 求求 利用利用 时的自相关函数关系可得：时的自相关函数关系可得： i a

45、)( ) 1( )() 2() 1( ) 2()() 1( ) 1() 1()( 1 pqR qR a a qRpqRpqR pqRqRqR pqRqRqR p qm qmimRamR p i i , )()( 1 修正的修正的Yule- Walker方程组方程组 7.5 ARMA模型谱估计模型谱估计 为避免当自相关矩阵接近奇异时导致数值为避免当自相关矩阵接近奇异时导致数值 计算的不稳定性，一般建立超定方程。计算的不稳定性，一般建立超定方程。 设设Mp，则，则 利用最小二乘法解该方程组，可得利用最小二乘法解该方程组，可得 )( ) 1( )() 1( )() 1( ) 1()( 1 MR qR

46、 a a pMRMR qRpqR pqRqR p raR rR)RR( a 1HH qmimRamR p i i , )()( 1 7.5 ARMA模型谱估计模型谱估计 n ii) 将将ARMA模型转化为模型转化为MA模型模型 即即y(n)满足满足MA模型。模型。 niii) 求解求解y(n)满足的满足的MA模型的参数。模型的参数。 )()()( )( )( )()( )()(zBzUzA zA zB zUzAzXzY 1 0 )( zazA p i i 7.5 ARMA模型谱估计模型谱估计 n5. 阶数的确定阶数的确定 np的确定方法同的确定方法同AR模型。以下设模型。以下设 p已知。已知。

47、 n 构造构造 矩阵：矩阵： 可以证明，可以证明，rank(R1)=p+1。 )() 1()( ) 1()() 1( )() 1()( R1 qRpqRpqR pqRqRqR pqRqRqR ) 1() 1( pp qmimRa qmbihimRa qmbihimRa mR p i i q mi mi p i i mq i mi p i i )( , 2, 1)()( , 2 , 1 , 0)()( )( 1 *2 1 0 *2 1 7.5 ARMA模型谱估计模型谱估计 n用用qe代替代替q，得到，得到R1e : 可以证明：可以证明： 当当qeq 时，时，rank(R1e)=p； 当当qe=q

48、时，时，R1e=R1 ， rank(R1e)=p+1。 n综上，可以取不同的综上，可以取不同的qe，通过求相应的，通过求相应的 R1e的秩判断的秩判断qe是否等于是否等于q。 )() 1()( ) 1()() 1( )() 1()( R1e eee eee eee qRpqRpqR pqRqRqR pqRqRqR 7.6 特征分解法谱估计特征分解法谱估计 n1. 引言引言 n要估计淹没在噪声中的正弦信号的频率，要估计淹没在噪声中的正弦信号的频率， ARMA模型参数法存在难以克服的缺点模型参数法存在难以克服的缺点 n特征分解法谱估计是一类利用自相关矩特征分解法谱估计是一类利用自相关矩 阵特征值分

49、解来估计白噪声中多正弦波阵特征值分解来估计白噪声中多正弦波 频率的方法频率的方法 7.6 特征分解法谱估计特征分解法谱估计 n特征分解法的基本思想：特征分解法的基本思想： 将自相关矩阵列矢量构成的空间分解将自相关矩阵列矢量构成的空间分解 成为信号子空间和噪声子空间。成为信号子空间和噪声子空间。 利用信号空间或它与噪声空间的关系，利用信号空间或它与噪声空间的关系， 计算正弦波频率。计算正弦波频率。 n特征分解法是一种频率估计法，而不是特征分解法是一种频率估计法，而不是 严格意义上的谱估计。严格意义上的谱估计。 7.6 特征分解法谱估计特征分解法谱估计 n2. 白噪声中复正弦波的信号模型白噪声中复

50、正弦波的信号模型 设设M个复正弦信号与零均值方差个复正弦信号与零均值方差 的加的加 性复白噪声性复白噪声w(n)构成一个平稳随机过程。构成一个平稳随机过程。 其一次实现的其一次实现的N个采样为个采样为 其中，其中，为常量，为常量， 为为 内均匀分布的独立随机变量。内均匀分布的独立随机变量。 110 1 NnnwnjA m M m Cm ,.,),()exp( 2 w mm A , m )2 , 0 )exp( mmCm jAA )()(exp)(nwnjAnx mm M m m 1 7.6 特征分解法谱估计特征分解法谱估计 定义正弦信号矢量：定义正弦信号矢量： 噪声矢量：噪声矢量： 观测信号矢量：观测信号矢量： 则：则： n3. 自相关矩阵自相关矩阵 其中其中是第是第m个正弦波的功率。个正弦波的功率。 wex 1 m M m cm A 2 mm AP wsw H mm M m m H x PERRIeexxR 2 1 T Nxxx)1(),1(),0(x T mmmm Njjj) 1(exp(,)2exp(),exp(, 1 e T Nwww)1(),1 (),0(w 7.6 特征分解法谱估计特征分解法谱估计 nRx可分解为有用信号自相关矩阵可分