《医用物理学》习题解：第八章 振动和波

1、第八章 振动和波通过复习后，应该:1.掌握简谐振动方程、波的产生和传播、波动方程、波的能量和强度、波的干涉;2.理解简谐振动的能量、简谐振动的合成、惠更斯原理、波的衰减;3.了解衰减振动、受迫振动、共振、复杂振动的分解、驻波。8-1 试解释下列名词:简谐振动、振幅、频谱分析、基频、频谱图、波动、横波、纵波、波阵面、波的强度。答: 简谐振动:质点在弹性力（或准弹性力）作用下所作的振动叫简谐振动，其加速度与离开平衡位置的位移成正比，且方向相反。振幅:振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。频谱分析:将任一周期性振动分解为多个简谐振动之和的过程，称为频谱分析。基频:一个复杂的振动可以分解为若干个频率

2、不同的简谐振动之和，这些分振动频率中最低的频率称为基频，它与原振动的频率相同。频谱图:将组成一个复杂振动的各分振动的频率和振幅找出来，按振幅与频率关系列出谱线，这种图称为频谱图。波动:振动在介质中的传播现象叫波动，它也是一种重要的能量传播过程。其中简谐振动在介质中传播所形成的波叫简谐波。横波:波在介质中传播时，如果介质中各质点振动的方向与波的传播方向垂直，则该波叫做横波。纵波:如果介质中各质点振动的方向与波的传播方向相互平行，则这种波称为纵波。波阵面:在波传播的介质中，质点振动相位相同的各点连成的面称为波阵面。波的强度:单位时间内通过垂直于波的传播方向单位面积上的平均能量，称为波的强度。8-2

3、 有一质点作简谐振动，试分析它在下列位置时的位移、速度、加速度的大小和方向:平衡位置，向正方向运动;平衡位置，向负方向运动;正方向的端点;负方向的端点。解: 设该质点的振动方程为:将它对时间t分别求一阶导数、二阶导数，可得到速度v和加速度a的表达式: 由此可以看出，速度的相位超前位移，加速度与位移的相位相反。下面根据上面三式来回答本题中的四个问题。质点在平衡位置，向正方向运动时:x=0， v=A， a=0质点在平衡位置，向负方向运动时:x=0， v=-A， a=0质点在正方向的端点时:x=A， v=0， a=-A2质点在负方向的端点时:x=-A， v=0， a=A28-3 一个作简谐振动的质点

4、，在t=0时，离开平衡位置6cm处，速度为零，振动周期为2s，求该简谐振动的位移、速度、加速度的表达式。解:根据题意，t=0时，质点速度为零，离开平衡位置6cm，这说明该振动的振幅为A=6cm，这时质点可能位于平衡点右侧6cm处，或位于平衡点左侧6cm处。下面分这两种情况进行讨论，设该振动方程为: （a）第一种情况:位于平衡点右侧6cm处，这时位移x=6cm，将t=0，A=6cm，x=6cm代入（a）式得6解之得，j =0。已知T=2秒，则，将A、j值代入（a）式可得第一种情况的位移表达式为（cm） （b） 再将（b）式对时间求一阶导数、二阶导数，可分别得第一种情况的速度、加速度表达式 （cm

5、s -1 ）（cms -2 ）第二种情况:位于平衡点左侧6cm处，这时位移x=-6cm，将t=0，A=6cm，x=-6cm代入（a）式得-6=6cos解之得，j =。已知j=，=，A=6cm，代入（a）式可得第二种情况的位移表达式 （c）再将（c）式对时间求一阶导数、二阶导数，可分别得第二种情况的速度、加速度表达式 （cms -1 ）（cms -2 ）8-4 两个物体作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同，分别是0.1m和2s，当t=0时，一物体的位移为0.1m，另一物体的位移为-0.1m，问两者的相位差是多少?当t=1s时，它们的位移各是多少?解: 已知A=0.1m，T=2s，则=2T=rad

