B第1章随机事件及其概率 浙江农林

1、概率论与数理统计 概率论与数理统计概率论与数理统计 1随机事件随机事件 2随机事件间的关系与运算随机事件间的关系与运算 3随机事件的概率随机事件的概率 4古典概型古典概型 5随机事件的独立性随机事件的独立性 第一章习题课第一章习题课 第一章随机事件及其概率第一章随机事件及其概率 概率论与数理统计概率论与数理统计 概率概率=? 随机试验随机试验 随机事件随机事件 维恩图 运算律 概率的性质等 概率论与数理统计概率论与数理统计 随机试验随机试验E： 随机事件随机事件A： 事件事件A的概率：的概率： ( )?P A 概率论与数理统计概率论与数理统计 第一章随机事件及其概率第一章随机事件及其概率 概率

2、论与数理统计概率论与数理统计 1随机事件随机事件 自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象 概率论与数理统计概率论与数理统计 1.1随机现象随机现象 确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果 概率论与数理统计概率论与数理统计 概率论与数理统计概率论与数理统计 随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果 概率论与数理统计概率论与数理统计 概率论与数理统计概率论与数理统计 1.2随机试验随机试验 随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的. 概率论与数理统计概率论与数理统计 概率论与数理

3、统计概率论与数理统计 u记录某公共汽车站记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等某日上午某时刻的等 车人数车人数. u考察某地区考察某地区 10 月月 份的平均气温份的平均气温. u从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取 一只一只,测试其寿命测试其寿命. 概率论与数理统计概率论与数理统计 1.3样本空间样本空间 概率论与数理统计概率论与数理统计 试验的样本空间的实例试验的样本空间的实例 E E1 1: :抛一枚硬币抛一枚硬币, ,观察正面观察正面H H、反面、反面T T出现的情况出现的情况. . 则样本空间为则样本空间为 E E2 2: :将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,观察正面观察正面H H

4、、反面、反面T T出出 现的情况现的情况. .则样本空间为则样本空间为 E E3 3: :将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,观察正面观察正面H H出现的次数出现的次数. . 则样本空间为则样本空间为 1 =H,T 2=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT 3=0,1,2,3 概率论与数理统计概率论与数理统计 E E4 4: :记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. . 则样本空间为则样本空间为 E E5 5: :在一批灯泡中任意抽取一只在一批灯泡中任意抽取一只, ,测试它的寿命测试它的寿命. . 则样本空间为则样本空间为 4

5、=0,1,2,3, 5=t|t0 6 ( , ) 0 x yxy 概率论与数理统计概率论与数理统计 在具体问题的研究中在具体问题的研究中 , 描述随机现象的第一步就是描述随机现象的第一步就是 建立样本空间建立样本空间. 概率论与数理统计概率论与数理统计 1.4随机事件随机事件 试验中试验中,骰子骰子“出现出现1点点”, “出现出现2点点”, ,“出现出现6点点”, “点数不大于点数不大于4”, “点数为偶数点数为偶数” 等都为随机事件等都为随机事件. 实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数. 概率论与数理统计概率论与数理统计 实例实例 上述试验中上述试验中 “点数不

6、大于点数不大于6” 就是必然事件就是必然事件. 必然事件必然事件 随机试验中必然会出现的结果随机试验中必然会出现的结果. 不可能事件不可能事件 随机试验中不可能出现的结果随机试验中不可能出现的结果. 实例实例 上述试验中上述试验中 “点数大于点数大于6” 就是不可能事件就是不可能事件. 必然事件的对立面是不可能事件必然事件的对立面是不可能事件,不可能事不可能事 件的对立面是必然事件件的对立面是必然事件,它们互称为它们互称为对立事件对立事件. 实例实例 “出现出现1点点”, “出现出现2点点”, , “出现出现6点点”. 基本事件基本事件 由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集. 概率

