2010级线性代数复习

1、2010级线性代数复习 2010级线性代数复习 一、选择 a11a12a22a32a134a118a11?3a12a13a23? ( D ). a331. 若a21a31a23?1，则4a218a21?3a22a334a318a31?3a32 A. 12； B. ?6； C. 24； D. ?12 2. 设A、B为n阶矩阵，下列运算正确的是( D ). A. ?AB?T?ATBT； B. A2?B2?A?B?A?B?； C. ?AB?k?AkBk ； D. 若A，B可逆，则?AB?1?B?1A?1. 3 设a62ak5a33al4a46a21是6阶行列式的一项，则( A )。 A. k?5,l

2、?1,取正号； B. k?5,l?1,取负号； C. k?4,l?5,取负号； D. k?4,l?5,取正号. 4. 设A为m?n矩阵且秩(A)?r的充要条件是（ C ） A A中r阶子式全不为0，阶数大于r的子式都为0； B A中所有阶数小于r的子式都为0，至少有一个r阶子式不为0； C A中至少有一个r阶子式不为0，所有r?1阶数子式都为0； D A中r阶子式不全为0，阶数小于r的子式都为0。 ?2x1?x2?x3?0?5如果?x1?kx2?x3?0有非零解，则k必须满足（ D ） ?kx?x?x?0?123A. k?4； B. k?1； C. k?4且k?1； D. k?4或k?1 6.

3、 若行列式a11a21a124a?1，则行列式11a224a21a11?2a12?（ B ） a21?2a22 A 8 B. -8 C. 4 D. -4 7设AX?b有个未知量，个方程，且r(A)?r(A)?r其中A为增广矩阵，则此方程组 ( B )。 r?m时有唯一解 r?n时有唯一解 m?n时有解 Dr?m时有无穷多解 8. 设A、B为n阶矩阵，下列命题正确的是( C ). A. 若AB?AC且A?0，则B?C； B. A2?B2?A?B?A?B?； C. 若AB?AC且A?0，则B?C； D. 若A，B可逆，则?AB?1?A?1B?1. 9. ?1,?2是AX?b 的两个不同的解，?1,

4、?2是齐次方程组AX?0的基础解系，k1,k2是任意常数，则AX?b的通解是（ B ）。 (A) k1?1?k2(?1?2)?1?12 (B) k1?1?k2(?1?2)?1?22 (C) k1?1?k2(?1?2)?1?12 (D) k1?1?k2(?1?2)?1?12 10设A为m?n矩阵且秩(A)?r的充要条件是（ D ） A A中r阶子式全不为0，阶数大于r的子式都为0； B A中所有阶数小于r的子式都为0，至少有一个r?1阶子式不为0； C A中至多有一个r阶子式不为0；A中所有阶数小于r的子式都为0； D A中r阶子式不全为0，阶数大于r的子式都为0。 a11a12a22a32a1

5、3a1110a13?3a122a132a23? ( B ). 2a3311. 若a21a31a23?1，则a2110a23?3a22a33a3110a33?3a32 A. 6； B. ?6； C. 12； D. ?12 12 下列选项不属于5阶行列式aij(i,j?1,2,3,4,5)中的一项的是（ A ）。 A. a11a23；a3aa245 B. ?a51a12a43a34a25； C. ?a13a52a34a21a45； D. a55a44a33a22a11. 13. 设A为m?n矩阵且秩(A)?r?m?n，则（ D ） A A中r阶子式全不为0； B A中所有阶数小于r的子式都为0；

6、C A中至少有一个r?1阶子式不为0； D A中r阶子式不全为0。 14 . 设A、B为n阶矩阵，下列命题正确的是( C ). A. 若AB?0且A?0，则B?0； B. A2?2AB?B2?A?B?； C. 若(AB)2?I，则AB?B?1A?1； D.?AB?T?ATBT a1115若行列式a21a12?ax?ax?b?0?1，则方程组?1111221的解是( A ) a22ax?ax?b?0?21122222 A. x1?b1b2b1b2a12a22,x2?a11b1a21b2a11 B. x1?b1b2b1b2a12a22a12a22,x2?a11b1a21b2a11 C. x1? a

7、12a22,x2?b1a21b2 D. x1?,x2?b1a21b2 二、填空题 1. 设?1?(1,0,?1),?2?(?2,2,0),?3?(3,?5,2)，则?1,?2,?3线性 相关 。 2设?1,?2,?,?t及?1?1?2?2?t?t都是AX?b(b?0)的解向量，则 ?1?2?t? 1 。 ?x1?23x2?33x3?43x4?7?222?x1?2x2?3x3?4x4?53.线性方程组 ?的系数行列式D等于 12 ， ?x1?2x2?3x3?4x4?3?x?x?x?x?1?1234此方程组有 唯一 的解。 ?1000?0100?。 4四阶矩阵A的第三行乘以2，写出相应的四阶初等矩

8、阵?0020?1000?5?1?2?4?5. 设方阵A?2x?2?与B?0?0?4?21?6. 00?y0?相似，则x= 4 , y= 5 。 0?4?1?(1,0,?1),?2?(?1,2,0),?3?(1,?1,2),?4?(0,1,2)则?1,?2,?3,?4线性 相关 . 7四阶行列式中含有因子a11a23的项有a11a23a32a43,a11a23a34a42。 ?x1?x2?x3?x4?1?x?2x?3x?4x?3?12348. 线性方程组 ?的系数行列式D等于 12 ， x?4x?9x?16x?5234?1?x1?8x2?27x3?64x4?7此方程组有 唯一 的解。 9四阶矩阵

