三重积分的应用

1、1 第七章 重积分 7.3 重积分的计算重积分的计算 7.3.4 球面坐标系下的三重积分的计算法球面坐标系下的三重积分的计算法 一、球面坐标一、球面坐标 ( , , ) , , , M x y z M r 设设为为空空间间内内一一 点点 则则点点也也可可用用这这样样三三个个 有有次次序序的的数数来来确确定定。 M(x,y,z) P(x,y,0) x y z r M(r, , ) x y z o 2 M(x,y,z) P(x,y,0) x y z r M(r, , ) x y z o rM为为原原点点到到间间的的距距离离。 OMz 为为有有向向线线段段与与 轴轴 正正向向所所夹夹的的角角。 ,

2、,rM 这这样样三三个个数数叫叫做做点点的的球球面面坐坐标标。 , zx OPPMxoy 为为从从正正 轴轴来来看看自自 正正轴轴 按按逆逆时时针针方方向向转转到到有有向向 线线段段这这里里 是是点点在在平平面面上上的的投投影影点点。 3 球球面面坐坐标标的的变变化化范范围围 20 ,0 ,0r r =常数，即以原点为心的球面。常数，即以原点为心的球面。 =常数，即以原点为顶点、常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。轴为轴的圆锥面。 =常数，即以常数，即以z轴为边的半平面。轴为边的半平面。 z M(x,y,z) P(x,y,0) x y z r M(r, , ) x y o 三三组组坐坐标标

3、面面 4 M点点的的直直角角坐坐标标与与 球球面面坐坐标标的的关关系系为为 cos sinsin cossin rz ry rx z M(x,y,z) P(x,y,0) x y z r M(r, , ) x y o 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素 ddrdrdvsin 2 5 为了把三重积分为了把三重积分 中的变量从直角坐中的变量从直角坐 标变换为球面坐标，标变换为球面坐标， 用三组坐标平面用三组坐标平面r = 常数，常数， =常数，常数， =常数把积分区域常数把积分区域 分成许多小闭区域。分成许多小闭区域。 考虑由考虑由r, , 各取得微小增量各取得微小增量dr,d ,d 所成的所

4、成的 六面体的体积六面体的体积(如图如图)。不计高阶无穷小，可把。不计高阶无穷小，可把 这个六面体看作长方形。这个六面体看作长方形。 x y z o d d rd dr sinr r drsin d 6 x y z o d d rd sinr r drsind 经线方向的长为经线方向的长为 rd , ddrdrdvsin 2 这就是球面坐标系中的体积元素这就是球面坐标系中的体积元素。 纬线方向的宽为纬线方向的宽为 rsin d , 于是，小六面体的体积为于是，小六面体的体积为 dr 向径方向的高为向径方向的高为 dr。 7 二、二、 三重积分的球面坐标形式三重积分的球面坐标形式 ddrdrrF

5、dxdydzzyxfsin),(),( 2 ( , , )( sincos , sinsin , cos )F rf rrr 其其中中。 计算三重积分，一般是化为先计算三重积分，一般是化为先r，再，再 ，最后，最后 的的三次积分三次积分。 8 2222 )(:)1(RRzyx 22 222 :)2( yxz yxRz 1 )0( :)3( 22 z kyxkz ( , , ) , 4 : f x y z dv 将将化化为为球球面面坐坐标标系系下下的的 三三次次积积分分形形式式 其其中中为为 例例 9 20 , 2 0 cos20 : Rr x y z 2R o R dVzyxf),( cos2

6、 0 2 2 0 2 0 sin),( R drrrFdd 2222 )(:)1(RRzyx 10 222 22 (2): zRxy zxy 解解 x y z o 20 4 0 0 : Rr dVzyxf),( R drrrFdd 0 2 4 0 2 0 sin),( 11 1 )0( :)3( 22 z kyxkz 20 , 1 arctan0 , cos 1 0: k r dVzyxf),( 。 cos 1 0 2 1 arctan 0 2 0 sin),(drrrFdd k z x y o 1 12 ,5 先先将将积积分分化化为为球球面面坐坐标标的的累累次次积积分分 再再求求 例例 其其

7、积积分分值值。 x y z o 22222 22 0 22 )()1( yxRxR xR R R dzyxdydxI (1),R xoy 是是以以原原点点为为球球心心 以以 为为半半径径的的上上半半球球面面与与面面所所围围 解解 成成的的空空间间区区域域。 20 , 2 0 ,0: Rr R drrd 0 4 2 0 3 sin2 R drrrddI 0 222 2 0 2 0 sinsin 。 4 15 4 R 13 dvzyx 222 cos 2 2 2 00 0 sinddr rdr 2 0 4 4 cos sin2 d zzyxdvzyx 222222 :,)2( :0cos ,0,0