6、s -1 ，设它们的振动方程分别为 （a） （b）已知t=0时，x 1 =0.1m，x 2 =-0.1m，则由（a）式和（b）式可得x 1 =0.1cos 1 =0.1x 2 =0.1cos 2 =-0.1分别解上面两式得 1 =0， 2 =，因此两者的相位差 2 - 1 =。两振动的方程分别为x 1 =0.1cos（t） （c）x 2 =0.1cos（t+） （d）当t=1s，由上面的（c）式和（d）式可得到它们的位移分别为x 1 =0.1cos（+0）m=-0.1m x 2 =0.1cos（+）m=0.1m8-5 两个同频率、同方向的简谐振动，周期为20ms，振幅分别为1.0cm和3.0c

7、m，求:两者合振动的圆频率;当两者的相位差分别为0、3、2、时，合振动的振幅各是多少?解: 由于是两个同频率、同方向的振动合成，所以合振动的频率不变，即其圆频率为rads -1=100rads -1 314rads -1已知分振动的振幅A 1 =1.0cm，A 2 =3.0cm，合振动的振幅A与两个分振动的振幅A 1 、A 2 及相位差 1 - 2 有以下关系:当相位差 2 - 1 =0时，两个分振动同相位，合振动的振幅为A=A 1 +A 2 =（1.0+3.0）cm=4.0cm当相位差时，合振动的振幅为 cm=cm3.6cm当相位差 2 - 1 =时，合振动的振幅为 cm=cm3.2cm当相

8、位差 2 - 1 =时，两个分振动相位相反，合振动的振幅为A=|A 1 -A 2 |=|1.0-3.0|cm=2.0cm8-6 有三个同方向的简谐振动，它们的频率分别为100Hz、200Hz、300Hz，问:三者合成后是否仍为简谐振动?合振动的周期是多少? 解: 由于分振动的频率不同，所以它们合成后将不是简谐振动。合振动的频率为100Hz，周期T=s=0.01s。8-7 弹簧振子作简谐振动时，若其振幅增为原来的两倍，而频率降为原来的一半，它们的能量怎样改变?答: 弹簧振子作简谐振动时，其能量为，若其振幅A增为原来的两倍，而频率降为原来的一半，结果能量没有改变。8-8 什么叫阻尼振动、受迫振动、

9、共振?在受迫振动中振子受到哪三个力的作用?受迫振动达到稳定时有什么特点?答: 在振动中，由于各种因素的影响，能量会减少，振幅也随之减小，这种振幅随时间而减小的振动，称为阻尼振动。振动系统在周期性外力的持续作用下发生的振动，叫做受迫振动。在受迫振动中，振子同时受到三个力的作用:弹性力、阻尼力、周期性外力。受迫振动达到稳定状态时，振幅保持一定，如果外力是按简谐运动规律变化，则稳定后的受迫振动也是简谐振动，且振动频率等于外力变化的频率。在受迫振动中，当周期性外力的频率接近系统的固有频率时，振动的振幅急剧增大，这种现象叫做共振。8-9 要产生机械波必须具备哪两个条件?当波动在通过不同介质时，它的波长、

10、频率、速度中哪些会发生变化?哪些不会改变?答: 要产生机械波必须具备两个条件:第一，要有作机械振动的物体，即波源;第二，要有能够传播这种机械振动的弹性介质。当波动通过不同的介质时，波长和波速会发生变化，而频率不会改变。8-10 已知波动方程式y=Msin（bt-ax），试求该波的振幅、波速、频率和波长。 解: 先将题目给的波动方程进行变换: （a）而波动方程的通用形式为 （b）将（a）式和（b）式比较可得振幅: A=M 波速:频率: 波长: 。8-11 有一沿X轴正方向传播的简谐波，在原点处质点的振动方程为，已知A=0.02m，T=3s，波速u=2ms -1 。求:波动方程;在X轴正方向离原点

