第1部分 第三章 § 22.3互斥事件

1、知识点二知识点二 知识点一知识点一 理解教材新知理解教材新知 应用创新演练应用创新演练 考点一考点一 把握热点考向把握热点考向考点二考点二 考点三考点三 第第 三三 章章 概概 率率 2 2 古古 典典 概概 型型 2.32.3 互互 斥斥 事事 件件 返回 返回 返回 23互斥事件互斥事件 返回 返回 袋子中装有白球袋子中装有白球3个，黑球个，黑球4个，从中任取个，从中任取3个个 问题：问题：“恰有一个白球恰有一个白球”和和“全是白球全是白球”两事件有可能同两事件有可能同 时发生吗？时发生吗？ 提示：提示：不可能不可能 返回 (1)定义：在一个试验中，我们把一次试验下定义：在一个试验中，我们

2、把一次试验下 的两个事件的两个事件A与与B称作互斥事件称作互斥事件 (2)规定：事件规定：事件AB发生是指事件发生是指事件A和事件和事件B 发生发生 (3)公式：在一次随机试验中，如果随机事件公式：在一次随机试验中，如果随机事件A和和B是互斥是互斥 事件，那么有事件，那么有P(AB) (4)公式的推广：如果随机事件公式的推广：如果随机事件A1，A2，An中任意两个中任意两个 是互斥事件，那么有是互斥事件，那么有P(A1A2An) . 不能同时发不能同时发 生生 至少有一个至少有一个 P(A)P(B) P(A1)P(A2) P(An) 返回 袋子中有袋子中有2个白球，个白球，2个黑球，从中任取个

3、黑球，从中任取2个球个球 问题问题1：“至少有一个白球至少有一个白球”和和“全是黑球全是黑球”这两事件能同时这两事件能同时 不发生吗？不发生吗？ 提示：提示：不能不能 问题问题2：问题：问题1中的两个事件在这个实验中一定有一中的两个事件在这个实验中一定有一 个发生吗？个发生吗？ 提示：提示：是是 返回 1 返回 互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件与对立事件的区别与联系： (1)互斥事件与对立事件都是不能同时发生的事件，但互斥事件与对立事件都是不能同时发生的事件，但 互斥事件可能同时不发生，对立事件不能同时不发生，即互斥事件可能同时不发生，对立事件不能同时不发生，即 其中必有一个发生其中必

4、有一个发生 (2)对立事件一定是互斥事件，是互斥事件的特殊情况，对立事件一定是互斥事件，是互斥事件的特殊情况， 但互斥事件不一定是对立事件，如果两个事件不是互斥事但互斥事件不一定是对立事件，如果两个事件不是互斥事 件，那么它们一定不是对立事件件，那么它们一定不是对立事件 返回 返回 例例1某小组有某小组有3名男生和名男生和2名女生，从中任选名女生，从中任选2名同名同 学参加演讲比赛判断下列每对事件是不是互斥事件，如学参加演讲比赛判断下列每对事件是不是互斥事件，如 果是，再判断它们是不是对立事件果是，再判断它们是不是对立事件 (1)恰有恰有1名男生与恰有名男生与恰有2名男生；名男生； (2)至少

5、至少1名男生与全是男生；名男生与全是男生； (3)至少至少1名男生与全是女生；名男生与全是女生； (4)至少至少1名男生与至少名男生与至少1名女生名女生 返回 思路点拨思路点拨要判断两个事件是不是互斥事件，只需要判断两个事件是不是互斥事件，只需 找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发 生在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，生在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生， 可判断是否为对立事件可判断是否为对立事件 精解详析精解详析从从3名男生和名男生和2名女生中任选名女生中任选2名同学有名同学有3类类 结果；两男或两女或一男

6、一女结果；两男或两女或一男一女 (1)因为恰有因为恰有1名男生与恰有名男生与恰有2名男生不可能同时发生，名男生不可能同时发生， 所以它们是互斥事件；当恰有所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时，它们都没有发生，名女生时，它们都没有发生， 所以它们不是对立事件所以它们不是对立事件 返回 (2)当恰有当恰有2名男生时，至少名男生时，至少1名男生与全是男生同时发名男生与全是男生同时发 生，所以它们不是互斥事件生，所以它们不是互斥事件 (3)因为至少因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所名男生与全是女生不可能同时发生，所 以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是以它们是互斥事件；由于它们