7、论与数理统计概率论与数理统计 随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样样 本空间的子集就是随机事件本空间的子集就是随机事件. 随机试验随机试验样本空间样本空间 子集子集 随机事件随机事件 随机事件随机事件 基本事件 基本事件 必然事件必然事件 不可能事件不可能事件 复合事件复合事件 互为对立事件互为对立事件 概率论与数理统计概率论与数理统计 2随机事件间的关系与运算随机事件间的关系与运算 概率论与数理统计概率论与数理统计 2.1包含关系包含关系 例例 “长度不合格长度不合格” 必然必然 导致导

8、致 “产品不合格产品不合格” 所以所以“产品不合格产品不合格” 包含包含“长度不合格长度不合格”. 概率论与数理统计概率论与数理统计 2.2相等关系相等关系 概率论与数理统计概率论与数理统计 2.3互不相容（互斥）事件互不相容（互斥）事件 例例 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币 互不相容的两个事件互不相容的两个事件 概率论与数理统计概率论与数理统计 2.4事件的并（和）事件的并（和） 例例 某种产品的合格某种产品的合格 与否是由该产品的长与否是由该产品的长 度与直径是否合格所度与直径是否合格所 决定决定,因此因此 “产品不合产品不合 格格”是是“长度不合格长度不合格” 与与“直径不合格直径不合格”的的

9、 并并. 概率论与数理统计概率论与数理统计 ABAB 或 ; , , , 21 1 的和事件的和事件个事件个事件为为称称推广推广 nk n k AAAnA . , , 21 1 的和事件的和事件为可列个事件为可列个事件称称AAAk k 概率论与数理统计概率论与数理统计 2.5事件的交（积）事件的交（积） 例例 某种产品的合格与否是由某种产品的合格与否是由 该产品的长度与直径是否合格该产品的长度与直径是否合格 所决定所决定,因此因此“产品合格产品合格”是是 “长度合格长度合格”与与“直径合格直径合格” 的交或积事件的交或积事件. 概率论与数理统计概率论与数理统计 和事件与积事件的运算性质和事件与

10、积事件的运算性质 ,AAA ,A ,AA ,AAA ,AA . A ; , , , 21 1 的的积积事事件件个个事事件件为为称称推推广广 n n k k AAAnA . , , 21 1 的的积积事事件件为为可可列列个个事事件件称称 AAA k k 概率论与数理统计概率论与数理统计 2.6差事件差事件 例例 “长度合格但直长度合格但直 径不合格径不合格” 是是 “长长 度合格度合格”与与 “直径直径 合格合格” 的差的差. 概率论与数理统计概率论与数理统计 2.7对立事件对立事件 AB AB 概率论与数理统计概率论与数理统计 对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别 A BA BA

11、A、B 对立对立A、B 互斥互斥 ABAB 且 AB 互互 斥斥对对 立立 概率论与数理统计概率论与数理统计 2.8事件的运算律事件的运算律 .,)1(BAABABBA 交换律交换律 ),()()2(CBACBA 结结合合律律 ,)()()( )3( BCACCBCACBA 分分配配律律 .,:(4)BABABABA 摩摩根根律律德德 则则有有为为事事件件设设 ,CBA ).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA 概率论与数理统计概率论与数理统计 C CAB CBACBACBA CBA ABCBCACBACABCACABB ABC （1）第三次未中奖）第三次未中奖 （5

12、）不止一次中奖）不止一次中奖 （6）至多中奖二次）至多中奖二次 （4）至少有一次中奖）至少有一次中奖 （3）恰有一次中奖）恰有一次中奖 （2）第三次才中奖）第三次才中奖 概率论与数理统计概率论与数理统计 3随机事件的概率随机事件的概率 对于一个随机事件对于一个随机事件( (必然事件和不可能事件除必然事件和不可能事件除 外外) )来说来说, ,它在一次试验中可能发生它在一次试验中可能发生, ,也可能不发生也可能不发生. . 我们希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性我们希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性 究竟有多大究竟有多大, ,找到一个合适的数来表示事件在一次找到一个合适的数来表示事件

