DEA教程(侧重建立模型)-非常经典

1、1 第一讲第一讲 评价相对有效性的评价相对有效性的DEA模型模型 运筹学的新领域运筹学的新领域 1978年由著名的运筹学家年由著名的运筹学家A.Charnes(查恩斯查恩斯), W.W.Cooper(库伯库伯), 及及E.Rhodes(罗兹罗兹)首先提出了一个被称首先提出了一个被称 为数据包络分析（为数据包络分析（Data Envelopment analysis, 简称简称DEA模模 型型）的方法，用于评价相同部门间的相对有效性（因此被）的方法，用于评价相同部门间的相对有效性（因此被 称为称为DEA有效）有效）.他们的第一个模型被命名为他们的第一个模型被命名为C2R模型模型.从生从生 产函数

2、的角度看产函数的角度看,这一模型是用来研究具有多个输入这一模型是用来研究具有多个输入,特别是特别是 具有多个输出的具有多个输出的“生产部门生产部门”同时为同时为“规模有效规模有效”与与“技技 术有效术有效”的十分理想且卓有成效的方法的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯年查恩斯,库伯库伯 ,格拉尼格拉尼(B.Golany),赛福德赛福德(L.Seiford)和斯图茨和斯图茨(J.Stutz)给出给出 另一个模型另一个模型(称为称为C2GS2模型模型),这一模型用来研究生产部门这一模型用来研究生产部门 间的间的“技术有效性技术有效性”. 2 1987年查恩斯年查恩斯,库伯库伯,魏权龄和黄志

3、明又得到了称为锥比魏权龄和黄志明又得到了称为锥比 率的数据包络模型率的数据包络模型C2WH模型。这一模型可用来处理模型。这一模型可用来处理 具有过多的输入及输出的情况具有过多的输入及输出的情况,而且锥的选取可以体现决策而且锥的选取可以体现决策 者的者的“偏好偏好”.灵活地应用这一模型灵活地应用这一模型,可以将可以将C2R模型中确定模型中确定 出的出的DEA有效决策单元进行分类或排队有效决策单元进行分类或排队. 数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域.查恩斯和查恩斯和 库伯等人的第一个应用库伯等人的第一个应用DEA的十分成功的案例的十分成功的案例,就是评价为

4、就是评价为 弱智儿童开设公立学校项目的效果弱智儿童开设公立学校项目的效果.在评估中在评估中,输出包括输出包括“自自 尊尊”等无形的指标等无形的指标;输入包括父母的照料和父母的文化程度输入包括父母的照料和父母的文化程度 等等,无论哪种指标都有无法与市场价格相比较无论哪种指标都有无法与市场价格相比较,也难以轻易定也难以轻易定 出适当的权重出适当的权重(权系数权系数),这也是这也是DEA的优点之一的优点之一. DEA的优点吸引众多的应用者的优点吸引众多的应用者,应用范围已扩展到美国应用范围已扩展到美国 军用飞机的飞行军用飞机的飞行,基地维修与保养基地维修与保养,以及陆军征兵以及陆军征兵,城市城市,银

5、行银行 3 等方面等方面.目前目前,这一方法应用的领域在不断地扩大这一方法应用的领域在不断地扩大.它也可以用它也可以用 来研究多种方案之间的相对有效性来研究多种方案之间的相对有效性(例如投资项目的评价例如投资项目的评价); 研究在决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何研究在决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何( 例如建立新厂后例如建立新厂后,新厂相对于已有的一些工厂是否为有效新厂相对于已有的一些工厂是否为有效 ).DEA是对其决策单元（同类型的企业或部门）的投入规模是对其决策单元（同类型的企业或部门）的投入规模 、技术有效性作出评价，即对各同类型的企业投入一定数、技术有效性作出评

6、价，即对各同类型的企业投入一定数 量的资金、劳动力等资源后，其产出的效益（经济效益和量的资金、劳动力等资源后，其产出的效益（经济效益和 社会效益）作一个相对有效性评价。社会效益）作一个相对有效性评价。 为了说明为了说明DEA模型的建模思路，我们看下面的例模型的建模思路，我们看下面的例 子子 4 例例1： 某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企 业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值x1、 流动资金流动资金x2、职工人数职工人数x3）和产出（总产值和产出（总产值y1、利税总额利税总额y2 ）的有关

