大学物理学习资料：1_6质心和动量

1、1 2 1 2 112 dt rd mF 例例3. 4 质量为质量为m1和和m2的两个小球的两个小球,用长为用长为l、质量和伸、质量和伸 缩量都可忽略不计的细杆联接，置于光滑的水平桌面缩量都可忽略不计的细杆联接，置于光滑的水平桌面 上，开始时上，开始时m2固定不动，固定不动， m1绕绕m2作匀速圆周运动，作匀速圆周运动， 其线速率为其线速率为v0 ，如果，如果 突然失去约束，求杆中张力？突然失去约束，求杆中张力？ 解：解：m2失去约束之后，失去约束之后，m1和和m2 组成的系统是孤立系统，只有组成的系统是孤立系统，只有 杆中内力相互作用，属两体问题杆中内力相互作用，属两体问题 在惯性系（在惯性

2、系（L系）系） 整杆除随质心一平动之外，还有绕质心的转动。整杆除随质心一平动之外，还有绕质心的转动。 2 2 2 221 dt rd mF 1 m 2 m C o v 1 l 2 l 1 r 2 r O 2 dt rrd mmFmmFmFm )( )( 21 2 211221211122 2 12 2 2 12 2 21 21 12 dt rd dt rd mm mm F 1 m 2 m o v 12 r 1 r 2 r O l F 2 0 12 v 当释放当释放m2时，时， m1相对于相对于m2以速度以速度 v0做圆周运动，其向心力做圆周运动，其向心力 （作用力与参照系无关）（作用力与参照系

3、无关） 实际上两体问题化为单体问题是选质心为参考点实际上两体问题化为单体问题是选质心为参考点 它有着普遍性，如地球和卫星；原子核和电子等等它有着普遍性，如地球和卫星；原子核和电子等等 3 dt d mfFm 1 111 v 外外 dt d m dt d mfFfF 2 2 1 121 vv 外外外外 ff 2 2 2 2 2 1 2 121 dt rd m dt rd mFF 外外外外 dt d mfFm 2 222 v 外外 f f 1 m 2 m 外外2 F 外外1 F * 两个质点的系统两个质点的系统 质点系质点系(组组)是指由若干个质点组成的系统。是指由若干个质点组成的系统。见录象带见

4、录象带 1.5 从质点到质点系统、质心、从质点到质点系统、质心、 质心运动定理质心运动定理 4 2 2 dt rd mF i i i i i 外外 由于内力总是成对出现由于内力总是成对出现 的，所以矢量和为零。的，所以矢量和为零。 * N个质点的系统个质点的系统 质点系质点系(组组)是指由若干个质点组成的系统是指由若干个质点组成的系统 下面说明质点系运动可以看成两部分：下面说明质点系运动可以看成两部分： 质心的平动；质心的平动； 质点系的各个质点相对质心的运动。质点系的各个质点相对质心的运动。 5 一、质心一、质心质点系的质量中心质点系的质量中心 考虑由质量分别为考虑由质量分别为 m1、m2、

5、 mn 的的 N 个质点个质点 组成的质点系，每个质点相对于任一点组成的质点系，每个质点相对于任一点O的位置的位置 矢量分别为矢量分别为 ；其质心相对于；其质心相对于O点的点的 定义为：定义为： n rrr . 21、 M rm r i ii C i i mM为质点系的总质量。为质点系的总质量。 C r 2 m 1 m 1 r O C r1 C r 2 2 r c 质心的位矢随坐标系的选取而变化，质心的位矢随坐标系的选取而变化， 但对一个质点系，但对一个质点系，质心的位置是固定的、唯一的。质心的位置是固定的、唯一的。 6 直角坐标系中的分量式为：直角坐标系中的分量式为： M xm x i ii