13、在一次 试验中发生的可能性大小试验中发生的可能性大小. . 定义定义 随机事件随机事件A发生可能性大小的度量发生可能性大小的度量(数值数值), 称为称为A发生的概率发生的概率,记作记作P(A). 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.1概率的统计定义概率的统计定义 ( ) A n n fA n 概率论与数理统计概率论与数理统计 频率具有下述基本性质：频率具有下述基本性质： 11 ()() nn nini ii fAfA 概率论与数理统计概率论与数理统计 试验试验 序号序号 5 n H nf 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 H nf 50 n 22 25 21 25 24

14、 18 27 H n 500 n 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 f 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0.502 例例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率. 处处波波动动较较大大在在 2 1 波动最小波动最小 随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性 处处波波动动较较小小在在 2

15、1 概率论与数理统计概率论与数理统计 从上述数据可得从上述数据可得 (2) 抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时, 频率频率 f 的随机波动幅的随机波动幅 度较大度较大, 但但随随 n 的增大的增大 , 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性.即即 当当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率 f 总是在总是在 0.5 附近摆动附近摆动, 且且 逐渐稳定于逐渐稳定于 0.5. (1) 频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n, 所得的所得的 f 不一定相同不一定相同; 概率论与数理统计概率论与数理统计 实验者实验者 德德 摩根摩根 蒲蒲 丰丰 n H nf 皮尔逊皮尔逊 K

16、皮尔逊皮尔逊 K 204810610.5181 404020480.5069 1200060190.5016 24000120120.5005 )(Hf 的增大的增大n . 2 1 抛掷一枚硬币出现正面频率抛掷一枚硬币出现正面频率 概率论与数理统计概率论与数理统计 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.2概率的公理化定义概率的公理化定义 概率论与数理统计概率论与数理统计 11 ()() nn nn PAP A 概率论与数理统计概率论与数理统计 3.3概率的性质概率的性质 11 ()() nn kk kk PAP A 概率论与数理统计概率论与数理统计 ()( )()P ABP AP AB ()(

17、 )( )()P ABP AP BP AB 概率论与数理统计概率论与数理统计 证明证明 ABAB ()()P ABP AB 1()P AB 1 ( )( )()P AP BP AB 1( )( )()()P AP BP ABP AB 概率论与数理统计概率论与数理统计 概率论与数理统计概率论与数理统计 解解 （1） 2 1 P(B)A)P(B （2） 4 1 P(A)P(B)A)P(B （3） 8 3 P(AB)P(B)A)P(B 概率论与数理统计概率论与数理统计 4古典概型古典概型 4.1古典概率的概念古典概率的概念 概率论与数理统计概率论与数理统计 ( ) A nA P A n 包含的基本事

18、件数 中的基本事件总数 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例 将一枚硬币抛掷二次将一枚硬币抛掷二次, ,设事件设事件A=A=恰有一次出现恰有一次出现 正面正面.求求P(A).P(A). 解解正面记为正面记为H,H,反面记为反面记为T,T,则随机试验的样本空间为则随机试验的样本空间为 =HH,HT,TH,TT=HH,HT,TH,TT 而而 A=HT,TH A=HT,TH 21 ( ) 42 P A 概率论与数理统计概率论与数理统计 解解 设设A=取到的数能被取到的数能被6整除整除 B=取到的数能被取到的数能被8整除整除 333 ( ) 2000 P A 250 ( ) 2000 P B 概率论

19、与数理统计概率论与数理统计 83 () 2000 P AB 因而所求的概率为因而所求的概率为 P(AB)P(AB)1P(AB) 1P(A)P(B)P(AB) 333250833 1 2000200020004 概率论与数理统计概率论与数理统计 4.2计数原理计数原理 A B C 概率论与数理统计概率论与数理统计 A B 概率论与数理统计概率论与数理统计 (1)(1)! !()! r n n nnrn C rr nr 概率论与数理统计概率论与数理统计 4.3利用排列和组合计算古典概率利用排列和组合计算古典概率 解解 10 9995 10 10000 ( ) C P A C 10 9995 10