7、数据如下表的有关数据如下表 企业 指标 甲乙丙 x1（万元）41527 x2 （万元）1545 x3 （万元）825 y1 （万元）602224 y2 （万元）1268 由于投入指标和产出指标都不止一个，故通常采用加由于投入指标和产出指标都不止一个，故通常采用加 权的办法来综合投入指标值和产出指标值。权的办法来综合投入指标值和产出指标值。 5 对于第一个企业，产出综合值为对于第一个企业，产出综合值为60u1+12u2,投入综合值投入综合值 4v1+15v2+8v3， ，其中 其中u1 u2 v1 v2 v3分别为产出与投入的权重系分别为产出与投入的权重系 数。数。 我们定义第一个企业的生产效率

8、为：我们定义第一个企业的生产效率为：总产出与总投入的比总产出与总投入的比 即即 vvv uu h 321 21 1 8154 1260 类似，可知第二、第三个企业的生产效率分别为：类似，可知第二、第三个企业的生产效率分别为： vvv uu h 321 21 2 2415 622 vvv uu h 4 527 824 321 21 3 6 我们限定所有的我们限定所有的hj值不超过值不超过1，即，即 ，这意味着，这意味着， 若第若第k个企业个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最则该企业相对于其他企业来说生产率最 高，或者说这一生产系统是相对有效的，若高，或者说这一生产系统是相对有效的，

9、若hk1，那么该那么该 企业相对于其他企业来说，生产效率还有待于提高，或者企业相对于其他企业来说，生产效率还有待于提高，或者 说这一生产系统还不是有效的。说这一生产系统还不是有效的。 1max hj 即即 因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下：因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下： 这是一个分式规划，需要这是一个分式规划，需要 将它化为线性规划才能求将它化为线性规划才能求 解。解。 vvv uu h 321 21 1 8154 1260 max 1 2415 622 321 21 2 vvv uu h 1 4 527 824 321 21 3 vvv uu h 1 81

10、54 1260 321 21 1 vvv uu h 7 设设 vvv t 321 8154 1 v t wu t iii i , 则此分式规划可化为如下的则此分式规划可化为如下的 线性规划线性规划 1 w 8 w 15 w 4 w 4 w 5 w 27824 w 2 w 4 w 15622 w 8 w 15 w 41260 . t . s 1260 h max 321 321 21 321 21 321 21 21 1 其对偶其对偶 问题为问题为 128612 60242260 8428 155415 427154 . t . s V min 321 321 321 321 321 D vvv

11、 uu h 321 21 1 8154 1260 max 1 2415 622 321 21 2 vvv uu h 1 4 527 824 321 21 3 vvv uu h 1 v 8 v 15 v 4 u 12 u 60 h 321 21 1 8 设vi为第i个指标xi的权重，ur为第r个产出yr指标的权重， 则第j个企业投入的综合值为 ，产出的综合值为 其生产效率定义为: 于是问题实际上是确定一组最佳的权变量v1,v2,v3和u1,u2 ，使第j个企业的效率值hj最大。这个最大的效率评价值是该 企业相对于其他企业来说不可能更高的相对效率评价值。 xvij 3 1i i y u rj 2

12、1r r 3 1i iji 2 1r rj r j xv y u h 我们限定所有的hj值(j=1,2,3)不超过1，即maxhj1。这意 味着，若第k个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生 产率最高，或者说这一系统是相对而言有效的；若hk1，那 么该企业相对于其他企业来说，生产率还有待于提高，或者 说这一生产系统还不是有效的。 9 根据上述分析，可以建立确定任何一个企业（如第3 个 企业即丙企业）的相对生产率最优化模型如下： 3 , 2 , 1i , 0, 2 , 1r , 0 3 , 2 , 1j , 1 . t . s Hmax vu h h ir j 3 1、评价决策单元技术和规

13、模综合效率的、评价决策单元技术和规模综合效率的C2R模型模型 设有n个同类型的企业（也称决策单元），对于每个企业 都有m种类型的“输入”（表示该单元对“资源”的消耗 ）以及p种类型的“输出”（表示该单元在消耗了“资源” 之后的产出）。 这n个企业及其输入-输出关系如下： 10 : : y1n y2n : ypn y1j y2j : ypj : y12 y22 : yp2 y11 y21 : yp1 u1 u2 : up 1 2 : p 输 出 x1n x2n : xmn x1j x2j : xmj : x12 x22 : xm2 x11 x21 : xm1 v1 v2 : vm 1 2 : m