6、 c M xdm x c M ym y i ii c M zm z i ii c M ydm y c M zdm c z 如果物体具有一个对称中心，如果物体具有一个对称中心， 则质心与对称中心重合；则质心与对称中心重合； 若有一个对称轴，则质心若有一个对称轴，则质心 必在该轴上必在该轴上。 质量连续分布时：质量连续分布时： 质量离散分布时：质量离散分布时： 7 例例3.7 一段均匀铁丝弯成半径为一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求的半圆形，求 此半圆形铁丝的质心。此半圆形铁丝的质心。 解：选如图坐标系，取长为解：选如图坐标系，取长为dl 的铁丝，质量为的铁丝，质量为dm，以，以表示表示 质量线

7、密度，质量线密度，dm= dl。分析得分析得 质心应在质心应在y轴上。轴上。 m dly m ydm y c 注意：质心不在铁丝上。注意：质心不在铁丝上。 2 0 21 R m RdR m y c sin RyRm c 2 o x y R c RddlRy ; sin d dl 因为在因为在x方向方向 质量对称分布质量对称分布 所以所以 xC=0 8 二、质心运动定理二、质心运动定理 PmM i iic vv 质点系的总动量等于它的质点系的总动量等于它的 总质量与它的质心的运动总质量与它的质心的运动 速度的乘积。速度的乘积。 i ii i i i c c m Mdt rd m Mdt rd v

8、 11 v M rm r i ii c c c aM dt d M dt Pd F v c aMF 质心运动定理：质心运动定理：系统的总质量和质心加速度系统的总质量和质心加速度 的乘积等于质点系所受外力的矢量和。的乘积等于质点系所受外力的矢量和。 质心的运动，就好象一个质量等于系统的总质量质心的运动，就好象一个质量等于系统的总质量 的质点，在施于这系统的外力作用下的运动的质点，在施于这系统的外力作用下的运动 2 2 dt rd mF i i i i i 外外 9 例例3.6 设有一弹丸，从地面斜抛上去，在飞行到最高点处设有一弹丸，从地面斜抛上去，在飞行到最高点处 爆炸成质量相等的两个碎片，其中

9、一个碎片竖直自由下爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个碎片竖直自由下 落，另一个碎片水平抛出，它们同时落地。试讨论第二落，另一个碎片水平抛出，它们同时落地。试讨论第二 个碎片的落地点？个碎片的落地点？ 2 21 2211 2 1 x mm xmxm xc x 0 1 x 解：考虑弹丸系统，仅受解：考虑弹丸系统，仅受 重力，在水平方向不受力，重力，在水平方向不受力， 所以质心轨迹是抛物线。所以质心轨迹是抛物线。 C x O 选第一个碎片落地点为原选第一个碎片落地点为原 点（方便），如图坐标点（方便），如图坐标 c xOO c xxOO3 2 21 mm o 1 m 2 x 2 m 1 0 大小：大

10、小：mv 方向：速度的方向方向：速度的方向 单位：单位：kgm/s 量纲：量纲：MLT 1 一、一、动量动量 （描述质点运动状态，矢量）（描述质点运动状态，矢量）v mP 大小：大小：| 2 1 t t dtF 方向：速度变化的方向方向：速度变化的方向 单位：单位：Ns 量纲：量纲：MLT 1 二、二、冲量冲量（力的作用对时间的积累，矢量）（力的作用对时间的积累，矢量） 三、三、动量定理动量定理 将力的作用过程与效果动量变化将力的作用过程与效果动量变化 联系在一起联系在一起 2 动量动量 动量定理动量定理及动量守恒及动量守恒 2.1 动量动量 动量定理动量定理 2 1 t t dtFI 1 1

