因数倍数易错题分析

1、因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 1、因数与倍数、因数与倍数 【例例1】什么叫整数？什么叫整数？ 【错答错答】非零自然数和非零自然数和0叫做整数叫做整数 【分析错因分析错因】 产生错误的原因是对小学数学教科书中产生错误的原因是对小学数学教科书中 关于整数有关方面的论述不理解。教科关于整数有关方面的论述不理解。教科 书中是这样说的：书中是这样说的：“非零自然数和非零自然数和0都是都是 整数。整数。” 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 整数包括非零自然数、整数包括非零自然数、0和负整数。虽和负整数。虽 然自然数和然自然数和0都是整数，但整数不仅是都是整

2、数，但整数不仅是 自然数和自然数和0 防止这类错误的说法要使学生理解教防止这类错误的说法要使学生理解教 科书中为什么要这样叙述：科书中为什么要这样叙述：“自然数自然数 和和0都是整数都是整数”。严格要求按书中的叙。严格要求按书中的叙 述来回答，这样的回答是最科学的回述来回答，这样的回答是最科学的回 答答 【正确解答正确解答】 非零自然数和非零自然数和0都是整数，整数还包括今后都是整数，整数还包括今后 要学的负整数。所以说自然数、要学的负整数。所以说自然数、0、负整数、负整数 统称为整数统称为整数 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【防错练习防错练习】 1、（、（ ）和）和0，都是整数，都是

3、整数 2、在、在3、7、3.5、0、0.8、等数中，、等数中， （）是整数。（）是整数。（ ）是最小的自然数，）是最小的自然数， 但不是最小的整数。但不是最小的整数。 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【例例2】“0”是不是自然数的倍数是不是自然数的倍数 【错答错答】“0”比任何自然数都小，比任何自然数都小， 所以，所以，0不是非零自然数的倍数。任何不是非零自然数的倍数。任何 自然数都比自然数都比0大，因此，任何自然数都大，因此，任何自然数都 是是0的倍数。的倍数。 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【分析错因分析错因】 产生错误的原因是学生没有运产生错误的原因是学生没有运 用用“因数

4、与倍数的定义因数与倍数的定义”来判断来判断“0” 是不是非零自然数的倍数。是不是非零自然数的倍数。 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 判断因数与倍数应根据定义来确定，而判断因数与倍数应根据定义来确定，而 不能根据数的大小来作出结论。我们都不能根据数的大小来作出结论。我们都 知道知道0能作被除数但不能作除数。能作被除数但不能作除数。0除除 以任何自然数都得以任何自然数都得0，且没有余数，因，且没有余数，因 此，我们可以判定此，我们可以判定0是任何自然数的倍是任何自然数的倍 数，因为数，因为0不能作除数，所以不能作除数，所以0不是任不是任 何自然数的因数，当然任何非自然数也何自然数的因数，当然

5、任何非自然数也 都不是都不是0的倍数的倍数. 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 防止这类错误要使学生认识到判定任何防止这类错误要使学生认识到判定任何 一个数与另一个数的因数或倍数关系，一个数与另一个数的因数或倍数关系， 都要根据因数或倍数的定义都要根据因数或倍数的定义 【正确解答正确解答】 由整除定义知由整除定义知0能被任何一个数（能被任何一个数（0除外）除外） 整除，所以整除，所以0是任何非零自然数的倍数；是任何非零自然数的倍数； 由于由于0不能作除数，所以不能作除数，所以0不是任何非零不是任何非零 自然数的因数，任何非零自然数都不是自然数的因数，任何非零自然数都不是 0的倍数的倍数.

6、因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【防错练习防错练习】 填空：填空： 1、“02=0”，所以，所以0是是2的（）数的（）数 2、“0”不是任何自然数的（）数不是任何自然数的（）数 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【例例3】判断下面各题：判断下面各题： 因数是有限的（）因数是有限的（） 倍数是无限的（）倍数是无限的（） 【错答错答】1、“”；2、“” 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【正确解答正确解答】 1、“”；2、“” 【分析错因分析错因】 产生错误的原因是学生对因数、倍数都是产生错误的原因是学生对因数、倍数都是 不能单独存在的概念不理解。不能单独存在的概念不理解。 我们应该

7、认识到因数、倍数都是不能单独我们应该认识到因数、倍数都是不能单独 存在的，只能对某一个数而言。在这里，存在的，只能对某一个数而言。在这里， 提及的提及的“无限无限”和和“有限有限”是指因数、倍是指因数、倍 数的个数，而不能指它本身。例如，我们数的个数，而不能指它本身。例如，我们 说，说，“一个数的倍数的个数是无限的一个数的倍数的个数是无限的”， 这就对了。又比如，这就对了。又比如，“一个数的因数的个一个数的因数的个 数是有限的数是有限的”，这样说就对了，这样说就对了 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【防错练习防错练习】 判断题：判断题： 一个数的因数是有限的（）一个数的因数是有限的（）

