《数学分析》第十二章数项级数

1、数学分析第十二章数项级数 第十二章第十二章 数项级数数项级数 数学分析第十二章数项级数 1 数项级数的收敛性数项级数的收敛性 数学分析第十二章数项级数 一、问题的提出一、问题的提出 1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积 R 正六边形的面积正六边形的面积 正十二边形的面积正十二边形的面积 1 a 21 aa 正正 形的面积形的面积 n 23 n aaa 21 n aaaA 21 即即 n 10 3 1000 3 100 3 10 3 3 1 . 2 数学分析第十二章数项级数 二、级数的概念二、级数的概念 1. 1. 级数的定义级数的定义: : n n n uuuuu 321 1 (常数项常数项)

2、无穷级数无穷级数 一般项一般项 部分和数列部分和数列 n i inn uuuus 1 21 级数的部分和级数的部分和 , 11 us , 212 uus , 3213 uuus , 21nn uuus 数学分析第十二章数项级数 2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: : 当当n无限增大时无限增大时, ,如果级数如果级数 1n n u的部分和的部分和 数列数列 n s有极限有极限s, , 即即 ssn n lim 则称无穷级数则称无穷级数 1n n u收敛收敛, ,这时极限这时极限s叫做级数叫做级数 1n n u的和的和. .并并 写成写成 321 uuus 如如果果 n s没没有有极极

3、限限, ,则则称称无无穷穷级级数数 1n n u发发散散. . 数学分析第十二章数项级数 即即 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) ) n n s lim存存在在( (不不存存在在) ) 余项余项 nn ssr 21nn uu 1i in u 即即 ssn 误误差差为为 n r)0lim( n n r 无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花. . 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就

4、得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“KochKoch雪花雪花” 数学分析第十二章数项级数 观察雪花分形过程观察雪花分形过程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面积为面积为 周长为周长为 依次类推依次类推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面积为面积为 周长为周长为 设三角形设三角形 播放播放 数学分析第十二章数项级数 , 2 , 1) 3 4 ( 1 1 nPP n n ) 9 1 (43 1 12 1 AAA nn nn 1 12 1 2 11 ) 9 1 (43) 9 1 (

5、43 9 1 3AAAA nn , 3 , 2 n 周长为周长为 面积为面积为 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 3 1 1 22 1 n A 第第 次分叉：次分叉：n 数学分析第十二章数项级数 于是有于是有 n n Plim ) 9 4 1 3 1 1(lim 1 AAn n . 5 32 ) 5 3 1( 1 A 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界 雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛） 数学分析第十二章数项级数 例例 1 1 讨讨论论等等比比级级数数( (几几何何级级数数) ) n n n aqaq

6、aqaaq 2 0 )0( a 的的收收敛敛性性. . 解解 时时如如果果1 q 12 n n aqaqaqas q aqa n 1 , 11q aq q a n 数学分析第十二章数项级数 ,1时时当当 q0lim n n q q a sn n 1 lim ,1时时当当 q n n qlim n n slim 收敛收敛 发散发散 时时如果如果1 q ,1时时当当 q ,1时时当当 q nasn 发散发散 aaaa级级数数变变为为 不不存存在在 n n s lim 发散发散 综上综上 发发散散时时当当 收收敛敛时时当当 ,1 ,1 0 q q aq n n 数学分析第十二章数项级数 例例 2 2

7、 判判别别无无穷穷级级数数 )12()12( 1 53 1 31 1 nn 的的收收敛敛性性. . 解解 )12)(12( 1 nn un), 12 1 12 1 ( 2 1 nn )12()12( 1 53 1 31 1 nn sn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn 数学分析第十二章数项级数 ) 12 1 1( 2 1 limlim n s n n n ), 12 1 1( 2 1 n , 2 1 . 2 1 , 和和为为级级数数收收敛敛 数学分析第十二章数项级数 三、基本性质三、基本性质 性质性质 1 1 如果级数如果级数

8、1n n u收敛收敛, ,则则 1n n ku亦收敛亦收敛. . 性质性质 2 2 设两收敛级数设两收敛级数 1n n us, , 1n n v, , 则级数则级数 1 )( n nn vu收敛收敛, ,其和为其和为 s. . 结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, , 敛散性不变敛散性不变. . 结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. . 数学分析第十二章数项级数 性性质质 3 3 若若级级数数 1n n u收收敛敛, ,则则 1kn n u也也收收敛敛 )1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. . 证明证明

9、nkkk uuu 21 nkkkn uuu 21 , kkn ss k n kn n n n ss limlimlim 则则 . k ss 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性影响级数的敛散性. 数学分析第十二章数项级数 性质性质 4 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和于原来的和. . 证明证明 )()( 54321 uuuuu , 21 s .limlimssn n m m 则则 , 52 s , 93 s , nm s 数学分析第十二章数项级数 注意注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定

10、收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. )11()11(例例如如 1111 推论推论 如果加括弧后所成的级数发散如果加括弧后所成的级数发散, ,则原来级则原来级 数也发散数也发散. . 收敛收敛 发散发散 数学分析第十二章数项级数 四、收敛的必要条件四、收敛的必要条件 级级数数收收敛敛. 0lim n n u 证明证明 1n n us, 1 nnn ssu则则 1 limlimlim n n n n n n ssu ss . 0 即即趋趋于于零零它它的的一一般般项项无无限限增增大大时时当当, n un 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: : 数学分析第十二章数项级数 注意注意 1.1.

