空间向量与立体几何知识总结(高考必备!)

1、辅导科目：数学授课教师：全国章年级：咼二上课时间：教材版本：人教版总课时：已上课时：课时学生签名：课题名称教学目标重点、难点、考点教学步骤及内容空间向量与立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示a,为坐标向量，则存在唯一A(x,y,z)空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a，设i, j, k （单位正交基底）kX的有序实数组（6,a2,a3），使a二aj a2 j a3k，有序实数组（a1,a2,a3）叫作向量a在空间 直角坐标系0-xyz中的坐标，记作 a=（q,a2,a3）.，在空间直角坐标系 O-xyz中，对空 间任一点A ,存在唯一的有序实数组 （x, y, z）

2、，使OA二xi yj zk ,有序实数组（x, y,z） 叫作向量A在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标，记作A（x, y,z） , x叫横坐标，y叫纵坐 标，z叫竖坐标.二、空间向量的直角坐标运算律（1若a巩厲旦忌），bnQdd）， 则a. b =（q ha b,a3 b3），彳 a -打=俘 b|, a2 - b2, a3 - b3）， ，a = （ a ；a, ； 3）（.二 R）， a/b=印= a,a2 二 p,a3 = b3g R），（2 ）若 A（为，儿乙），Bgyz），则 AB =（X2 -捲，丫2 -yi,Z2 -乙）.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的

3、终点的坐标减去起点的坐标。（3） a / b ：= b - a 二 b a2- R）b - a3三、空间向量直角坐标的数量积1、设a, b是空间两个非零向量，我们把数量|a |b | cos ： a, b 叫作向量a, b的数量积，记作a b ,即a b =I a|b|cos ：a,b 规定：零向量与任一向量的数量积为0。2、模长公式| a | _ -a a = hx12 x22 x323、两点间的距离公式：若 A（x|, y1, z1）, B（x2, y2, z2）, 则 | AB| - AB2 = id -x）2 3 -yj2 亿-W）2 ,或dA,B =；：；（X2 xj2 （y2 yj

4、2 （Z2 zj2 .4、夹角：cos a b已比.注：a_b=ab=0(a,b是两个非零向量)； , |a| |b|2 | a | a，a = a。5、空间向量数量积的性质： a e a | cos ： a,e . a _ b ：= a b = o . i a f=a a.6、运算律-*-*-*-*-9-9- a b =ba ；( a) b = (b a)； a(bc)=aba c四、直线的方向向量及平面的法向量1、 直线的方向向量：我们把直线I上的向量e以及与e共线的向量叫做直线I的方向向量则称这个向量垂直于平面a,记作n I ，,如果n _ :-,2、平面的法向量：如果表示向量n的有向线

5、段所在直线垂直于平面a, 那么向量n叫做平面a的法向量。注：若I _ : ，则称直线I为平面:的法线； 平面的法向量就是法线的方向向量。 给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。3、在空间求平面的法向量的方法：(1) 直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。(2) 待定系数法：建立空间直接坐标系4 设平面的法向量为 n = (x, y,z彳 在平面内找两个不共线的向量a =(为，如，乙)和b = (X2, y2,Z2)片+n a =0 建立方程组：4 4、n b =0 解方程组，取其中的一组解即可。五、证明1、证明两直线平行已知两直线a和b, A, B a, C, D

6、 b ,则a / b二 存在唯一的实数使ab二 CD2、证明直线和平面平行_T T T(1 )已知直线a二，代B a,C,D,E% 且三点不共线，贝U a /=存在有序实数对，丄使AB二 CD(2)已知直线aua,A,Ba,和平面。的法向量n ,则a /二 aB丄n3、证明两个平面平行已知两个不重合平面 ，：，法向量分别为 m,n,则/m / n4、证明两直线垂直已知直线 a,b。代 B a,C,D b，则 a b= AB CD =05、证明直线和平面垂直r *4已知直线a和平面，且A、B a,面的法向量为 m ,则a u AB /m6、证明两个平面垂直已知两个平面:-,:，两个平面的法向量分