8、倍数的个数是无限的（）倍数的个数是无限的（） 一个数的倍数是无限的（）一个数的倍数是无限的（） 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【例例4】判断：判断：4是因数，是因数，28是倍数（）是倍数（） 【错答错答】“” 【分析错因分析错因】 产生错误的原因是学生不理解数学概产生错误的原因是学生不理解数学概 念的叙述应是完整的叙述。念的叙述应是完整的叙述。“4是因是因 数数”，是谁的因数呢？，是谁的因数呢？“28是倍数是倍数”， 28是谁的倍数呢？显然这样的叙述是是谁的倍数呢？显然这样的叙述是 不完整的。不完整的。 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 小学数学教科书中是这样叙述因小学数学教科书中

9、是这样叙述因 数与倍数的：数与倍数的：“如果数如果数a能被数能被数b整除，整除， a就叫做就叫做b的倍数，的倍数，b就叫做就叫做a的因数。的因数。” 显然，因数与倍数是一对相互依存的显然，因数与倍数是一对相互依存的 概念，因此，必须联系在一起进行区概念，因此，必须联系在一起进行区 别，且先有联系后有区别。比如，别，且先有联系后有区别。比如，“4 是是28的因数的因数”，“28是是4的倍数的倍数”。 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 防止这类错误要使学生确切地理防止这类错误要使学生确切地理 解数学概念，不能把两个相互依存的解数学概念，不能把两个相互依存的 概念割裂开来。完整的相互依存的概概念

10、割裂开来。完整的相互依存的概 念割裂开来，必然导致出错。念割裂开来，必然导致出错。 【正确解答正确解答】 “”。4是是28的因数，的因数，28是是4的倍数的倍数 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【防错练习防错练习】 填空：填空： 1、32是是4的倍数，的倍数，4是是32的（）的（） 2、5是是35的因数，的因数，35是是5的（）的（） 判断题：判断题： 1、30是倍数（）是倍数（） 2、6是因数（）是因数（） 3、30是是6的因数，的因数，6是是30的因数（）的因数（） 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【例例5】判断：一个数的倍数一定大于判断：一个数的倍数一定大于 它的因数（）它的

11、因数（） 【错答错答】“” 【分析错因分析错因】 产生错误的原因是学生研究问题时，产生错误的原因是学生研究问题时， 只看一般现象，却忽视了特殊现象，只看一般现象，却忽视了特殊现象， 这样往往出现片面看问题的错误。这样往往出现片面看问题的错误。 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 研究这个问题时，可以举例进行研究这个问题时，可以举例进行 分析、研究，比如：分析、研究，比如： 6的因数有的因数有1、2、3、6； 6的倍数有的倍数有6、12、18、24 显然，从上例中可以看出，显然，从上例中可以看出，6是是6 的因数，也是的因数，也是6的倍数，所以说的倍数，所以说 “一个数的倍数一定大于它的因一个

12、数的倍数一定大于它的因 数数”是错的是错的 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 研究这个问题时，可以举例进行研究这个问题时，可以举例进行 分析、研究，比如：分析、研究，比如： 6的因数有的因数有1、2、3、6； 6的倍数有的倍数有6、12、18、24 显然，从上例中可以看出，显然，从上例中可以看出，6是是6 的因数，也是的因数，也是6的倍数，所以说的倍数，所以说“一一 个数的倍数一定大于它的因数个数的倍数一定大于它的因数”是是 错的。错的。 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【正确解答正确解答】 “” 【防错练习防错练习】 填空：填空： 一个数的一倍数是它（）一个数的一倍数是它（） 一个

13、数的倍数等于它的本身或（）的一个数的倍数等于它的本身或（）的 本身本身 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 2、2,3,5的倍数的特征的倍数的特征 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【例例6】非负整数范围内最小的非负整数范围内最小的 偶数是什么？偶数是什么？ 【错答错答】最小的偶数是最小的偶数是2 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【分析错因分析错因】 回答这个问题时，由于没有理解题目指定的数的回答这个问题时，由于没有理解题目指定的数的 范围而出现错误。我们的小学数学教科书中指出范围而出现错误。我们的小学数学教科书中指出 过：过：“在讲在讲因数与倍数因数与倍数时，我们所说的数，时，我

