高中数学选修4-4精讲精练.doc

1、高中数学选修4-4 坐标系与参数方程 2 U第一讲 直角坐标系U . 3 U第二讲 极坐标系U . 4 U第三讲 极坐标与直角坐标的互化U . 6 U第四讲 曲线的极坐标方程的意义U . 7 U第五讲 常用曲线的极坐标方程1U . 8 U第六讲 常用曲线的极坐标方程2U . 9 U第七讲 常用曲线的极坐标方程3U . 10 U第八讲 球坐标系与柱坐标系U . 11 U第九讲 曲线参数方程的概念U . 13 U第十讲 圆的参数方程U . 15 U圆参数方程的应用U . 16 U第十一讲 圆锥曲线的参数方程U . 18 U第十讲 圆锥曲线参数方程的应用U . 20 U第十一讲 参数方程综合U .

2、21 U第十二讲 参数方程与普通方程互化U . 21 U第十三讲 圆的渐开线与摆线U . 24 高中数学选修4-4 坐标系与参数方程 3 第一讲 直角坐标系 学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置需要设定一个参照系 1、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上当取定两条互相垂直的直线的交点为原点并确定了度量单位和这两条直线的方向就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对x,y确定 3、空间直角坐标系 在空间中选择两两垂直且交于一点的三条直线当取定这三条直线的交点为原点并确定了度量单位和这三条直线方向就建立了空间直角坐标系。它使空间上

3、任一点P都可以由惟一的实数对x,y,z确定 一、讲解新课 1、建立坐标系是为了确定点的位置因此在所建的坐标系中应满足 任意一点都有确定的坐标与其对应反之依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 二、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系表示边长为1的正六边形的顶点。 *变式训练 如何通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置 例2 已知B村位于A村的正西方1公里处,原计划经过B村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将

4、遗址W周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m的计划需要修改吗? *变式训练 1一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两地相距800米并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程 2在面积为1的PMN中2tan,21tanMNPPMN建立适当的坐标系求以MN为焦点并过点P的椭圆方程 例3 已知Qa,b,分别按下列条件求出P 的坐标 1P是点Q 关于点Mm,n的对称点 2P是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点Q不在直线1上 *变式训练 用两种以上的方法证明三角形的三条高线交于一点。 思考 通过平面变换可以把曲线14)1(9)1(22yx变为中心在原点的单位圆请

5、求出该复合变换 高中数学选修4-4 坐标系与参数方程 4 第二讲 极坐标系 讲解新课 从情镜2中探索出在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想就是极坐标的基本思想。 1、极坐标系的建立 在平面上取一个定点O自点O引一条射线OX同时确定一个单位长度和计算角度的正方向通常取逆时针方向为正方向这样就建立了一个极坐标系。 其中O称为极点射线OX称为极轴。 2、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M用 表示线段OM的长度用 表示从OX到OM 的角度 叫做点M的极径 叫做点M的极角有序数对就叫做M的极坐标。 特别强调由极径的意义可知0;当极角的取

6、值范围是0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径=0,极角是任意角. 3、负极径的规定 在极坐标系中极径允许取负值极角也可以去任意的正角或负角 当0时点M 位于极角终边的反向延长线上且OM=。 M 也可以表示为)12(,()2,( kk或 )(zk 4、数学应用 例1 写出下图中各点的极坐标见教材14页 A40B2 C D E F G 平面上一点的极坐标是否唯一 若不唯一那有多少种表示方法 坐标不唯一是由谁引起的 不同的极坐标是否可以写出统一表达式 约定极点的极坐标是=0可以取任意角。 变式训练 在极坐标系里描出下列各点 A30 B62C32

7、D534E365F4G635 点的极坐标的表达式的研究 高中数学选修4-4 坐标系与参数方程 5 例2 在极坐标系中 1 已知两点P545Q)4,1(求线段PQ的长度 2 已知M的极坐标为且=3R说明满足上述条件的M 的位置。 注意 1如何建立极坐标系。 2极坐标系的基本要素是极点、极轴、极角和度单位 3极坐标中的点与坐标的对应关系 变式训练 1、若ABC的的三个顶点为.),67,3(),65,8(),25,5(判断三角形的形状CBA 2、若A、B两点的极坐标为),(),(2211求AB的长以及AOB的面积。O为极点 例3 已知Q分别按下列条件求出点P 的极坐标。 1 P是点Q关于极点O的对称