8、2 2 r 解解 。 16 x y z 1 o 14 课课内内练练习习一一 22 ()xy dv 计计算算三三重重积积分分 。0,: 22222 zbzyxa x y z o dvyx )( 22 b a drrrdd sinsin 222 2 0 2 0 b a drrd 4 2 0 3 sin2 。)( 15 4 55 ab 解解 20 , 2 0 ,: bra 15 2 2 R y x z o 3 1 R 先先求求两两曲曲面面解解的的交交线线方方程程 2 4 3 222 R z Ryx 222222 2 : 2 xyzRxy zRz 与与 所所围围的的公公共共部部分分。 2 6z dv

9、例例求求三三重重积积分分 20 , 3 0 ,0: 1 Rr 20 , 23 ,cos20: 2 Rr 16 R drrrdd 0 222 3 0 2 0 sincos 。 5 480 59 R dvz 2 cos2 0 222 2 3 2 0 sincos R drrrdd dvzdvz 21 22 2 2 R y x z o 3 1 R 17 a b c x y z o 利利用用广广义义球球解解面面坐坐标标系系 cossin sinsin cos xar ybr zcr 2 sindvabcrd d dr 体体积积元元素素 2 22 222 2 22 222 1(), :1 7 y zx

10、dv abc y zx abc 计计算算积积分分 中中 例例 其其。 18 cossin sinsin cos xar ybr zcr 2 sindvabcrd d dr a b c x y z o dv c z b y a x )(1 2 2 2 2 2 2 1 0 22 0 1sin2drrrdabc 21 22 000 1sinddrabcrdr )(4 42 IIabc 22 1 4 1 4 abc 。 4 2 abc 19 小结三重积分的计算方法：小结三重积分的计算方法： 基本方法基本方法：化三重积分为三次积分计算。化三重积分为三次积分计算。 关键步骤：关键步骤： (1)坐标系的选取

11、坐标系的选取 (2)积分顺序的选定（直角）积分顺序的选定（直角） (3)定出积分限定出积分限 20 柱形体域柱形体域 锥形体域锥形体域 抛物体域抛物体域 柱面坐标柱面坐标 长方体长方体 四面体四面体 任意形体任意形体 球面坐标球面坐标 球形体域球形体域 或其中一或其中一 部分部分 直角坐标直角坐标 dxdydz drdzrd drddr sin 2 zz yy xx zz ry rx sin cos cos sinsin sincos rz ry rx 坐标系坐标系适用范围适用范围体积元素体积元素变量代换变量代换 21 7.4 重积分的应用重积分的应用 在前面几节中我们已经介绍了利用重积在前面

12、几节中我们已经介绍了利用重积 分可以求空间立体体积以及空间物体的质量，分可以求空间立体体积以及空间物体的质量， 本节再介绍重积分在几何和物理方面的几个本节再介绍重积分在几何和物理方面的几个 应用。应用。 22 7.4.1 微元法（元素法）微元法（元素法） 如果要求的量如果要求的量U (2) 在在D内任取一直径很小的闭区域内任取一直径很小的闭区域d ，相应的，相应的 部分量可近似地表示为部分量可近似地表示为 ( , )Uf x y ddU (1) U 对于有界闭区域对于有界闭区域D具有可加性；具有可加性； 量量U的元素（微元）的元素（微元） D dyxfU ),( 是较是较d 高阶的无穷小高阶的

13、无穷小,(f (x,y)连续时成立连续时成立)则则 ( , )( , )Uf x y dx yd 23 例例如如 曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积 平平面面薄薄片片的的质质量量 D平平面面区区域域 的的面面积积 ( , ) D Vf x y d ( , ) D mx y d D Ad 空空间间物物体体的的质质量量 ( , , )mx y z dv 空空间间区区域域 的的体体积积Vdv 24 例例1 求半径为求半径为a的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的内接锥的内接锥 面所围成的立体（如图）的体积。面所围成的立体（如图）的体积。 解解 设球面通过原点设球面通过原点O， 球心在球心在 z 轴上，又内接

14、锥轴上，又内接锥 面的顶点在原点面的顶点在原点O，其轴，其轴 与与 z 轴重合，轴重合， ,20 ,0 ,cos20 ar 立体所占有的空间闭区域立体所占有的空间闭区域 可用不等式表示可用不等式表示: O x y z 球面方程为球面方程为 r = 2acos ， 锥面方程为锥面方程为 = 。 25 所以所以 dvV ddrdr sin 2 cos2 0 2 0 sin2 a drr 0 3 3 sincos 3 16 d a 。)cos1( 3 4 4 3 a 2 0 cos2 0 2 0 sin a drrdd O x y z 26 解解 立立体体的的图图形形为为 1 , 设设为为在在第第一

