数列概念与简单表示法

1、No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 国际象棋起源于古印度，关于国际象棋国际象棋起源于古印度，关于国际象棋 还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什 么要求，他答道：么要求，他答道：“在棋盘第一个格放在棋盘第一个格放1颗麦颗麦 粒，在第二个格放粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放颗麦粒，在第三个格放4 颗麦粒，在第四个格放颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，颗麦粒。以此类推， 每个格子放的麦粒数是前一个格子的每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直倍，直 到到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然个格子。国王觉得这太容易了，就欣然

2、 答应了他的要求，你认为国王能满足他的要答应了他的要求，你认为国王能满足他的要 求吗？求吗？ 新课导入新课导入 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10 从下往上钢管的数目有什么规律？从下往上钢管的数目有什么规律？ 钢管的总数是多少？如果增加钢管的层数，钢管的总数是多少？如果增加钢管的层数， 有没有更快捷的方法求出总数？有没有更快捷的方法求出总数？ 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 15, 5, 16, 16

3、, 28,32 从从1984到到2004年金牌数年金牌数 奥奥 运运 之之 光光 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 在本章我们将学在本章我们将学 习数列的知识，学完习数列的知识，学完 后解决这类问题那是后解决这类问题那是 小菜一碟，我们拭目小菜一碟，我们拭目 以待以待。 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 2.1 2.1 数列的概念与简单数列的概念与简单 表示法表示法 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 教学目标教学目标 （1 1）理解数列的概念及数列的表示方）理解数列的概念及数列的表示方 法（列表法、图象法、通项公式法

4、）法（列表法、图象法、通项公式法）, ,能用能用 函数的观点认识数列函数的观点认识数列; ; （2 2）了解数列的通项公式和递推公式）了解数列的通项公式和递推公式 的意义的意义, ,会根据数列的通项公式写出数列的会根据数列的通项公式写出数列的 任意一项任意一项 ; ; （3 3）知道递推公式是给出数列的一种）知道递推公式是给出数列的一种 方法，并能根据递推公式写出数列的前方法，并能根据递推公式写出数列的前n n项项. . No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 （1 1）培养观察能力，推理能力，发展）培养观察能力，推理能力，发展 有条理地逻辑能力；有条理地逻辑能力； （2

5、2）经历探索数列的递推公式的的过）经历探索数列的递推公式的的过 程，体会利用递推公式获得数列每一项的程，体会利用递推公式获得数列每一项的 过程过程 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 （1 1）经历和体验数学活动的过程以及数学）经历和体验数学活动的过程以及数学 在现实生活中的应用，树立学好数学的信心；在现实生活中的应用，树立学好数学的信心； （2 2）让学生在民主、和谐的氛围中感受）让学生在民主、和谐的氛围中感受 学习的乐趣；学习的乐趣； （3 3）在探索求数列通项公式及其运用的）在探索求数列通项公式及其运用的 过程中，培养一定的逻辑关系过程中，培养一定的逻辑关系. .

6、 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 重点：数列的概念及数列的通项公式，重点：数列的概念及数列的通项公式， 数列递推公式的概念数列递推公式的概念. . 教学重难点教学重难点 难点：各项的特点找出规律写出前难点：各项的特点找出规律写出前n n项项 的通项公式的通项公式. .根据递推关系求通项公式根据递推关系求通项公式. . No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 数列是初等数学和高等数学的一个数列是初等数学和高等数学的一个 衔接点历来是高考考察的重点，突出考衔接点历来是高考考察的重点，突出考 察考生的思维能力、逻辑推理能力及解察考生的思维能力、逻辑推理

7、能力及解 决问题的能力决问题的能力. .有关数列的试题经常在数有关数列的试题经常在数 列知识、函数知识和不等式等知识网络列知识、函数知识和不等式等知识网络 的交汇点命题。学习中应注意应用的交汇点命题。学习中应注意应用“联联 系系”的思想、从特殊到一般的思想方法，的思想、从特殊到一般的思想方法， 也要掌握常用方法也要掌握常用方法 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 请观察请观察: : (1) 2, 3, 4, 5, 6, (2) 1，3， 32 ，33，34， (3) 0, 10, 20, 30, , 1000 (5) -1, 1, -1, 1, -1, (4) . ,

8、2 1 , 3 2 , 4 3 , 5 4 (6) 66, 56, 34, 21, 11 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 向上面的例子中，按一定次序排列的向上面的例子中，按一定次序排列的 一列数叫数列一列数叫数列. . 数列中的每一个数叫做这个数列的项数列中的每一个数叫做这个数列的项 . .各项依次叫做这个数列的各项依次叫做这个数列的第第1 1项项，第第2 2项项 ，第第n n项项， 数列的一般形式可以写成数列的一般形式可以写成 a1，a2， ，an， 其中其中a an n是数列的第是数列的第n n项。简记为项。简记为an. No Image 数列概念与简单表示法数