14、 输 入 nj21 部门 指标 权数 每个决策单元的效率评价指数定义为： m 1i iji p 1r rj r j xv y u h j=1,2,n 11 而第j0个决策单元的相对效率优化评价模型为： 上述模型中xij,yrj为已知数（可由历史资料或预测数据得 到），vi,ur为变量。模型的含义是以权系数vi,ur为变量，以 所有决策单元的效率指标hj为约束，以第j0个决策单元的效 率指数为目标。即评价第j0个决策单元的生产效率是否有效 ，是相对于其他所有决策单元而言的。 m 1i 0iji p 1r 0rj r 0j xv y u hmax s.t. vi,ur0, i=1,2,m; r=1

15、,2,p n,.,2 , 1j , 1 m 1i iji p 1r rj r xv y u （1） 12 这是一个分式规划模型，我们必须将它化为线性规划模 型才能求解。为此，令 m 1i 0ijixv 1 t vwii t ur r t 则模型（1）转化为： p,.,2 , 1r;m,.2 , 1i, 0, 1 n,.,2 , 1j, 0 . t . s w xw xw y y hmax i r 0ij m 1i i p 1r m 1i iji rjr p 1r 0rjr 0 j （2） 13 p,.,2 , 1r;m,.2 , 1i, 0, 1 n,.,2 , 1j, 0 . t . s w

16、 xw xw y y hmax i r 0ij m 1i i p 1r m 1i iji rjr p 1r 0rjr 0 j （2） 写成向量形式有: njX XY ts Yh T j T j T T j ,.,2 , 1 0, 0 1 0 . . max 0 0 0 14 其对偶问题为： 无约束,0 p,.,2, 1r , m,.,2, 1i , . t . s min j n 1j 0rrj j n 1j 0iijj D yy xx v （3） 写成向量形式有： , 0, 0, 0 j n 1j 0j j 0j n 1j j ss y s y xsx s.t. 无约束 （4） min 15

17、 设问题（4）的最优解为*，s*-,s*+,*，则有如下结论： （1）若*=1，则DMUj0为弱DEA有效（总体）。 （2）若*=1，且s*-=0,s*+=0，则DMUj0为DEA有效（总体） （3）令 0=*x0- s*-, 0=y0+ s*+,则为在有效 前沿面上的投影，相对于原来的n个DMU是有效（总体）的 。 x y x y （4）若存在j*(j=1,2,m),使 =1成立，则DMUj0为规 模效益不变；若不存在j*(j=1,2,m)，使 =1成立，则 1 DMUj0为规模效益递减 。 n 1j * j n 1j * j n 1j * j n 1j * j n 1j * j 16 有效

18、解的解释：有效解的解释：F(X)=f1(X),f2(X),fn(X) 如对于求极大(max)型，其各种解定义如下： 绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*） F(X) 弱有效解：若不存在X，使得F（X*)F(X) 17 18 P63例例28 以以1997年全部独立核算企业为对象年全部独立核算企业为对象,对安徽、江西对安徽、江西 、湖南和湖北四省进行生产水平的比较。投入要素取固定、湖南和湖北四省进行生产水平的比较。投入要素取固定 资产净值年平均余额资产净值年平均余额(亿元亿元),流动资金年平均余额及从业人流动资金年平均余额及从业人 员员(万人万人),

19、产出要素取总产值产出要素取总产值(亿元亿元)和利税总额和利税总额(亿元亿元). 安徽安徽江西江西湖南湖南湖北湖北 固定资产固定资产932.66583.08936.841306.56 流动资金流动资金980.45581.64849.311444.30 从业人员从业人员401.8294.2443.20461.00 利税总额利税总额179.2949.76144.20181.41 总产值总产值2196.09930.221659.042662.21 全要素相对生产率全要素相对生产率 (即即DEA评价值评价值) 1.0000.71400.92851.000 排序排序1321 19 1. 建立评价湖南省的建