7、必有一个发生，所以它们是 对立事件对立事件 (4)当选出的是当选出的是1名男生名男生1名女生时，至少名女生时，至少1名男生与至少名男生与至少 1名女生同时发生，所以它们不是互斥事件名女生同时发生，所以它们不是互斥事件 返回 一点通一点通 1判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同 时发生，若能同时发生则这两个事件不是互斥事件，若不时发生，若能同时发生则这两个事件不是互斥事件，若不 能同时发生，则这两个事件是互斥事件能同时发生，则这两个事件是互斥事件 2判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满 足两个

8、条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生这足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生这 两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有 一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件 返回 1从装有从装有2个红球和个红球和2个白球的口袋中任取个白球的口袋中任取2个球，那么互个球，那么互 斥而不对立的两个事件是斥而不对立的两个事件是 () A至少至少1个白球，都是白球个白球，都是白球 B至少有至少有1个白球，至少有个白球，至少有1个红球个红球 C恰有恰有1个白球，恰有个白球，恰有2个白球个白球 D

9、至少有至少有1个白球，都是红球个白球，都是红球 返回 解析：解析：从装有从装有2个红球和个红球和2个白球的口袋中任取个白球的口袋中任取2个球有个球有3类结类结 果：两个红球或两个白球或一红一白当取出果：两个红球或两个白球或一红一白当取出2个白球时，至个白球时，至 少一个白球与都是白球同时发生，即它们不是互斥事件，所少一个白球与都是白球同时发生，即它们不是互斥事件，所 以以A项不正确；当取出一个白球一个红球时，至少有项不正确；当取出一个白球一个红球时，至少有1个白球个白球 与至少有与至少有1个红球同时发生，即它们不是互斥事件，所以个红球同时发生，即它们不是互斥事件，所以B项项 不正确；至少有不正

10、确；至少有1个白球与都是红球不能同时发生，且必有一个白球与都是红球不能同时发生，且必有一 个发生，所以它们是互斥事件又是对立事件，所以个发生，所以它们是互斥事件又是对立事件，所以D项不正确；项不正确； 恰有恰有1个白球是指一个白球一个红球，恰有个白球是指一个白球一个红球，恰有2个白球是指个白球是指2个都个都 是白球，所以恰有是白球，所以恰有1个白球与恰有个白球与恰有2个白球不能同时发生，它个白球不能同时发生，它 们是互斥事件，当取出的们是互斥事件，当取出的2个球都是红球时，它们都没有发生，个球都是红球时，它们都没有发生， 所以它们不是对立事件所以它们不是对立事件 答案：答案：C 返回 2判断下

11、列给出的条件，是否为互斥事件，是否为对立事判断下列给出的条件，是否为互斥事件，是否为对立事 件，并说明理由：从件，并说明理由：从40张扑克牌张扑克牌(红桃、黑桃、方块、红桃、黑桃、方块、 梅花点数从梅花点数从110各各10张张)中，任取一张中，任取一张 (1)“抽出红桃抽出红桃”与与“抽出黑桃抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌抽出红色牌”与与“抽出黑色牌抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌的点数为抽出的牌的点数为5的倍数的倍数”与与“抽出的牌的点数大抽出的牌的点数大 于于9” 返回 解：解：(1)是互斥事件，不是对立事件是互斥事件，不是对立事件 从从40张扑克牌中任意抽取张扑克牌中任意抽取1张，张，

12、“抽出红桃抽出红桃”和和“抽出黑桃抽出黑桃” 是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证是不可能同时发生的，所以是互斥事件同时，不能保证 其中必有一个发生，这是由于还可能抽出其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块方块”或者或者“梅梅 花花”，因此，因此， 二者不是对立事件二者不是对立事件 (2)既是互斥事件，又是对立事件既是互斥事件，又是对立事件 从从40张扑克牌中，任意抽取张扑克牌中，任意抽取1张，张，“抽出红色牌抽出红色牌”与与“抽出黑抽出黑 色牌色牌”，两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生， 所以它们既是互斥事件，又是对立事件所

13、以它们既是互斥事件，又是对立事件 返回 (3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件不是互斥事件，当然不可能是对立事件 从从40张扑克牌中任意抽取张扑克牌中任意抽取1张，张，“抽出的牌的点数为抽出的牌的点数为5的倍的倍 数数”与与“抽出的牌的点数大于抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，这两个事件可能同时发生， 如抽得点数为如抽得点数为10，因此，因此， 二者不是互斥事件，当然不可二者不是互斥事件，当然不可 能是对立事件能是对立事件. 返回 返回 返回 一点通一点通解决此类问题，首先应结合互斥事件和对解决此类问题，首先应结合互斥事件和对 立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定立