8、点 2 P是点Q关于直线2 的对称点 3 P是点Q关于极轴的对称点。 变式训练 1.在极坐标系中,与点)6,8(关于极点对称的点的一个坐标是 ( ) )6,8(),65,8(),65,8(),6,8(DCBA 2在极坐标系中如果等边ABC的两个顶点是),45,2(),4,2(BA求第三个顶点C的坐标。 高中数学选修4-4 坐标系与参数方程 6 第三讲 极坐标与直角坐标的互化 直角坐标系的原点O为极点x轴的正半轴为极轴且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为),(yx和),(则由三角函数的定义可以得到如下两组公式 sincosyx xyyxtan222 说明1上述

9、公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 2通常情况下将点的直角坐标化为极坐标时取002。 3互化公式的三个前提条件 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同. 三举例应用 例11把点M 的极坐标)32,8(化成直角坐标 2把点P的直角坐标)2,6(化成极坐标 变式训练 在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(BA求A,B两点的距离 例2.若以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立直角坐标系. (1) 已知A的极坐标),35,4(求它的直角坐标, (2) 已知点B和点C的直角坐标为)15,0()2,2(和 求它们的极坐标.(0,02

10、) 变式训练 把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定0,02) )4,3(),4,3(),2,0(),1,1(DCBA 例3.在极坐标系中,已知两点)32,6(),6,6(BA. 求A,B中点的极坐标. 变式训练 在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(PNM. 判断PNM,三点是否在一条直线上. 高中数学选修4-4 坐标系与参数方程 7 第四讲 曲线的极坐标方程的意义 二、讲解新课 1、引例以极点O为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5反过来极径为5的点都在这个圆上。 因此以极点为圆心5为半径的圆可以用方程5来表示。 2、提问曲线上的点的坐标都满足这个方程吗 3、定义一般地如果

11、一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(f的点在曲线上那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。 4、求曲线的极坐标方程 例1求经过点)0,3(A且与极轴垂直的直线l的极坐标方程。 变式训练已知点P的极坐标为),1(那么过点P且垂直于极轴的直线极坐标方程。 例2求圆心在)0,3(A且过极点的圆A的极坐标方程。 变式训练求圆心在)2,3(A且过极点的圆A的极坐标方程。 例31化在直角坐标方程0822yyx为极坐标方程 2化极坐标方程)3cos(6 为直角坐标方程。 三、巩固与练习 直角方程与极坐标方程互化 1cos 2tan2 高中数学选修4-4 坐标系与参数

12、方程 8 第五讲 常用曲线的极坐标方程1 讲解新课 1、若直线l经过),(00M且极轴到此直线的角为求直线l的极坐标方程。 变式训练直线l经过)2,3(M且该直线到极轴所成角为4求此直线l的极坐标方程。 把前面所讲特殊直线用此通式来验证。 2、若圆心的坐标为),(00M圆的半径为r求圆的方程。运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的极坐标方程。 3、例题讲解 在圆心的极坐标为)0,4(A半径为4的圆中求过极点O的弦的中点的轨迹。 变式训练 在极坐标系中已知圆C的圆心)6,3(C半径3r 1求圆C的极坐标方程。 2若Q点在圆C上运动P在OQ的延长线上且2:3:OPOQ求动点P的轨迹方程。 高中数学选

13、修4-4 坐标系与参数方程 9 第六讲 常用曲线的极坐标方程2 二、讲解新课 1、圆锥曲线的统一方程 设定点的距离为P求到定点到定点和定直线的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程。 分析建系 设点 列出等式 用极坐标、表示上述等式并化简得极坐标方程 说明为便于表示距离取F为极点垂直于定直线l的方向为极轴的正方向。 e表示离心率P表示焦点到准线距离。 2、例题讲解 例12003年10月1517日我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆椭圆的近地点离地面最近的点和远地点离地面最远的点距离地面分别为200km和350km然

14、后进入距地面约343km的圆形轨道。若地球半径取6378km试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。 变式训练 已知抛物线xy42的焦点为F。 1以F为极点x轴正方向为极轴的正方向写出此抛物线的极坐标方程 2过取F作直线l交抛物线于A、B两点若|AB|16运用抛物线的极坐标方程求直线l的倾斜角。 例2求证过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。 变式训练 设P、Q是双曲线)0(12222babyax上的两点若OQOP。 求证22|1|1OQOP为定值 高中数学选修4-4 坐标系与参数方程 10 第七讲 常用曲线的极坐标方程3 一、复习引入 学生回顾 1求曲线极坐标方程的方