20、立评价湖南省的DEA模型如下模型如下 无约束无约束, 0 04.1659 s 21.266204.165922.93009.2196 20.144 s 410.18120.144760.4929.179 20.443 s 000.46120.44320.24980.401 31.849 s 40.144431.84964.58145.980 84.936 s 56.130684.93608.58366.932 . t . s V min j 24321 14321 34321 24321 14321 D 求解结果为求解结果为: 24.107 s , 0 s ,17.88 s , 0 s ,71

21、.119 s , 0,8043. 0,9285. 0 213214321 调整方案为调整方案为: 输入调整前输入调整前输入调整后输入调整后输出调整前输出调整前输出调整后输出调整后 936.84936.84*0.9285-119.71 =750.15 144.20144.20 849.31849.31*0.9285=788.581659.041659.04+107.24=1766.28 443.20443.2*0.9285-88.17=323.34 20 2、具有非阿基米德无穷小的C2R模型 在评价决策单元是否为DEA有效时,如果利用原线性规划问 题 njX XY ts Yh T j T j T

22、 T j ,.,2 , 1 0, 0 1 0 . . max 0 0 0 需要判断是否存在最优解 ， 满足 00 , 1, 0, 0 0 000 0 Yhj 如果利用对偶线性规划 0, 0 . . min 1 0 1 0 SS YSY XSX ts j n j jj n j jj 需要判断它的所有最优解都满足 1, 0, 0 000 SS 无论是对于线性规划还是对于对偶 规划，这都是不容易做到的。因此 Charnes 和Cooper引入了非阿基米德无 穷小的概念，利用线性规划方法求解。 去判断决策单元的DEA有效性。 21 令是非阿基米德无穷小量，它是一个小于任何正数、且大 于零的数。考虑带有

23、非阿基米德无穷小的C2R模型： nj e e X XY ts Yh TT TT T j T j T T j ,.,2 , 1 1 0 . . max 0 0 0 对偶问题为： 0, 0 . . ) ( min 1 0 1 0 SS YSY XSX ts SeSe j n j jj n j jj TT 其中 s m T Ee Ee )1,.,1 ,1( )1,.,1 ,1( 22 5、DEA有效性的经济含义有效性的经济含义 考虑投入量为 ，产出量为 的某种生产活动。我们的目的是根据所观察到的生产活动 （xj,yj),j=1,2,n,去描述生产可能集，特别是根据这些观察 数据去确定哪些生产活动是相

24、对有效的。 T m xxxX),.,( 21 T s yyyY),.,( 21 生产可能集生产可能集定义为： T=(X,Y)|产出向量Y可以由投入向量X生产出来 因此，生产可能集可确定为： n j n j jjjjj YyXxYXT 11 0,| ),( 23 有效性定义：有效性定义：对任何一个决策单元，它达到对任何一个决策单元，它达到100%的效率是的效率是 指：在现有的输入条件下，任何一种输出都无法增加，指：在现有的输入条件下，任何一种输出都无法增加， 除非同时降低其他种类的输出；要达到现有的输出，任除非同时降低其他种类的输出；要达到现有的输出，任 何一种输入都无法降低，除非同时增加其他种

25、类的输入。何一种输入都无法降低，除非同时增加其他种类的输入。 一个决策单元达到了一个决策单元达到了100%的效率，该决策单元就是有效的的效率，该决策单元就是有效的 ，也就是有效的决策单元。，也就是有效的决策单元。 无效性定义无效性定义： （1）对任意（X，Y）T，并且 ，均有 （2）对任意（ X，Y）T，并且 ，均有 这就是说，以较多的输入或较少的输出进行生产总是可能 的。 XX YY TYX), ( TYX) ,( 24 既是技术有效, 也是规模有效 下面我们以单输入单输出的情况来说明下面我们以单输入单输出的情况来说明DEA有效性的有效性的 经济含义。首先叙述生产函数的概念。生产函数经济含义

26、。首先叙述生产函数的概念。生产函数Y=f(X） 表示在生产处于最好的理想状态时，当投入量为表示在生产处于最好的理想状态时，当投入量为X,所能获所能获 得的最大输出得的最大输出.因此因此,生产函数图象上的点生产函数图象上的点(X表示输入表示输入,Y表示表示 输出输出)所对应的决策单元所对应的决策单元,从生产函数的角度看从生产函数的角度看,是处于是处于“技技 术有效术有效”的状态的状态.一般来说生产函数的图象如下一般来说生产函数的图象如下: A B C 既不是技术有效,也不是 规模有效 技术有效,但不是规模有效 25 我们现在来研究在模型我们现在来研究在模型C2R之下的之下的DEA有效性的经济含义