20、10000 ( )1( )10.00499 C P AP A C 概率论与数理统计概率论与数理统计 解解 设设A=A=抽得合格品和不合格品各一件抽得合格品和不合格品各一件 故有基本事件总数故有基本事件总数 2 6 6!6 5 15 2!(62)!2! nC 概率论与数理统计概率论与数理统计 事件事件A A发生是指从发生是指从4 4件合格品和件合格品和2 2件不合格品中各抽件不合格品中各抽 出一件出一件, , 事件事件A A发生的基本事件数为发生的基本事件数为 11 42 4 28 A nC C 所以事件所以事件A A发生的概率为发生的概率为 15 8 )( 2 6 1 2 1 4 C CC A

21、P 概率论与数理统计概率论与数理统计 解解 设设A=没有相同数字的三位数没有相同数字的三位数 B=没有相同数字的三位偶数没有相同数字的三位偶数 则基本事件总数则基本事件总数 5 6 6180n 百百十十个个 566 概率论与数理统计概率论与数理统计 9 5 665 455 P(A) 45 13 665 52 P(B) 百百十十个个 5 百百十十0 百百十十2 百百十十4 5 5 4 4 4 4 44 概率论与数理统计概率论与数理统计 例例 把把 4 个球放到个球放到 3个杯子中去个杯子中去,求第求第1 1、2个杯子中个杯子中 各有两个球的概率各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可放任意多其中假

22、设每个杯子可放任意多 个球个球. 3333 4个球放到个球放到3个杯子的所有放法个杯子的所有放法 4 3 3 3 33 解解 设设A=第第1、2个杯子中各有两个球个杯子中各有两个球 概率论与数理统计概率论与数理统计 个个2 2 4 C 个个2 2 2 C 因此第因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为个杯子中各有两个球的概率为 22 42 4 ( ) 3 CC P A 2 27 A=第第1、2个杯子中各有两个球个杯子中各有两个球 概率论与数理统计概率论与数理统计 设设A=A=指定的指定的n n个盒子各有一球个盒子各有一球 例例 将将n n个球随机地放入个球随机地放入N(Nn)N(Nn)个盒子中去

23、个盒子中去, ,每个球每个球 都能以同样的概率都能以同样的概率1/N1/N落入落入N N个盒子中的每一个个盒子中的每一个, ,试求试求 : : （1 1）指定的）指定的n n个盒子各有一球的概率个盒子各有一球的概率; ; （2 2）恰有）恰有n n个盒子各有一球的概率个盒子各有一球的概率. . 解解 B=B=恰有恰有n n个盒子各有一球个盒子各有一球 样本空间包含样本点个数为样本空间包含样本点个数为N Nn n个个 概率论与数理统计概率论与数理统计 n n N N Cn BP ! )( ! ( ) n n P A N 概率论与数理统计概率论与数理统计 解法解法1 概率论与数理统计概率论与数理统

24、计 (1)! () ()! k a aba P A abab 概率论与数理统计概率论与数理统计 解法解法2 1 1 () a a b k a a b Ca P A Cab 概率论与数理统计概率论与数理统计 5随机事件的独立性随机事件的独立性 概率论与数理统计概率论与数理统计 8.1两个事件的独立性两个事件的独立性 概率论与数理统计概率论与数理统计 概率论与数理统计概率论与数理统计 概率论与数理统计概率论与数理统计 ()( )()P ABP AP AB ( )( ) ( )P AP A P B ( )1( )( ) ( )P AP BP A P B 概率论与数理统计概率论与数理统计 概率论与数理