11、如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 1 )1( 4 3 3 2 2 1 1 n n n 例如例如 发散发散 2.2.必要条件不充分必要条件不充分. . ?, 0lim但级数是否收敛但级数是否收敛有有 n n u n 1 3 1 2 1 1例例如如调调和和级级数数 数学分析第十二章数项级数 讨论讨论 nnn ss nn 2 1 2 1 1 1 2 , 2 1 2 n n .,s其其和和为为假假设设调调和和级级数数收收敛敛 )lim( 2nn n ss 于是于是ss , 0 .级级数数发发散散 )( 2 1 0 n便便有有.这是不可能的这是不可能的 数

12、学分析第十二章数项级数 ) 2 1 22 1 12 1 ( ) 16 1 10 1 9 1 () 8 1 7 1 6 1 5 1 () 4 1 3 1 () 2 1 1( 1mmm 8项 4项 2项 2项 项 m 2 2 1 每每项项均均大大于于 2 1 )1(1 mm项项大大于于即即前前 .级级数数发发散散 由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. . 数学分析第十二章数项级数 五、小结五、小结 1 1. .由由定定义义, ,若若ssn, ,则则级级数数收收敛敛; ; 2.2.当当0lim n n u, ,则级数发散则级数发散; ; 3 3. .按按基基本本性性质质. .

13、常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念 基本审敛法基本审敛法 数学分析第十二章数项级数 思考题思考题 设设 1n n b与与 1n n c都都收收敛敛，且且 nnn cab ), 2 , 1( n，能能否否推推出出 1n n a收收敛敛？ 数学分析第十二章数项级数 思考题解答思考题解答 能由柯西审敛原理即知能由柯西审敛原理即知 数学分析第十二章数项级数 一一、 填填空空题题: : 1 1、 若若 n n an 242 )12(31 , ,则则 5 1n n a= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 2 2、 若若 n n n n a ! , ,则则 5 1n n a= =

14、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 3 3、 若若级级数数为为 642422 xxxx 则则 n a_ _ _ _ _ _ _ _； 4 4、 若若级级数数为为 9753 5432 aaaa 则则 n a_ _ _ _ _ _ _ _ _； 5 5、 若若级级数数为为 6 1 5 4 1 3 2 1 1 则则当当 n _ _ _ _ _ _ 时时 n a_ _ _ _ _ _；当当 n _ _ _ _ _ _ _时时 n a_ _ _ _ _ _ _ _ _； 6 6、 等等比比级级数数 0n n aq, ,当当_ _ _ _ _ _时

15、时收收敛敛；当当_ _ _ _ _时时发发散散 . . 练习题练习题 数学分析第十二章数项级数 三、由定义判别级数三、由定义判别级数 )12)(12( 1 75 1 53 1 31 1 nn 的收敛性的收敛性. . 四、判别下列级数的收敛性四、判别下列级数的收敛性: : 1 1、 n3 1 9 1 6 1 3 1 ； 2 2、 ) 3 1 2 1 () 3 1 2 1 () 3 1 2 1 () 3 1 2 1 ( 3322nn ； 3 3、 n n 10 1 2 1 20 1 4 1 10 1 2 1 . . 五、利用柯西收敛原理判别级数五、利用柯西收敛原理判别级数 6 1 5 1 4 1

16、3 1 2 1 1的敛散性的敛散性 . . 数学分析第十二章数项级数 练习题答案练习题答案 一、一、1 1、 108642 97531 8642 7531 642 531 42 21 2 1 ； 2 2、 54321 5 ! 5 4 ! 4 3 ! 3 2 ! 2 1 ! 1 ； 3 3、 )2(642 2 n x n ； 4 4、 12 )1( 1 1 n a n n ； 5 5、 k kkk 2 1 ,2 , 12 . 12 ； 6 6、1, 1 qq. . 三、收敛三、收敛. . 四、四、1 1、发散；、发散； 2 2、收敛；、收敛； 3 3、发散、发散、 n k kn k s 1 2

17、) 10 1 2 1 ( . . 五、发散五、发散. . 取取np2 数学分析第十二章数项级数 观察雪花分形过程观察雪花分形过程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面积为面积为 周长为周长为 依次类推依次类推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面积为面积为 周长为周长为 设三角形设三角形 数学分析第十二章数项级数 观察雪花分形过程观察雪花分形过程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面积为面积为 周长为周长为 依次类推依次类推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面积为面积为 周长为周长为 设三角形设三角形 数学