14、们所说的数， 一般不包括一般不包括0。”显然，这是说，不是在一切情显然，这是说，不是在一切情 况下，都只能指自然数。在况下，都只能指自然数。在初等数论初等数论（陈景（陈景 润著）中讲到的润著）中讲到的“因数与倍数因数与倍数”中的数，指的是中的数，指的是 “正整数正整数”、负整数和、负整数和0”。可见，。可见，“因数与倍数因数与倍数” 中的整数，可以扩大到非零自然数以外的范围内。中的整数，可以扩大到非零自然数以外的范围内。 本题中的本题中的“非负整数非负整数”，它的范围不仅包括正整，它的范围不仅包括正整 数，还包括数，还包括0 由由“是是2的倍数的数叫做偶数的倍数的数叫做偶数”（“偶数偶数”的定

15、的定 义）可知，义）可知，2、4、6、8这些数称为偶数，这些数称为偶数，0 也可称为偶数，也可称为偶数，-2、-4也可称为偶数。因为也可称为偶数。因为 它们同样是它们同样是2的倍数。诚然，在讨论这个问题时，的倍数。诚然，在讨论这个问题时， 即讨论即讨论“最小的偶数时什么最小的偶数时什么”时，在本题指定的时，在本题指定的 “非负整数非负整数”范围内最小的偶数是范围内最小的偶数是0 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【正确解答正确解答】 在非零自然数范围内，最小的偶数是在非零自然数范围内，最小的偶数是2。 在非负整数范围内最小的偶数是在非负整数范围内最小的偶数是0 【防错练习防错练习】 填空：

16、填空： 在非负整数范围内，最小的偶数是（）在非负整数范围内，最小的偶数是（） 在非零自然数范围内，最小的偶数是（）在非零自然数范围内，最小的偶数是（） （）和（）都是整数。（）和（）都是整数。 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【例例7】“倍数倍数”与与“倍倍”有什么有什么 区别？区别？ 【错答错答】“倍数倍数”与与“倍倍”没有没有 区别。因为区别。因为“倍数倍数”与与“倍倍”最最 后的余数都是后的余数都是0。 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【分析错因分析错因】 产生错误的原因是学生误认为余数都是产生错误的原因是学生误认为余数都是0， “倍数倍数”与与“倍倍”就没有区别了就没有区别

17、了 整数整数a除以整数除以整数b（b0）得的商正好是整）得的商正好是整 数而没有余数，我们就说数而没有余数，我们就说a是是b的倍数，或的倍数，或 者说者说b是是a的因数。数的因数。数a除以数除以数b（b0）没）没 有余数时，叫做有余数时，叫做a是是b的。或叫做的。或叫做b能除尽能除尽a 显然，显然，“倍数倍数”和和“倍倍”既有区别又有联既有区别又有联 系。它们的主要区别是：倍数特点是被除系。它们的主要区别是：倍数特点是被除 数和商都是整数，除数为非零自然数，且数和商都是整数，除数为非零自然数，且 没有余数。没有余数。“倍倍”的特点被除数、商和除的特点被除数、商和除 数（除数不能为数（除数不能为

18、0），既可以是整数也可以），既可以是整数也可以 是有限小数，只要没有余数就可以了是有限小数，只要没有余数就可以了 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 它们之间的联系：倍数是倍的特殊它们之间的联系：倍数是倍的特殊 情况。比如，情况。比如，8016=5，叫做，叫做80是是 16的倍数，的倍数，16是是80的因数。也叫做的因数。也叫做 80是是16的的5倍。倍。4.53=1.5叫做叫做4.5 是是3的的1.5倍，但是不能说倍，但是不能说4.5是是3的的 倍数。倍数。 防止类似错误的措施是要使学生理防止类似错误的措施是要使学生理 解解“倍数倍数”与与“倍倍”的定义。的定义。 因数倍数易错题分析因数倍

19、数易错题分析 【正确解答正确解答】 “倍数倍数”与与“倍倍”有区别。它们的主要有区别。它们的主要 区别是：区别是：“倍数倍数”是两个整数相除，是两个整数相除， 得商为整数而没有小数；得商为整数而没有小数；“倍倍”是指是指 被除数、除数和商可以是整数，也可被除数、除数和商可以是整数，也可 以是有限小数，没有余数。能整除的以是有限小数，没有余数。能整除的 算式，当然也是能除尽的算式，但能算式，当然也是能除尽的算式，但能 除尽的算式不一定能整除。除尽的算式不一定能整除。 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【防错练习防错练习】 在能整除的算式后面的括号里打上在能整除的算式后面的括号里打上 “”，不