11、5m处质点的振动方程;当t=2.5s时，原点处质点的位移;当t=2.5s时，在X轴正方向离原点5m处质点的位移。解: 已知A=0.02m，T=3s，则=2T=23，根据题意，可得原点的振动方程为已知波速c=2ms -1 ，由上式可进一步得到波动方程为 （1）已知x=5m，可得在X轴正方向离原点5m处质点的振动方程为 已知在（1）式中，t=2.5s，x=0，则有m =0.01m已知在（1）式中，t=2.5s，x=5m，有m =0.02m8-12 在空气中P点声波的强度为2.010 5 Wm -2 ，振动幅度为2mm，空气的密度为1.29kgm -3 ，波速为344ms -1 。求:声波的波长;P

12、点的平均能量密度。 解: 求波长:已知I=2.010 5 Wm -2 ，A=2mm=210 -3 m，=1.29kgm -3 ，由声波强度公式，可得角频率 rads -1=1.510 4 rads-1由=2f，可得f=/2=1.510 4 /6.28=2.3910 3 Hz。由u=f，可得声波的波长为 m0.144m求P点平均能量密度:比较平均能量密度公式 和波的强度公式 ，可得P点的平均能量密度为Jm -3 581Jm -38-13 一物体作周期为0.005s的谐振动，振幅为0.2cm，该振动在空气中形成以332ms -1 速度传播的平面波（设波在传播中无衰减），空气的密度为1.29kgm

13、-3 。求该平面波的波动方程;该波的强度。解:波动方程:已知=400rads -1 ，A=0.2cm=210 -3 m， c=332ms -1 ，则该平面波的波动方程为波的强度:又知r=1.29kgm -3 ，将、A、u、r值代入波的强度公式得=121.29332（400）2 （210 -3 ）2 Wm -2 1351Wm -2 8-14 已知波源O的振动方程为（单位为m），以2ms-1 的无衰减地向x轴正方向传播。求:x=10m处的振动方程;10m处质点与波源O的振动相位差。解: 已知波源O的振动方程为，则其振幅为A=0.06m，角频率，又知u=2ms -1 ，则该波的波动方程为由它可得x=

14、10m处的质点振动方程为）由上式和波源的振动方程可得波源O与x=10m处质点的相位差为8-15 设某列波的波动方程为cm，求在波线上x等于一个波长处的质点位移方程。解: 由本题的波动方程可知=10，f=5Hz，u=100cms -1 ，由u=f可得波长为 cm=20cm在x=20cm处的质点位移方程为=10sin10t（cm）8-16 什么叫波的干涉、相干波?初相位相同的两列相干波发生干涉时，合振动的振幅什么时候最大?什么时候最小?答: 当频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的两列波在空间相遇时，使得某些点的振动始终加强，而另一些点的振动始终减弱或完全抵消，这种现象叫做波的干涉。能产生

15、干涉现象的两列波叫做相干波。初相位相同的两列相干波发生干涉时，如果两波的波程差等于半波长的偶数倍（或波长的整数倍），则合振动的振幅最大;如果波程差等于半波长的奇数倍，则合振动的振幅最小。8-17 O 1 和O 2 是两个同方向、同频率、同相位、同振幅的波源所在处，设它们在介质中产生的波列的波长为，O1 、O2 之间的距离为1.5，P是O1 、O2 连线上O2 点外侧的任意点。求:O1 、O2 两点发出的波到达P点时的相位差;P点的振幅。解: 1.5xPO1XO2习题8-17附图已知，A 1 =A 2 =A，1 =2 =，j1 =j2 =j，设P点到O2 的距离为x，那么O1 到P点的距离为x+1.5，则两列波的波动方程分别为 由上面两式可得两列波的相位差j为 =3P点的振幅;由于两波满足相干波的条件，而在P点的相位差j=3，且两者的振幅相同，所以在P点合振动的振幅等于零。8-18 同一种介质中有两个相干波源，在它们联线的垂直平分线上各点，两波叠加后的