7、别为m , n ,则-:u六、计算角与距离1、求两异面直线所成的角已知两异面直线 a,b，A,B a,C,Db，则异面直线所成的角 r为:cos V例题【空间向量基本定理】例1.已知矩形 ABCD , P为平面ABCD外一点，且 PA丄平面ABCD , M、N分别为PC、PD上的点，且 M分：一成定 比2, N分PD成定比1,求满足 二 二-二二-二-的实数x、y、z的值。分析；结合图形，从向量.7 出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用二、一匚表示出来，即可求出x、y、z的值。如图所示，取 PC的中点E，连接NE，则。点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的

8、向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本 功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要 求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合， 组合是分解的表现形式。 空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组 丨可以表示出空间任意一个向量,而且a,b,c的系数是惟一的。【利用空间向量证明平行、垂直问题】例2.如图，在四棱锥 PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD丄底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF丄PB 于点F。(1) 证明：PA/平面EDB ;(2)

9、证明：PB丄平面EFD ;(3) 求二面角 C PB D的大小。点评：(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.(2) 证明线面平行的方法： 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； 证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线； 利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3) 证明面面平行的方法： 转化为线线平行、线面平行处理； 证明这两个平面的法向量是共线向量.(4) 证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直.(5) 证明线面垂直的方法： 证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； 证明直线与平面内的两个不共线的向

10、量互相垂直.(6) 证明面面垂直的方法： 转化为线线垂直、线面垂直处理； 证明两个平面的法向量互相垂直.【用空间向量求空间角】例3.正方形ABCD 中，E、F分别是1的中点，求：(1) 异面直线AE与CF所成角的余弦值；(2) 二面角CAE F的余弦值的大小。点评：(1 )两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角，求得，即1 ：1 - 1 -：f- o(2) 直线与平面所成的角 T主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即一；二1=-|1、耳 或 cos 9- sincp(3) 二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。【用

11、空间向量求距离】例4.长方体ABCD 中，AB=4 , AD=6 , , M是AiCi的中点，P在线段BC上，且|CP|=2, Q是DDi的中点，求：1)异面直线AM与PQ所成角的余弦值；(2) M到直线PQ的距离；(3) M到平面AB 1P的距离。本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空 间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离， 线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的 热点。现列出几类问题的解决方法

12、。(1) 平面的法向量的求法：设1，利用n与平面内的两个向量 a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元 一次方程，联立后取其一组解。(2) 线面角的求法：设 n是平面住的一个法向量， AB是平面盘的斜线I的一个方向向量，则直线.与平面空所成(3)二面角的求法：AB，CD分别是二面角I垂直的异面直线，则二面角的大小为设N. 分别是二面角 面角或其补角。cosnlfn3=-hn13n2)丨 卜的两个平面 ，的法向量，则就是二面角的平(4)异面直线间距离的求法：-又C、D分别是丨1上码DC n的任意两点，贝U|n|AB-n|(5)点面距离的求法：设 n是平面【!.的法向量，AB是平面【!.的一条斜线，

13、则点 B到平面【!.的距离为訂丨(6)线面距、面面距均可转化为点面距离再用(5)中方法求解。练习：1若等边AABC的边长为2、/3，平面内一点 M满足CM =CB +?CA，则MAmB =632 .在空间直角坐标系中，已知点A ( 1, 0, 2), B(1 , -3 , 1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则 M的坐标是。3. (本小题满分12分)如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD/BC/FE ,1EC 的中点，AF=AB=BC=FE= 一 AD2(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD 平面CDE ;(III )求二面角A-CD-E的余弦值。4.(本题满分15分)如图，平面 PAC _平面ABC , . ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,0分别为PA,PB，AC 的中点，AC =16，PA = PC =10 .(I)设G是OC的中点，证明：FG/ /平面BOE ；甘(II)证明：在JABO内存在一点M，使FM 平面BOE，并求点M到OA , OB的距离.5如图，四棱锥 P -ABCD的底面是正方形， PD _底面ABCD，点E在棱PB上.(I)求证：平面 AEC _平面PDB ；(H)当PD