11、 2 1 12 t t dtFIPP F为恒力时，可以得出为恒力时，可以得出IF t F作用时间很短时如作用时间很短时如 (碰撞碰撞)，可用力的平均值来代替。，可用力的平均值来代替。 PdtFI 质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增 量。这个结论称为动量定理。量。这个结论称为动量定理。 2 1 2 1 t t P P dtFPd dtFPd dt Pd F 2 1 t t dtFI tFPI 在坐标下可有分量表达式在坐标下可有分量表达式 * 注意：注意：动量为状态量，冲量为过程量。动量为状态量，冲量为过程量。 1 2 例例3.8质量为质量为2.5g的

12、乒乓球以的乒乓球以10m/s 的速率飞来，被板推挡后，又以的速率飞来，被板推挡后，又以 20m/s的速率飞出。设两速度在垂直的速率飞出。设两速度在垂直 于板面的同一平面内，且它们与板于板面的同一平面内，且它们与板 面法线的夹角分别为面法线的夹角分别为45o和和30o， 求：（求：（1）乒乓球得到的冲量；乒乓球得到的冲量； （2）若撞击时间为若撞击时间为0.01s，求板，求板 施于球的平均冲力的大小和方向。施于球的平均冲力的大小和方向。 45o 30o n 1 v 2 v 解：解：取挡板和球为研究对象，由于取挡板和球为研究对象，由于 作用时间很短，忽略重力影响。设作用时间很短，忽略重力影响。设

13、挡板对球的冲力为挡板对球的冲力为 F vv 12 mmdtFI 则有：则有： y x 1 3 取坐标系，将上式投影，得取坐标系，将上式投影，得乒乓球得到的冲量乒乓球得到的冲量 tFmmdtFI xxx )45cosv(30cosv 12 tFmmdtFI yyy 45sinv30sinv 12 m/s20v , m/s10v 0.01s, 21 t N7 . 0 N1 . 6 yx FF 2.5g m N14. 6 22 yxFFF 6.54 1148. 0tan I I x y NsIII yx 222 10146 . NsINsI yx 007. 0 061. 0 ； 撞击时间为撞击时间为

14、0.01s，板施于球的平均冲力大小和方向：，板施于球的平均冲力大小和方向： 为为I与与x方向的夹角方向的夹角 这表明冲力来自于板面给予小球这表明冲力来自于板面给予小球 的正压力和摩擦力之和。的正压力和摩擦力之和。 1 4 此题也可用矢量法解，此题也可用矢量法解， 作矢量图用余弦定理作矢量图用余弦定理 和正弦定理，可得：和正弦定理，可得： 1052 21 22 2 22 1 2 cosmmm|dtF|I|vvvv 14.6| 1014.6 2 N t I FNsI 105sinsin v 2 tFm 86.51 7866.0s in 86. 64586.51 y x tF 1 v m 2 v m

15、 75 为为I与与x方向的夹角方向的夹角 1 5 例例3.9 一质量均匀分布的柔软细绳一质量均匀分布的柔软细绳 铅直地悬挂着，绳的下端刚好触铅直地悬挂着，绳的下端刚好触 到水平桌面上，如果把绳的上端到水平桌面上，如果把绳的上端 放开，绳将落在桌面上。试证明：放开，绳将落在桌面上。试证明： 在绳下落的过程中，任意时刻作在绳下落的过程中，任意时刻作 用于桌面的压力，等于已落到桌用于桌面的压力，等于已落到桌 面上的绳重量的三倍。面上的绳重量的三倍。 o X 证明：证明：取如图坐标，设取如图坐标，设 t 时刻时刻 已有已有x长的柔绳落至桌面，随长的柔绳落至桌面，随 后的后的dt时间内将有质量为时间内将

16、有质量为 dx （Mdx/L)的柔绳以的柔绳以 dx/dt 的速的速 率碰到桌面而停止，它的动量率碰到桌面而停止，它的动量 变化率为：变化率为： dt dt dx dx dt dP x 1 6 一维运动可用标量一维运动可用标量 o x dt dt dx dx dt dP 根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为： 2 v dt dP F 柔绳对桌面的冲力柔绳对桌面的冲力FF 即：即： L/MgxFgx L M F22 222 v vv而而 而已落到桌面上的柔绳的重量为而已落到桌面上的柔绳的重量为mg = Mgx/L 所以所以F总 总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L

