《高等数学》(第四版)1-2节初等函数

1、 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 一、基本初等函数一、基本初等函数 1.幂函数幂函数)( 是常数是常数 xy o x y )1 , 1( 1 1 2 xy xy x y 1 xy 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 2.指数函数指数函数)1, 0( aaay x x ay x a y) 1 ( )1( a )1 , 0( x ey 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 3.对数函数对数函数)1, 0(log aaxy a xyln xy a log xy a 1 log )1( a )0 , 1( 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 4.三角函数三角函数 正弦函数正弦函数 xysin

2、 xysin 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 xycos xycos 余弦函数余弦函数 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 正切函数正切函数xytan xytan 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 xycot 余切函数余切函数 xycot 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 正割函数正割函数xysec xysec 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 xycsc 余割函数余割函数 xycsc 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 5.反三角函数反三角函数 xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函数数 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 xyarccos xyarcc

3、os 反反余余弦弦函函数数 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 xyarctan xyarctan 反反正正切切函函数数 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反 三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数. xycot 反反余余切切函函数数arc xycot arc 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 二、复合函数二、复合函数 初等函数初等函数 1.复合函数复合函数 ,uy 设设,1 2 xu 2 1xy 定义定义: 设设函函数数)(ufy 的的定定义义域域 f D, 而而函函数数 )(xu 的的值值域域为

4、为 Z, 若若 ZD f , 则则称称 函函数数)(xfy 为为x的的复复合合函函数数. ,自变量自变量x,中间变量中间变量u,因变量因变量y 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的合函数的; ,arcsinuy 例如例如 ;2 2 xu )2arcsin( 2 xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成合构成. , 2 cot x y 例例如如,uy ,cotvu . 2 x v 2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次由常数和基本初等函数经

5、过有限次 四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用 一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数. 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 例例1 1 ).( , 0, 1 0, 2 )(, 1, 1, )( 2 xf xx xx x xx xe xf x 求求 设设 解解 1)(),( 1)(, )( )( xx xe xf x ,1)(10时时当当 x , 0 x或或 , 12)( xx ;20 x, 0 x或或, 11)( 2 xx ; 1 x 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 ,1)(20时时当当 x , 0 x或或 ,

6、12)( xx ;2 x, 0 x或或, 11)( 2 xx ; 01 x 综上所述综上所述 . 2, 1 20 01 1 , , 2 , )( 2 1 2 2 xx x x x e x e xf x x 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 三、双曲函数与反双曲函数三、双曲函数与反双曲函数 2 sinh xx ee x 双双曲曲正正弦弦 xycosh xysinh ),(: D 奇函数奇函数. 2 cosh xx ee x 双曲余弦双曲余弦 ),(: D 偶函数偶函数. 1.双曲函数双曲函数 x ey 2 1 x ey 2 1 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 xx xx ee ee x

7、 x x cosh sinh tanh双双曲曲正正切切 奇函数奇函数,),(:D有界函数有界函数, 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 双曲函数常用公式双曲函数常用公式 ;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh 22 xx ;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh 22 xxx 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 2.反双曲函数反双曲函数 奇函数奇函数, ),(:D .),(内单调增加内单调增加在在 ;sinh xy 反双曲正弦反双曲正弦ar ).1ln( sinh

8、 2 xx xyar sinhar xy 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 .), 1内单调增加内单调增加在在 ), 1 : D y反反双双曲曲余余弦弦coshar ).1ln( cosh 2 xx xyar x cosharx y 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 . 1 1 ln 2 1 x x )1 , 1(: D 奇函数奇函数, .)1 , 1(内单调增加内单调增加在在 y反双曲正切反双曲正切tanhar xytanh ar x tanharx y 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 四、小结四、小结 函数的分类函数的分类: 函数函数 初等函数初等函数 非初等函数非初等函数(

9、 (分段函数分段函数, ,有无穷多项等函数有无穷多项等函数) ) 代数函数代数函数 超越函数超越函数 有理函数有理函数 无理函数无理函数 有理整函数有理整函数( (多项式函数多项式函数) ) 有理分函数有理分函数( (分式函数分式函数) ) 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 思考题思考题 下列函数能否复合为函数下列函数能否复合为函数)(xgfy ， 若能，写出其解析式、定义域、值域若能，写出其解析式、定义域、值域 ,)()1(uufy 2 )(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)( xxgu 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 思考题解答思考题解答 2 )()1(xxxgfy

10、 ,10| xxDx 2 1 , 0)( Df )2(不能不能01sin)( xxg )(xg的的值值域域与与)(uf的的定定义义域域之之交交集集是是空空集集. 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 ._ 1 反反三三角角函函数数统统称称 对对数数函函数数，三三角角函函数数和和、幂幂函函数数，指指数数函函数数， ._ )(ln31)(2 的的定定义义域域为为 ，则则函函数数，的的定定义义域域为为、函函数数xfxf 一、填空题一、填空题: ._3 2 复复合合而而成成的的函函数数为为，、由由函函数数xuey u ._2lnsin4复复合合而而成成由由、函函数数xy ._)0()()( _)0)( _)(sin_ 10)(5 2 的定义域为的定义域为 ，的定义域为的定义域为 ，的定义域为的定义域为，为为 ）的定义域）的定义域（，则，则，的定义域为的定义域为、若、若 aaxfaxf aaxf xf xfxf 练练 习习 题题 高等数学(第四版)1-2节初等函 数 一、一、1 1、基本初等函数；、基本初等函数； 2 2、, 3 ee；