9、列概念与简单表示法 数列的分类数列的分类 (1)(1)按项分类：可以分为有穷数列和无穷数列按项分类：可以分为有穷数列和无穷数列. . 有穷数列有穷数列: :项数有限的数列项数有限的数列 无穷数列无穷数列: :项数无限的数列项数无限的数列 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 (2)(2)按按 的增减性分类：的增减性分类： n n a a 递减数列递减数列: :从第从第2 2项起，每一项都小于它的前项起，每一项都小于它的前 一项的数列叫做递增数列一项的数列叫做递增数列. . 摆动数列摆动数列; ;如果从第如果从第2 2项起，有些项大于它项起，有些项大于它 的前一项，有些项小

10、于它的前一项，这样的前一项，有些项小于它的前一项，这样 的数列叫摆动数列的数列叫摆动数列. . 常数列常数列: :如果它的每一项都相等，这个数列如果它的每一项都相等，这个数列 叫做常数列叫做常数列. . 递增数列递增数列: :从第从第2 2项起，每一项都不小于它的项起，每一项都不小于它的 前一项的数列叫做递增数列前一项的数列叫做递增数列. . No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 上述上述6个数列中的项与序号的关系有没有规个数列中的项与序号的关系有没有规 律？如何总结这些规律？律？如何总结这些规律？ 数列中的每一个数都对应着一个序号，反过数列中的每一个数都对应着一个序号，

11、反过 来，每个序号也都对应着一个数来，每个序号也都对应着一个数.如数列（如数列（1） 序号序号 1 2 3 4 5 项项 2 3 4 5 6 如果已知一个数列的通项公式，那么依次用如果已知一个数列的通项公式，那么依次用1 ，2，3，.代替公式中的代替公式中的n，就可以求出这个数列，就可以求出这个数列 的各项的各项. No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 从函数的观点看，数列可以看作是一个从函数的观点看，数列可以看作是一个 定义域为正整数集定义域为正整数集N （或它的有限子集 （或它的有限子集1，2 ，n）的函数自变量从小到大一次取值）的函数自变量从小到大一次取值 时对应的

12、一列函数值，且数列的通项公式也时对应的一列函数值，且数列的通项公式也 就是相应函数的解析式就是相应函数的解析式. 数列可以用图像来表示：（见下页）数列可以用图像来表示：（见下页） No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 an O n 1 2 3 4 5 6 7 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 数列图象 是一些点 an=n+1的图象的图象 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 如果数列如果数列 an 中的第中的第n 项项an与与n之间的关系可以用之间的关系可以用 一个公式来表示，则称此公一个公式来表示，则称此公 式为数列的通项公式式为数列的通项

13、公式. 1 1n nn nn n S SS Sa a 1 1n nn nn n S SS Sa a 也满足也满足时时， 才是数列的通项公式才是数列的通项公式. . 注意：注意：只有当只有当a a1 1 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 注意注意: 有些数列的通项公式并不唯一，有些数列的通项公式并不唯一， 如数列如数列(5) 并不是所有的数列都有通项公式并不是所有的数列都有通项公式 ，如数列，如数列(6) No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 数列通项公式数列通项公式an=2n-1（n 64),只要依次用只要依次用 n=1，2，3，4， 64代替公

14、式中的代替公式中的n，就可以，就可以 求出各项，也就是说，求出各项，也就是说， a1=1, a2=2=2a1 a3 =4=2a2 a64=263=2a63 即：即：a1=1, an=2an-1(2n 64) 递推公式递推公式 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 向上面那样，如果已知数列向上面那样，如果已知数列an的第的第 一项（或前几项），且任一项一项（或前几项），且任一项 a an n与它的与它的 前一项前一项a an-1 n-1（或前几项）间的关系可以用 （或前几项）间的关系可以用 一个公式来表示，那么这个公式就叫做这一个公式来表示，那么这个公式就叫做这 个数列的递

15、推公式个数列的递推公式. 递推公式也是给出数列的一种方法递推公式也是给出数列的一种方法. No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 题型题型1 根据数列的前几项写出数根据数列的前几项写出数 列的一个通项公式列的一个通项公式 解决本类问题关键是观察归纳解决本类问题关键是观察归纳 各项与对应的项数之间的联系同各项与对应的项数之间的联系同 时时.要善于利用我们熟知的一些基本要善于利用我们熟知的一些基本 数列，建立合理的联想，转化而达数列，建立合理的联想，转化而达 到问题的解决到问题的解决 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 例例1 观察下面数列的特点，用适当