15、法 2常用曲线的极坐标方程 二、基础训练 1直线2()cos(km )zk的斜率是 2极坐标方程sin216表示的曲线是 3曲线2sin和)20,0(sin4 的交点坐标 4在极坐标系中与圆sin4相切的一条直线方程为 A、2sin B、2cos C、4cos D、4cos 5椭圆cos459的长轴长 二、讲解新课 例1求曲线01cos关于直线4 对称的曲线方程。 例2求下列两曲线的交点坐标。 c o s1 )c o s1(21 例3已知圆2直线4cos过极点作射线交圆于点A交直线于点B当射线以极点为中心转动时求线段AB的中点M的轨迹方程。 例4已知A、B为椭圆)0(12222babyax上两

16、点若OBOA。O为原点 1求证22|1|1OBOA为定值 2求AOB面积的最值。 高中数学选修4-4 坐标系与参数方程 11 第八讲 球坐标系与柱坐标系 二、讲解新课 1、球坐标系 设P是空间任意一点在oxy平面的射影为Q连接OP记| OP |=rOP与OZ轴正向所夹的角为P在oxy平面的射影为QOx轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为点P的位置可以用有序数组),(r表示我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组),(r叫做点P的球坐标其中r0002。 空间点P的直角坐标),(zyx与球坐标),(r之间的变换关系为 cossinsincossin2222rzr

17、yrxrzyx 2、柱坐标系 设P是空间任意一点在oxy平面的射影为Q用(,)(0,02)表示点在 平面oxy上的极坐标点P的位置可用有序数组(,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系 有序数组(,Z)叫点P的柱坐标其中0, 02, zR 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(,Z)之间的变换关系为 3、数学应用 例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点. 变式训练 建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点. 例2.将点M的球坐标)65,3,8(化为直角坐标. zzyxsincos高中数学选修4-4 坐标系与参数方程 12 变式训练 1.将点M的直角坐标)2,

18、1,1(化为球坐标. 2.将点M 的柱坐标)8,3,4(化为直角坐标. 3.在直角坐标系中点),(aaa a(0)的球坐标是什么? 例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程. 变式训练 标满足方程=2的点所构成的图形是什么? 例4.已知点M的柱坐标为),3,4,2(点N的球坐标为),2,4,2(求线段MN的长度. 思考: 在球坐标系中,集合 20,20,62),(rrM表示的图形的体积为多少? 高中数学选修4-4 坐标系与参数方程 13 第九讲 曲线参数方程的概念 二曲线的参数方程 1、圆的参数方程的推导 1一般的设O的圆心为原点半径为r0OP所在直线为x轴

19、如图以0OP为始边绕着点O按逆时针方向绕原点以匀角速度作圆周运动则质点P的坐标与时刻t的关系该如何建立呢其中r与为常数t为变数 结合图形由任意角三角函数的定义可知 ),0sincosttrytrx t为参数 2点P的角速度为运动所用的时间为t则角位移t 那么方程组可以改写为何种形式 结合匀速圆周运动的物理意义可得),0sincosryrx 为参数 在引例的基础上把原先具体的数据一般化为圆的参数方程概念的形成作准备同时也培养了学生数学抽象思维能力 3方程、是否是圆心在原点半径为r的圆方程为什么 由上述推导过程可知对于O上的每一个点),(yxP都存在变数t或的值使trxcostrysin或sinr

20、ycosrx都成立。 对于变数t或的每一个允许值由方程组所确定的点),(yxP都在圆上 1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发可以说明以上由变数t或建立起来的方程是圆的方程 4若要表示一个完整的圆则t与的最小的取值范围是什么呢 )2,0s i nc o sttrytrx )2,0s i nc o sryrx 5圆的参数方程及参数的定义 我们把方程或叫做O的参数方程变数t或叫做参数。 6圆的参数方程的理解与认识 参数方程)2,0sin3cos3yx与2,0sin3cos3yx是否表示同一曲线为什么 根据下列要求分别写出圆心在原点、半径为r的