27、有效性的经济含义. 检验决策单元检验决策单元j0的的DEA有效性有效性,即考虑线性规划问题即考虑线性规划问题: nj YY XX ts j n j jj n j jj .,2 , 1, 0 . . min 1 0 1 0 TYX),( 00由于 ,即 满足 ),( 00 YX n j jj n j jj YY XX 1 0 1 0 可以看出可以看出,线性规划是表示在生产可能集线性规划是表示在生产可能集T内内,当产出当产出Y0 保持不变的情况下保持不变的情况下,尽量将投入量尽量将投入量X0按同一比例按同一比例减少减少.如如 果投入量果投入量X0不能按同一比例不能按同一比例减少减少,即线性规划的最

28、优值即线性规划的最优值 =1,在单输入与单输出的情况下在单输入与单输出的情况下,决策单元决策单元j0既为技术有效既为技术有效, 也为规模有效也为规模有效.反之反之,如果投入量如果投入量X0能按同一比例能按同一比例减少减少,即即 线性规划的最优值线性规划的最优值1,在单输入与单输出的情况下在单输入与单输出的情况下,决策决策 单元单元j0不为技术有效不为技术有效,或不为规模有效或不为规模有效. 26 例题例题: 下面是具有下面是具有3个决策单元的单输入数据和单输出数据个决策单元的单输入数据和单输出数据. 相应决策单元所对应的点以相应决策单元所对应的点以A,B,C表示表示,其中点其中点A、C在生产在

29、生产 曲线上曲线上,点点B在生产曲线下方。由在生产曲线下方。由3个决策单元所确定的生产个决策单元所确定的生产 可能集可能集T也在图中标出来。也在图中标出来。 2 4 5 2 1 3.5 输入 输出 A(2,2) B(4,1) C(3,5) Y=Y(X) 对于决策点A,它是“技术有效”和“规模有效”,它所对应 的C2R模型为 0, 25 . 32 2542 . min 321 321 321 ts 其最优解为:1,)0 , 0 , 1 ( 00 T 27 2 4 5 2 1 3.5 输入 输出 A(2,2) B(4,1) C(3,5) Y=Y(X) 对于决策点B,它不是“技术有效”,因为点B不在

30、生产函数曲 线上,也不是“规模有效”,这是因为它的投资规模太大. 0, 15 . 32 4542 . min 321 321 321 ts 其最优解为:4/1,)0 , 0 , 2/1 ( 00 T 其对应的C2R模型如下: 由于1,故B点不是DEA有效,由 ,知该部 门的规模收益是递减的. 3 1 0 0 12 1 j j 28 2 4 5 2 1 3.5 输入 输出 A(2,2) B(4,1) C(3,5) Y=Y(X) 0, 5 . 35 . 32 5542 . min 321 321 321 ts 其最优解为:10/7,)0 , 0 , 4/7( 00 T 对于决策点C,因为点C是在生

31、产函数曲线上,它是“技术有 效”,但由于它的投资规模太大,所以不是“规模有效”. 其对应的C2R模型如下: 由于1,故C点不是DEA有效,由 ,知该部 门的规模收益是递减的. 3 1 0 0 1 2 51 j j 29 二、评价技术有效性的二、评价技术有效性的C2GS2模型模型 考虑一对线性规划对偶问题：考虑一对线性规划对偶问题： njX XY ts YV T j T j T T P ,.,2 , 1 0, 0 1 0 . . max 0 0 00 (P) 0, 0 1 . . min 1 1 0 1 0 SS YSY XSX ts V j n j j n j jj n j jj D (D)

32、该模型计算出的DMU效率是纯技术效率，反映DMU 的纯技术效率状况，称为纯技术效率。设问题的最优解为 *，s*-,s*+,*，则有如下结论： (1)若*=1，则DMUj0为弱DEA有效（ C2GS2纯技术）。 (2)若*=1，且s*-=0,s*+=0，则DMUj0为DEA有效(C2GS2纯技 术)。 30 线性规划线性规划(D)的经济解释是的经济解释是:在生产可能集在生产可能集 T内内,当产出当产出Y0保持不变的情况下保持不变的情况下,尽量将尽量将 投入量投入量X0按同一比例按同一比例减少减少.如果投入量如果投入量 X0不能按同一比例不能按同一比例减少减少,即线性规划的即线性规划的 最优值最优