17、=3mg 负号表示动量减少负号表示动量减少 1 7 dt Pd F 外外 PddtF外外 PPddtF P P t t 2 1 2 1 外外 积分形式积分形式 微分形式微分形式 以以 和和 表示系统的合外力和总动量，则：表示系统的合外力和总动量，则： 外 F P 1 m 2 m 2 F 1 F 3 m 3 F 2.2 动量守恒定律动量守恒定律 一、质点系的动量定理一、质点系的动量定理 质点系（内力、外力）质点系（内力、外力） 1 8 二、质点系的动量守恒定律二、质点系的动量守恒定律 常常矢矢量量 i ii i i mpv 一个质点系所受的合外力为零时，一个质点系所受的合外力为零时， 这一质点系

18、的总动量就保持不变。这一质点系的总动量就保持不变。 0 0常矢量，时，当 外 P dt Pd F 说明说明 *系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 * 动量守恒可在某一方向上成立。动量守恒可在某一方向上成立。 * 动量守恒定律在微观高速范围仍适用动量守恒定律在微观高速范围仍适用。 1 9 1 x 2 x M R x m M 例例3.11 一个有一个有1/4圆弧滑槽的大物体质量为圆弧滑槽的大物体质量为M，停在，停在 光滑的水平面上，另一质量为光滑的水平面上，另一质量为m的小物体自圆弧的小物体自圆弧 顶点由静止下滑。顶点由静止下滑。 求：当小物体滑到底时

19、，大物体求：当小物体滑到底时，大物体 M在水平面上移动的距离？在水平面上移动的距离？ 解：选如图坐标系，在解：选如图坐标系，在m下滑下滑 过程中，过程中，M和和m组成的系统在组成的系统在 水平方向上合外力为零，因此水平方向上合外力为零，因此 水平方向上动量守恒。水平方向上动量守恒。 又因：初态合动量为零又因：初态合动量为零 0 )()(vtVMtm MVm x v tt x VdtMdtm 00 v 21 Mxmx Rxx 21 R Mm m x 2 2 0 vv d v MdMM u dm tdtt x 例例3.10 火箭飞行原理火箭飞行原理 设火箭在设火箭在自由空间自由空间飞行，即飞行，即

20、 不受引力、空气阻力等任何不受引力、空气阻力等任何 外力的影响。外力的影响。 在在t 时刻总动量时刻总动量v M沿沿x方向方向 )vv)()v(ddmMudm 在在t +dt时刻总动量时刻总动量: dMdm v)vv)()v(MddMMudM 由动量守恒定律：由动量守恒定律： 略去二阶无穷小量略去二阶无穷小量vddM 0 vMdudM M dM ud v 设火箭点火时的质量为设火箭点火时的质量为Mi，初速为，初速为vi，燃料烧完后，燃料烧完后 质量为质量为Mf，速度为，速度为vf，对上式积分得：，对上式积分得： f i if M M u lnvv 2 1 火箭在燃料烧完后火箭在燃料烧完后所增加的速度所增加的速度与与喷气速度喷气速度成正比，成正比， 也与也与火箭的始末质量比的自然对数火箭的始末质量比的自然对数成正比。成正比。 *如果以喷出气体如果以喷出气体dm为所考虑系统，它在为所考虑系统，它在dt时间内时间内 的动量变化率为：的动量变化率为： dt udm dt udm )v)v( 根据牛顿第二定律它等于喷出气体受火箭根据牛顿第二定律它等于喷出气体受火箭 的推力；所以喷出气体对火箭的反作用力：的推力；所以喷出气体对火箭的反作用力： NF 77 1006410381942 . 如如火箭发动机的燃烧速率火箭发动机的燃烧速率1.38 104