25、统计概率论与数理统计 概率论与数理统计概率论与数理统计 ()( )( )()P ABP AP BP AB ( )( )( ) ( )P AP BP A P B 0.20.1 0.2 0.10.28 概率论与数理统计概率论与数理统计 8.2三个事件的独立性三个事件的独立性 概率论与数理统计概率论与数理统计 概率论与数理统计概率论与数理统计 解解由于由于 , 2 1 )()()( CPBPAP 又由题意知又由题意知, 4 1 )()()( ACPBCPABP 概率论与数理统计概率论与数理统计 故有故有 因此因此 A，B，C 不相互独立不相互独立. 1 ()( ) ( ) 4 1 ()( ) ( )

26、 4 1 ()( ) ( ) 4 P ABP A P B P BCP B P C P ACP A P C 则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立. 由于由于 4 1 )( ABCP),()()( 8 1 CPBPAP 概率论与数理统计概率论与数理统计 8.3多个事件的相互独立多个事件的相互独立 概率论与数理统计概率论与数理统计 概率论与数理统计概率论与数理统计 1212 ()() ()() nn P A AAP A P AP A 12 () n P AAA 12 1() n P A AA 12 1() n P AAA 12 1 1() ()()11() n ni i P A P A

27、P AP A 概率论与数理统计概率论与数理统计 1210012100 ()1() ()()P AAAP A P AP A 100 1 (1 0.004)0.33 概率论与数理统计概率论与数理统计 概率论与数理统计概率论与数理统计 123123 ()() () ()0.9 0.8 0.70.504P A A AP A P A P A 123123 ()1()P AAAP AAA 123123 1()1() () ()P A A AP A P A P A 1(10.9) (10.8) (10.7)0.994 123123123 ()P A A AA A AA A A 123123123 () ()

28、 ()() () ()() () ()P A P A P AP A P A P AP A P A P A 0.9 0.2 0.3 0.1 0.8 0.3 0.1 0.2 0.70.092 概率论与数理统计概率论与数理统计 8.4试验的独立性试验的独立性 概率论与数理统计概率论与数理统计 5 ()10 i P A 5 ()1()1 10 ii P AP A 概率论与数理统计概率论与数理统计 你十年从未中大奖的概率你十年从未中大奖的概率 5 520 12520 ()(1 10 )0.9948P A AA 这个概率很大，这说明你十年中从未中过一次大这个概率很大，这说明你十年中从未中过一次大 奖是很正

29、常的事情奖是很正常的事情 概率论与数理统计概率论与数理统计 概率论与数理统计概率论与数理统计 12 () n P AAA 12 1() ()() n P A P AP A 1 (1) n p 概率论与数理统计概率论与数理统计 8.5n重伯努利试验重伯努利试验 303 0 31233 515 (0)()0.578704 666 PP A A AC 概率论与数理统计概率论与数理统计 3123123123 (1)()PP A A AA A AA A A 2 1 3 15 0.347222 66 C 3123123123 (2)()PP A A AA A AA A A 2 2 3 15 0.06944

30、4 66 C 330 3 31233 115 (3)()0.004630 666 PP A A AC 概率论与数理统计概率论与数理统计 概率论与数理统计概率论与数理统计 ,1,0,1,(2), kkn k nn qP kC p qp kn 概率论与数理统计概率论与数理统计 121121kkknn kn kn BA AA AAA AAAA 121 () kkn P A AA AA 121 () ()() ()()(1) kn k kkn P A P AP A P AP App ( ),1,0,1,2, kkn k nn P kC p qqp kn 概率论与数理统计概率论与数理统计 555 ( )(3)(4)(5)P BPPP 3324455 555 0.80.20.80.20.80.94208CCC 概率论与数理统计概率论与数理统计 第一章习题课第一章习题课 随机随机 现象现象 随机随机 试验试验 事件的事件的 独立性独立性 随随 机机 事事 件件 基基 本本 事事 件件 必必 然然 事事 件件 对对 立立 事事 件件 概概 率率 古典古典 概型概型 事件的关系和运算事件的关系和运算 性性 质质 定定 义义 不可能事件不可能事件 复复 合合 事事 件件 概率论与数理统计概率论与数理统计 .,)1(BAABAB