33、值=1,在单输入与单输出的情况下在单输入与单输出的情况下, 决策单元决策单元j0既为技术有效既为技术有效.反之反之,如果投入如果投入 量量X0能按同一比例能按同一比例减少减少,即线性规划的即线性规划的 最优值最优值1,在单输入与单输出的情况下在单输入与单输出的情况下, 决策单元决策单元j0不为技术有效不为技术有效. C2GS2模型的经济解释模型的经济解释: 0, 0 1 . . min 1 1 0 1 0 SS YY XX ts V j n j j n j jj n j jj D (D) 在这里之所以与在这里之所以与C2R模型的情况不同模型的情况不同,是因为生产可能集是因为生产可能集T 的构成

34、不满足的构成不满足“锥性锥性”的公理假设的公理假设. “锥性锥性”的公理假设的公理假设:对任意对任意(X,Y)T,及数及数k0,均有均有 这就是说这就是说,若以投入量若以投入量X的的k倍进行输入倍进行输入,那么产出量也以原那么产出量也以原 来产出来产出Y的的k倍产出是可能的倍产出是可能的. TkYkXYXk),(),( 31 具有非阿基米德无穷小的模型为具有非阿基米德无穷小的模型为: 0,0 1 . )(min 1 1 0 1 0 SS YSY XSX ts SeSeV j n j j n j jj n j jj TT D nj e e X XY ts YV T TT T j T j T T

35、P ,.,2 , 1 1 0 . . max 0 0 00 (P) (D) 32 例题例题:考虑具有一个输入和一个输出的问题考虑具有一个输入和一个输出的问题,它们由下表给它们由下表给 出出: 1 3 4 2 3 1 输入 输出 考察决策单元考察决策单元1,相应的线性规划模型为相应的线性规划模型为: 0, 1 232 43 . min 321 321 321 321 s s ts 其最优解为:0, 1,)0 , 0 , 1 ( 00 ss T 知决策单元1为DEA有效(C2GS2) 33 1 3 4 2 3 1 输入 输出 考察决策单元考察决策单元2,相应的线性规划模型为相应的线性规划模型为:

36、0, 1 332 343 . min 321 321 321 321 s s ts 其最优解为:0, 1,)0 , 1 , 0( 00 ss T 知决策单元2为DEA有效(C2GS2) 34 1 3 4 2 3 1 输入 输出 考察决策单元考察决策单元3,相应的线性规划模型为相应的线性规划模型为: 0, 1 132 443 . min 321 321 321 321 s s ts 其最优解为: 1, 0, 4/1,)0 , 0 , 1 ( 00 ss T 知决策单元3不为DEA有效(C2GS2) T (1,2) (3,3) (4,1) 35 1 3 4 2 3 1 输入 输出 对于决策单元对于

37、决策单元2,为为DEA有效有效(C2GS2),但却不是但却不是DEA(C2R)有有 效效. 0, 332 343 . min 321 321 321 s s ts 其最优解为: 2 1 ,)0 , 0 , 2 3 ( 00 T 知决策单元2不为DEA有效(C2R) T (1,2) (3,3) (4,1) T (1,2) (3,3) (4,1) 其其C2R模型为模型为: 36 三、评价第三、评价第j0决策单元决策单元DMU纯规模效率模型为：纯规模效率模型为： * * * s （6） 根据DEA的理论，总体效率*、纯技术效率*、纯规模 效率s*三个参数之间存在（6）式所述的关系，由（6）可 直接计

38、算DMU的纯规模效率。 37 四、具有锥比率的四、具有锥比率的C2WH模型模型 假设有假设有n个决策单元对应的输入数据和输出数据如下个决策单元对应的输入数据和输出数据如下 X Y 1 2 n m 1 s 1 矩阵为nmxxxX n ),.,( 21 矩阵为nsyyyY s ),.,( 21 VEV m int,并且为闭凸锥 UEU s int,并且为闭凸锥 为闭凸锥 n EK 则则C2WH模型如下：模型如下： nj UV X KYX ts YV T j T j T T P ,.,2 , 1 , 1. . max 0 0 38 则则C2WH模型如下：模型如下： nj UV X KYX ts YV