16、观察下面数列的特点，用适当 的数填空，并写出每个数列的一个的数填空，并写出每个数列的一个 通项公式通项公式： （1） （）（）, , 4 3 , 3 2 , 12 7 , 12 5 . 3 1 （2）1，2，4，8，（），（），32 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 答案答案 （1）括号内填）括号内填 ，通项公式为，通项公式为:an= 2 1 12 n10 （2）括号内填）括号内填 16 ，通项公式为，通项公式为:an=2n-1 分析分析 （1）根据观察：分母的最小公倍数为）根据观察：分母的最小公倍数为12， 把各项都改成以把各项都改成以12为分母的分数为分母的分数.

17、 （2）一看都是）一看都是2的倍数，则要分析是的倍数，则要分析是2的几的几 次幂次幂. No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 例例2 (1) 3，8，15，24， -1, 3, -6, 10, 1, 0, 0, 0, (2)6，66，666，6666， 写出下面数列的通项公式，是它们写出下面数列的通项公式，是它们 的前四项分别是下列各数：的前四项分别是下列各数： No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 例例2 2解析解析: : (1) 注意观察各项与对应序号的关系，可注意观察各项与对应序号的关系，可 以发现：以发现： 3=13， 8=24， 15=35

18、， 24=46 所以所以an=n(n+2)。 本小题也可以与数列本小题也可以与数列4，9，16， 25，(n+1)2比较，得出：比较，得出： an=(n+2)2-1=n(n+2). No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 (2) (2)各项的公共特点是负正相间。观察各各项的公共特点是负正相间。观察各 项绝对值与对应序号关系，初看找不到规律，项绝对值与对应序号关系，初看找不到规律， 可将各项绝对值试迟疑序号：可将各项绝对值试迟疑序号： 1 1 = 1 =, 2 2 2 3 = 2 3 3 6 = 2 =, 2 4 4 10 = 2 5 所以：所以： n an = , 2 1n

19、 于是于是an=(-1)n 2 1)n(n No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 数列分子是数列分子是1，0重复变化，可看成是数重复变化，可看成是数 列列1，-1，1，-1对应项和的对应项和的 组成的新数组成的新数 列，分母是自然数列的各项，故所给数列的列，分母是自然数列的各项，故所给数列的 通项公式是通项公式是 (3) (3)所给数列可改写为所给数列可改写为 , 1 1 , 2 0 , 3 1 , 4 0 , 5 1 , 6 0 2n 1)(1 n an = No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 (4) 将题设数列与数列将题设数列与数列9，99，9

20、99， 9999，99999， an=10n-1 总结评述总结评述 已知一个数列的前几项，写出这个数列的已知一个数列的前几项，写出这个数列的 一个通项公式时，将这个数列向我们熟悉的数一个通项公式时，将这个数列向我们熟悉的数 列划归，是一种重要的思路列划归，是一种重要的思路. 相比较，可得相比较，可得an= (10n-1) 3 2 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 常见数列的通项公式：常见数列的通项公式： （1）-1，1，-1，1，-1，1，an= (-1)n （2）1，2，3，4，5， ，an= n （3) 2 ，4，6，8，10 ，an= 2n （4）1 ，3，5，

21、7，9 ，an= 2n-1 （5）1，4，9，16，25 ，an= n2 (6) 9，99，999，9999 ，an= 10n-1 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 此题型大致分两类。一类是根据此题型大致分两类。一类是根据 前几项的特点归纳猜想出的表达式。前几项的特点归纳猜想出的表达式。 然后用数学归纳法证明：另一类是将然后用数学归纳法证明：另一类是将 已知递推关系式，用代数的一些变形已知递推关系式，用代数的一些变形 技巧整理变形。然后采用累加法、累技巧整理变形。然后采用累加法、累 乘法、迭代法、换元法、或转化基本乘法、迭代法、换元法、或转化基本 数列数列( (等差或

22、差比等差或差比) )方法求算通项方法求算通项 题型题型2 已知数列的递推关系求数已知数列的递推关系求数 列的通项列的通项 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 例例3 已知数列已知数列an满足下列条件，写出它满足下列条件，写出它 的前的前5项，并归纳出数列的一个通项公式。项，并归纳出数列的一个通项公式。 a1=0，an+1=an+(2n-1) 解解: a1=0，an+1=an+(2n-1) a2=a1+(21-1)=1 a3=a2+(22-1)=4 a4=a3+(23-1)=9 a5=a4+(24-1)=16 数列数列an为：为：0，1，4，9，16， an=(n-1)2