21、圆的部分圆弧的参数方程 在y轴左侧的半圆不包括y轴上的点 在第四象限的圆弧。 通过具体问题的解决加深对圆的参数方程的理解与认识体会到参数的取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分并为曲线的参数方程的定义及其理解与认识作铺垫。 7曲线的参数方程的定义 一般地在平面直角坐标系中如果曲线C上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数)()()(Dttgytfx 并且对于t的每一个允许值由方程组所确定的点),(yxP都在这条曲线C上那么方程组就叫做这条曲线的参数方程。变数t高中数学选修4-4 坐标系与参数方程 14 叫做参变量或参变数简称参数。 相对于参数方程来说直接给出曲线上点的坐标x、y间关系的方程0

22、),(yxF叫做曲线的普通方程。 8曲线的参数方程的理解与认识 参数方程的形式 横、纵坐标x、y都是变量t的函数给出一个t能唯一的求出对应的x、y 的值因而得出唯一的对应点但横、纵坐标x、y之间的关系并不一定是函数关系。 参数的取值范围 在表述曲线的参数方程时必须指明参数的取值范围取值范围的不同所表示的曲线也可能会有所不同。 参数方程与普通方程的统一性 普通方程是相对参数方程而言的普通方程反映了坐标变量x与y之间的直接联系而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y之间的间接联系普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式参数方程可以与普通方程进行互化。 参数的作用 参数作为间接地建立横、纵坐标x

23、、y之间的关系的中间变量起到了桥梁的作用。 参数的意义。 如果参数选择适当参数在参数方程中可以有明确的几何意义也可以有明确的物理意义可以给问题的解决带来方便。即使是同一条曲线也可以用不同的变数作为参数。 三巩固曲线的参数方程的概念 例题1 1质点P开始位于坐标平面内的点)1,3(0P处沿某一方向作匀速直线运 动。水平分速度3xv厘米/秒铅锤分速度1yv厘米/秒 求此质点P的坐标与时刻t秒的关系 问5秒时质点P所处的位置。 2写出经过定点)1,3(P且倾斜角为6的直线l的参数方程。 问题作出例题1中两小题的直线图像判断它们的位置关系从中你能得到什么启示呢 第一小题通过运动质点的位置与时间有关建立

24、表现质点位置的参数方程第二小题通过选取适当的参数建立直线的参数方程从而使学生了解参数的选取有多种方法同一曲线可以由不同的参数方程来表示。 例题2已知点),(yxA在圆C422yx上运动求yx的最大值。 通过普通方程化为参数方程求得函数的最值使学生初步体验参数方程的作用与意义。 四课堂小结 1、知识内容知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念能选取适当的参数建立参数方程通过对圆和直线的参数方程的研究理解其中参数的意义。 2、思想与方法参数思想。 引导学生回顾本节课的学习过程小结与交流学习体会包括数学知识的获得数学思想方法的领悟。 高中数学选修4-4 坐标系与参数方程 15 第十讲 圆的参数方程 圆

25、的参数方程的推导标准式和一般式叫普通方程 1.圆心在原点的圆的参数方程 圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为 sincosryrx (为参数) 有意义旋转角0到2x轴到连心线 2.圆心不在原点的圆的参数方程 问怎样得到圆心在),(1baO,半径为r的圆的参数方程呢? 可将圆心在原点、半径为r的圆按向量),(bav平行移动后得到,所以圆心在),(1baO,半径为r的圆的参数方程为 sincosrbyrax ( 为参数) 3.一般曲线参数方程的定义书P23 参数方程、参数及其意义、普通方程 参数方程化为普通方程 三、例题书例2参数方程的应用 四、练习13投影 补充例.已知A10、B10,P为圆 4)4()3(22yx上的一点,求22PBPA 的最大值和最小值以及对应P点的坐标. 解:C的参数方程为sin24cos23yx(为参数), 22PBPA=2222)sin24()cos22()sin24()cos24( =)sin(4060)sin4cos3(860 高中数学选修4-4 坐标系与参数方程 16 其中54cos,53sin. 当1)sin(时, 22PBPA有最大值100. 1)sin(,0)cos( 53sin)sin(cos)cos()cos(cos 54sin)cos(cos)sin()sin(sin P点的坐标为(528,521). 当1)sin(,22PBPA有最小值