39、 T j T j T T P ,.,2 , 1 , 1. . max 0 0 (P) 结论结论:(1)若规划若规划P存在最优解存在最优解 ,满足满足 * * 0 * 0 . min K UYY VXX ts V D (D) 00 , UVYV T p int,int, 1 00 0 0 1 0 0 YV T p 则称决策单元则称决策单元j0为弱为弱DEA有效有效(C2WH) (2)若规划若规划P存在最优解存在最优解 ,满足满足 00 , 则称决策单元则称决策单元j0为为DEA有效有效(C2WH) 39 使用凸锥去度量决策单元的使用凸锥去度量决策单元的DEA有效性时有效性时,相应的生产可能相应的

40、生产可能 集为集为: ),(),(),( | ),( * KUVYXYXYXT 其中其中, 0| * VvvvvV T 对任意 , 0| * UuuuuU T 对任意 , 0| * KkkkkK T 对任意 若令若令 nsm EKEUEV, 则锥比率模型则锥比率模型(P)和和(D)化为化为 C2R模型模型 0, 0 1 0 . . max 0 0 X YX ts YV T j T j T T P (P) 0 0 0 . min 0 0 YY XX ts V D (D) 可见可见C2WH模型是模型是C2R模型的推广模型的推广. 40 例题例题:考虑具有二个输入和一个输出的问题考虑具有二个输入和一

41、个输出的问题,它们由下表给它们由下表给 出出: 3 3 4 10 1 3 2 1 1 2 1 输入 输出 在使用在使用C2R模型评价时模型评价时,决策单元决策单元1,2,3均为均为DEA有效有效(C2R). 以决策单元以决策单元2为例为例.其其C2R模型为模型为: 0, 13 024 0233 03 010 . . max 121 21 121 121 121 121 1 ts Vp 其最优解为其最优解为 故为故为DEA有效有效(C2R) 1, 1, 0 6 3 6 1 0 1 0 P T V 41 我们知道我们知道,在使用在使用DEA方法评价部门间的相对有效性时方法评价部门间的相对有效性时,

42、 变量变量v表示对输入的权系数表示对输入的权系数,它表示各种不同输入之间的相它表示各种不同输入之间的相 对重要对重要;变量变量u表示对输出的权系数表示对输出的权系数,表示各种不同输出之间表示各种不同输出之间 的相对重要性的相对重要性.于是于是,在在C2R模型中的线性规划模型中的线性规划(P)中的中的和和 也具有同样的意义也具有同样的意义.在求线性规划问题在求线性规划问题(P)的最优解时的最优解时,实际实际 上是选取对决策单元上是选取对决策单元j0最为有利的权系数最为有利的权系数.在很多实际问题在很多实际问题 中中,每项输入每项输入(或输出或输出)的重要性是不尽相同的的重要性是不尽相同的(例如某

43、项生产例如某项生产 活动中输入可以是黄金和煤炭的情况活动中输入可以是黄金和煤炭的情况).因此因此,权系数的选取权系数的选取 应该满足一定的限制应该满足一定的限制.在上述例子中在上述例子中,决策单元决策单元2是是DEA有效有效 (C2R)时时,表示输入项目表示输入项目1和输入项目和输入项目2的重要性之比是的重要性之比是 3:1 0 2 0 1 如果事先认为第一项输入与第二项输入的重要性之比为如果事先认为第一项输入与第二项输入的重要性之比为 10 0 2 0 1 则必须使用则必须使用C2WH模型模型,此时此时,对决策单元对决策单元2,有有: 42 0,),( 13 024 0233 03 010 . . max 121 21 121 121 121 121 1 V ts V T p 其中 0, 010|),( 22121 T V 求解结果为求解结果为03225. 0,3225. 0,53225. 0 211 不为不为DEA有效有效(C2WH) 下面讨论当下面讨论当V,U,K为多面凸锥时的为多面凸锥时的C2WH模型模型.令令 ,.,2 , 1, 0| 1 miaV i m i ii ,.,2 , 1, 0| 1 sibU r s r rr mm m a a a A 2 1 ss s b b b B 2 1 则有则有 0|* 0|* BuuU AvvV 43 AX1 AX