15、一卦卦限限内内 的的部部分分 利利用用对对称称性性得得 1 4MM 11 0 2 0 2 )sin(cos4 r dzrrdrd 1 0 22 2 0 )1()sin(cos4drrrd 1 ),(4 dvzyx 1 )(4 dvyx 。 15 16 22 1, 2 , zxy zxy 一一立立体体由由抛抛物物面面及及平平面面 所所围围成成 密密度度 例例 求求其其质质量量。 y z x o 1 27 7.4.2 曲面的面积曲面的面积 设曲面设曲面S：z =f(x,y),(x,y)D, f 在在D上一阶偏导连续。上一阶偏导连续。 (1) S的面积的面积A对于对于D具具 有有可加性可加性 (2)

16、在在D内任取一直径很内任取一直径很 小的区域小的区域d ，在，在d 上任上任 取一点取一点P(x,y,0)对应于对应于S 上一点上一点M(x,y,f(x,y) 。 d ( , ,0)P x y ( , , ( , )M x y f x y s x y z o 显然显然 (3) 过点过点M(x,y,f(x,y)，作，作S的的切平面切平面 。 28 d ( , ,0)P x y ( , , ( , )M x y f x y s x y z o (4)以以d 的边界为准线作母的边界为准线作母 线平行于线平行于z轴的柱面，该轴的柱面，该 柱面在曲面柱面在曲面S上截下一小上截下一小 片曲面片曲面A，在切

17、平面，在切平面 上上 截下来一小片平面截下来一小片平面dA。 dA A 再看再看dA与与d 之间的关系之间的关系 由于由于d 直径很小直径很小,fx,fy 连续，有连续，有 AdA。 ,1 , yx ffn 1 , 1 1 22 yx yx ff ff n 曲面曲面S：z =f(x,y),(x,y)D 29 , 1 1 cos 22 yx ff ,cos dAd cos,cos,cos n 曲面曲面S：z =f(x,y),(x,y)D cos d dA dff yx 22 1 1 , 1 1 22 yx yx ff ff n 曲面曲面S的面积元素的面积元素 d ( , ,0)P x y ( ,

18、 , ( , )M x y f x y s x y z o dA A 30 dffdA yx 22 1 曲面面积计算公式曲面面积计算公式 曲面方程曲面方程: z =f(x ,y) (x,y) Dxy dxdy y z x z A xy D 22 )()(1 曲面方程曲面方程: x=g(y,z) (y,z) Dyz dydz z x y x A yz D 22 )()(1 22 1 yz dAgg d 31 dzdx x y z y A zx D 22 )()(1 曲面方程曲面方程: y=h(z,x) (z,x) Dzx 22 1 zx dAhh d 32 例例3 求半径为求半径为a的球的表面积

19、。的球的表面积。 222 ,0zaxyz解解 取取 222 zx x axy 22 222 1()() zza xy axy 222 zy y axy x y z o a 222 :ayxDxy a y xo 因为这函数在闭区域因为这函数在闭区域D上无界，上无界， 我们不能直接应用曲面面积公式。我们不能直接应用曲面面积公式。 222 a dAdxdy axy 33 dxdy yxa a A D 1 222 1 rdrd ra a D 1 22 b ra rdr da 022 2 0 取区域取区域D1：x2+y2 b2(0b0)处的单位质量的质处的单位质量的质 点的引力。点的引力。 , zyx

20、FFF F F P(x,y,0) x y o z x y F F (0,0,a) 54 , 1),( 2 r dyx Gd F F 0 , , FrM P x ya 的的方方向向与与 一一致致。 r a r y r x F, 0 ,cos,cos,cos )( 222 ayxr x y o z x y F F (0,0,a) P(x,y,0) , xyz dFdF dF dF 333 ( , )( , )( , ) , x ydx ydx y d GGG rr xya r |cos,|cos,|cos ,dFdFdF 55 , xyz FFFF 333 ( , )( , )( , ) , DD

21、D x y xx y yax y GdGdGd rrr 0000 , ( , , )( , , ) ,(,) x y zx y z P xyz 类类似似地地 设设有有物物体体占占有有空空间间有有界界闭闭区区域域在在 点点处处的的体体密密度度为为是是上上的的连连续续 连连续续函函数数 则则该该物物体体对对物物体体外外一一点点处处 的的单单位位质质量量的的质质点点的的引引力力是是 , xyz FFFF 000 333 ( , , )()( , , )()( , , )() , x y z xxx y z yyx y z z z GdvGdvGdv rrr 56 例例10 求半径为求半径为R的匀质球：的匀质球：x2+y2+z2 R2对于位对于位 于点于点M0(0,0,a)(a R)处的单位质量的质点的引力。处的单位质量的质点的引力。 , xyz FF F F 我我们们应应用用元元素素法法来来 求求 解解 引引力力 ( , dv dv 在在球球内内任任取取一一直直径径很很 小小的的闭闭区区域域这这闭闭区区 域域的的体体积积也也记记为为 ( , , )x y zdv是是上上的的一一个个点点。 z x yo a ( , , ) dvdv x y z 把把球球体体中中相相应应于于的的