14、事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定 使用哪一公式，不要由于乱套公式而导致错误，对于较复使用哪一公式，不要由于乱套公式而导致错误，对于较复 杂的综合性问题还要注意分类讨论和等价转化数学思想的杂的综合性问题还要注意分类讨论和等价转化数学思想的 运用运用 返回 3假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个 军火库的概率为军火库的概率为0.025，炸中其余两个军火库的概率各为，炸中其余两个军火库的概率各为 0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求投掷一个，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求投掷一个 炸弹军火库发生爆炸的概率炸弹军火库

15、发生爆炸的概率 解：解：令令A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三个军火库，分别表示炸中第一、第二、第三个军火库， 则则P(A)0.025，P(B)P(C)0.1. 令令D表示军火库爆炸这个事件，则有表示军火库爆炸这个事件，则有DABC， 又因为又因为A、B、C是两两互斥事件，是两两互斥事件， 故所求概率为故所求概率为P(D)P(A)P(B)P(C)0.0250.10.1 0.225. 返回 4某射手在一次射击中，射中某射手在一次射击中，射中10环、环、9环、环、8环、环、7环的概率环的概率 分别为分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算该射手在一次射击中：，计算该射手在一次射击中：

16、 (1)射中射中10环或环或7环的概率；环的概率； (2)不够不够7环的概率环的概率 解：解：令令A、B、C、D分别表示射中分别表示射中7环、环、8环、环、9环、环、10环环 则则P(A)0.28，P(B)0.25，P(C)0.23，P(D)0.21. (1)令令E为射中为射中10环或环或7环，则环，则EAD，A与与D互斥，互斥， P(E)P(AD)P(A)P(D)0.280.210.49. (2)令令F为不够为不够7环，则环，则P(F)1P(ABCD) A、B、C、D两两互斥，两两互斥，P(F)10.280.250.23 0.210.03. 返回 例例3一盒中装有各色球一盒中装有各色球12个

17、，其中个，其中5个红球、个红球、4个个 黑球、黑球、2个白球、个白球、1个绿球从中随机取出个绿球从中随机取出1球，求：球，求： (1)取出取出1球是红球或黑球的概率；球是红球或黑球的概率； (2)取出取出1球是红球或黑球或白球的概率球是红球或黑球或白球的概率 思路点拨思路点拨先设出有关的互斥事件，然后把所求事先设出有关的互斥事件，然后把所求事 件的概率转化为求某些互斥事件和的概率，另外也可考虑件的概率转化为求某些互斥事件和的概率，另外也可考虑 用古典概型以及对立事件来解决用古典概型以及对立事件来解决 返回 返回 返回 返回 返回 一点通一点通求复杂事件的概率通常有两种方法：求复杂事件的概率通常

18、有两种方法： (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件； (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事 件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利 用对立事件的概率公式，即用对立事件的概率公式，即“正难则反正难则反”，它常用来求，它常用来求“至至 少少”或或“至多至多”型事件的概率型事件的概率 返回 答案：答案：B 返回 6某班数学兴趣小组有男生三名，分别记为某班数学兴趣小组有男生三名，分别记为a1，a2，a3， 女生两名，分别记为女生

19、两名，分别记为b1，b2，现从中任选，现从中任选2名学生去参加名学生去参加 校数学竞赛校数学竞赛 (1)写出这种选法的所有基本事件；写出这种选法的所有基本事件； (2)求参赛学生中恰有一名男生的概率；求参赛学生中恰有一名男生的概率； (3)求参赛学生中至少有一名男生的概率求参赛学生中至少有一名男生的概率 解：解：(1)从从3名男生和名男生和2名女生中任选名女生中任选2名学生去参加校数名学生去参加校数 学竞赛，其一切可能的结果为学竞赛，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a2， a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)， (a3，b2)，(b1，b2) 返回 返回 1互斥事件的概率加法公式的运用：互斥事件的概率加法公式的运用： (1)将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件，将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件， 分别求出各事件的概率，然后用加法公式求出结果分别求出各事件的概率，然后用加法公式求出结果 (2)运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分 清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互 斥事件，做到不重不漏斥事件，做到不重不漏 (3)常用步骤：确定诸事件彼此互斥；诸事件中常用步骤：