23、 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 例例4 已知数列已知数列an满足满足a1=2，a2=5，a4=23，且，且 an+1=Xan+Y,求实数求实数X、Y的值的值. 分析：分析： 通过地推公式求出通过地推公式求出a2，a4，解方，解方 程组，即求出未知数程组，即求出未知数X、Y. 解：解： 由已知可得由已知可得 a2=Xa1+Y 即：即：5=2X+Y a3=Xa2+Y=5X+Y a4=Xa3+Y=X(5X+Y)+Y 即：即：23=5a2+Xa+Y No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 联立联立 、得方程组得方程组 2X+Y=5 5a2+Xa+Y=2

24、3 解之得：解之得： X=2 Y=1 或或 X= -3 Y=11 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 1 1、数列的概念、数列的概念 数列是按照一定次序构成的一列数，其中数数列是按照一定次序构成的一列数，其中数 列中数的有序性是数列的灵魂列中数的有序性是数列的灵魂. 2 2、数列的通项公式、数列的通项公式 并非每一个数列都可以写出通项公式；有些并非每一个数列都可以写出通项公式；有些 数列的通项公式也并非是唯一的数列的通项公式也并非是唯一的. 课堂小结课堂小结 如果数列如果数列 an 中的第中的第n项项an与与n之间的关系可之间的关系可 以用一个公式来表示，则称此公式为数

25、列的通项以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项 公式公式. No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 3 3、数列的分类、数列的分类 按项分类：按项分类： 有穷数列：项数有限有穷数列：项数有限 无穷数列：项数无限无穷数列：项数无限 按按 的增减性分类：的增减性分类： n a 递增数列：递增数列： 递减数列：递减数列： 摆动数列：摆动数列： 常数数列：常数数列： No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 如何求数列如何求数列an的的 通项公式通项公式an的最大的最大 值？值？ 探索延拓创新一探索延拓创新一 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简

26、单表示法 思路一思路一 思路二思路二 数列是一个特殊的函数，我们可以数列是一个特殊的函数，我们可以 利用函数求最值的方法去求解数列中的利用函数求最值的方法去求解数列中的 最值问题最值问题. 利用数列的单调性求解利用数列的单调性求解. 判断数列的单调性往往只需要比较相判断数列的单调性往往只需要比较相 邻两项邻两项an和和an+1的大小。这一点源于函数的的大小。这一点源于函数的 单调性而有充分利用了数列的特殊性单调性而有充分利用了数列的特殊性. No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 思路三思路三 利用利用an最大的一个必要条件最大的一个必要条件 首先求得满足条件的首先求得满足

27、条件的n的取值范围，然的取值范围，然 后找出此范围内的正整数的值，最后比较它后找出此范围内的正整数的值，最后比较它 们对应项的大小，其中最大的一项就是们对应项的大小，其中最大的一项就是an的的 最大值最大值. anan-1 anan+1 求解求解. No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 数列的通项公式数列的通项公式 an与前与前n项和公项和公 式式sn 探索延拓创新二探索延拓创新二 No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 an = S1 ， n=1 Sn-Sn-1 ， n 2 an 与前与前n项和项和Sn之间的关系式为：之间的关系式为： 值得注意的是，

28、值得注意的是， 由前由前n项和项和sn求通项公式求通项公式an=f(n)时，要时，要 n=1与与n 2两种情况分别进行运算，然后验两种情况分别进行运算，然后验 证两种情况可否用统一式子表示。若不能，证两种情况可否用统一式子表示。若不能， 就用分段函数表示就用分段函数表示. No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 探索延拓创新三探索延拓创新三 斐波那契数列指的是这样一个斐波那契数列指的是这样一个数列数列： 1、1、2、3、5、8、13、21、 “斐波那契数列斐波那契数列”的发明者，是的发明者，是意大利意大利 数学家数学家列昂纳多列昂纳多斐波那契斐波那契（Leonardo Leonardo FibonacciFibonacci，生于公元，生于公元11701170年，卒于年，卒于12401240年，年， 籍贯大概是籍贯大概是比萨比萨）. . No Image 数列概念与简单表示法数列概念与简单表示法 有趣的是：这样一个完全是有趣的是：这样一个完全是自然数自然数 的数列，通项公式居然是用无理数来表的数列，通项公式居然是用无理数来表 达的达的. . 这个数列从第三项开始，每一项都这个数列从第三项开始，每一项都 等于前两项之和等于前两项之和. .它的它的通项公式通项