9、A的第三行乘以2加到第一行，写出相应的四阶初等矩阵 0?102?0100?。 ?0010?1000?500?10. 方阵A与B?010?相似,则A的特征值为 5，1，-4 。 ?00?4?11. 设?1?(1,1,3,1),?2?(3,?1,2,4),?3?(2,2,7,?1)，则?1,?2,?3线性 无关 。 12设?1,?2,?3是齐次线性方程组AX?0的一个基础解系，?1,?1?2,?1?2?3是AX?0的 基础解系 。 ?3x1?kx2?x3?0?13. 如果?4x2?x3?0有非零解，则k?2?7 ?kx?5x?x?023?1?001?14交换四阶矩阵A的第三行和第一行，写出相应的四

10、阶初等矩阵?010?. ?100?100?15. 方阵A与B?020?相似,则A的特征多项式为 (?1)(?2)(?3)。 ?003? 三、计算 a00a00?0010a0?0000a?000a?00Dn?a?(?1)n?10a0?00?000?a000?0a00?a01.100?0aa00?0?a?an?1?(?1)n?1?1?(?1)n?1?10a0?0?an?(?1)2n?1an?2?an?an?2?00?0a00?01a0?00 ?x1?x2?x3?x4?1?x?x2?x3?x4?0 2. 用基础解系表示线性方程组?1的全部解. ?1x?x?2x?2x?1234?2?解：作方程的增广矩

11、阵（A|b），并对它施以行的初等变换： ?1?11?11?1?11?11?1?11?11?(A|b)?1?1?110?00?22?1?001?11/2?1?3?3?1?122?0013?0013? ?2?2?2?1?11?11?1?1001/2?1?1001/2?001?11/2?001?11/2?001 00?0004?2?0001?1/2?0001?1/2?即原方程组与方程组 ?1/2?x1?x2?x3 ?0 ?x4?1/2?同解，其中x2为自由未知量。 ?1/2?0? 让自由未知量x2=0，得到方程的一个解?0?1/2?原方程组的导出组与方程组 ?x1?x2?x3?0同解，其中x2为自由

12、未知量。 ?x4?1/2?1?1? 让自由未知量x2=1，得到导出组的基础解系?1?0?1/2?所给方程的全部解为：x?c1?1 3.用求逆矩阵的方法，解矩阵方程XA?3B?X，其中 ?11?1?12?A?220?,B?13?。 ?1?12?21?解：由XA?3B?X得 X?3B(A?I)?1 T百度搜索“就爱阅读”,专业资料、生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆! 01?1?12?36?336?1(A?I)?21?2? 3B?3?13?39? 693?31?2?21?63?TT01?1336?219?15?X?21?2? 693?2112?18?31?2?1?20?4.设A?22?2?，

13、求正交矩阵Q，使Q?1并写出对角矩阵. AQ为对角矩阵，?0?23?解：A的特征方程为 ?120?I?A?2?22?(?1)(?5)(?2)?0 02?3?1?1,?2?2,?3?5当?1?1时解齐次线性方程组(?I?A)x?0，得到其基础解系：?1?(2,2,1)T 当?1?2时解齐次线性方程组(2I?A)x?0，得到其基础解系：?1?(2,?1,?2)T 当5时解齐次线性方程组(5I?A)x?0，得到其基础解系：?1?(1,?2,2)T 不难验证?1,?2,?3是正交向量组，把?1,?2,?3单位化得到： ?1?(2/3,2/3,1/3)T,?2?(2/3,?1/3,?2/3)T,?3?(

14、1/3,?2/3,2/3)T，则： ?2/3?Q?(?1,?2,?3)?2/3?1/3?1?Q?1AQ?QTAQ?0?0?2/31/3?1/3?2/3?2/32/3? 00?20?05?5.求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。 ?1?(1,1,3,1)T,?2?(?1,1,?1,3)T,?3?(5,?2,8,?9)T,?4?(?1,3,1,7)T TTTT解：对矩阵A?(?1,?2,?3,?4)实施行的初等变换 ?1?15?11?2?3?18?13?9?1?1?15?1?3?02?74?02?741?7?04?148?1?0?0?0?3271?200000?1

15、?2? ?0?0?则r(A)=2,极大无关组为：?1,?2 ?3?1?2,?4?1?2?2 ?x1?x2?x3?a?讨论当a为何值时，下列方程组有解，并求解?ax1?x2?x3?1 ?x?x?ax?123?1?x1?1?解：当a?1时方程有唯一的解， ?x2?a?2 ?x?1?33722四、讨论题 ?x1?1?c1?c2?当a?1时方程有无穷多个解，?x2?c1 ?x?c2?3五、证明题 1设n阶方阵A满足A2?2A?4I?O（I为n阶单位矩阵），证明：A?I可逆，并求它的逆矩阵 证明：由A2?2A?4I?O得：A2?2A?3I?I?(A?3I)(A?I)?I 由定义可得：A?I可逆，其逆矩阵为：(A?I)?1?(A?3I) 2设?1,?2,?3线性无关，?1?,?2?,?3?线性相关，证明?可由?1,?2,?3线性表示。 证明：由于?1?,?2?,?3?线性相关，则存在不全为0的三