20、能整除的打，不能整除的打“”： 1、147（）（） 2、2105（）（） 3、708（）（） 4、2.80.4（）（） 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 3、质数和合数、质数和合数 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【例例8】判断：判断： 自然数中除了质数就是合数（）自然数中除了质数就是合数（） 所有奇数都是质数（）所有奇数都是质数（） 【错答错答】1、“”；2、“” 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【分析错因分析错因】 产生错误的原因是学生对质数、合数、奇产生错误的原因是学生对质数、合数、奇 数的定义不理解，因而，不能运用它们的数的定义不理解，因而，不能运用它们的 定义进行判断

21、定义进行判断 质数的定义是：质数的定义是：“一个数只有一个数只有1和它本身两和它本身两 个因数的数叫做质数（也叫素数）个因数的数叫做质数（也叫素数）”。合。合 数的定义是：数的定义是：“一个数除了一个数除了1和它本身，还和它本身，还 有别的因数的数，叫做合数有别的因数的数，叫做合数”。根据这个。根据这个 定义来判断定义来判断“1”，只有，只有1本身是它唯一的因本身是它唯一的因 数，所以，数，所以，1既不是质数也不是合数。根据既不是质数也不是合数。根据 这样的推理说：自然数中只有质数和合数这样的推理说：自然数中只有质数和合数 是错误的。是错误的。 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 “奇数奇数

22、”是以一个数是不是是以一个数是不是2的倍数来判断的倍数来判断 的。的。“质数质数”是以一个数只有是以一个数只有1和它本身两和它本身两 个因数来判断的。显然这是两种不同界定个因数来判断的。显然这是两种不同界定 的数。的数。“1”是奇数，但它不是质数。所以是奇数，但它不是质数。所以 说说“所有奇数都是质数所有奇数都是质数”这句话是错误的这句话是错误的 防止这类错误的措施要使学生理解质数、防止这类错误的措施要使学生理解质数、 合数、奇数、偶数的定义，并能运用这些合数、奇数、偶数的定义，并能运用这些 定义来判断这类具体题目的正误定义来判断这类具体题目的正误 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【正确

23、解答正确解答】 1、“”；2、“” 【防错练习防错练习】 填空：填空： 1、“2”是（）数，不是合数是（）数，不是合数 2、15,9,21是（）数，但不是质数是（）数，但不是质数 3、自然数中包括质数、（）和（）、自然数中包括质数、（）和（） 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【例例9】判断：偶数都是合数，合数判断：偶数都是合数，合数 都是偶数（）都是偶数（） 【错答错答】“” 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【分析错因分析错因】 产生错误的原因是学生不理解偶数的定义，产生错误的原因是学生不理解偶数的定义， 不能用偶数的定义去判断是不是所有的偶不能用偶数的定义去判断是不是所有的偶 数

24、都是合数，特别是学生不会考虑一般情数都是合数，特别是学生不会考虑一般情 况下还有况下还有“特例特例” “是是2的倍数叫做偶数的倍数叫做偶数”，但是，但是2是偶数却是偶数却 不是合数，这就是一个特殊的例子。不是合数，这就是一个特殊的例子。“9”、 “15”不是偶数，但它们是合数不是偶数，但它们是合数 防止这类错误的措施是要使学生认识到运防止这类错误的措施是要使学生认识到运 用定义判断具体题目的正误，注意一般情用定义判断具体题目的正误，注意一般情 况下是否有特殊的例子况下是否有特殊的例子 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【正确解答正确解答】 “”。偶数不都是合数，不是。偶数不都是合数，不是

25、所有的合数都是偶数所有的合数都是偶数 【防错练习防错练习】 填空：填空： 1、“2”不是合数，是（）数不是合数，是（）数 2、“合数合数”可以是偶数，如（）等，可以是偶数，如（）等， 也可以是奇数，如（）等也可以是奇数，如（）等 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【例例10】判断：一个数的因数都判断：一个数的因数都 是这个数的质因数（是这个数的质因数（ ） 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【错答错答】“” 【分析错因分析错因】 产生错误的原因是学生混淆了产生错误的原因是学生混淆了 “因数因数”与与“质因数质因数”的区别，误的区别，误 认为一个数的因数都是这个数的质认为一个数的因数都是

26、这个数的质 因数因数 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 两个数相乘或若干个数相乘所得的积，对于这个两个数相乘或若干个数相乘所得的积，对于这个 积来说。这两个数或若干个数是它的因数。比如积来说。这两个数或若干个数是它的因数。比如 34得得12,3与与4是是12的因数。又例如的因数。又例如562得得60， 那么那么5、6和和2是是60的因数。显然，因数和积是互的因数。显然，因数和积是互 相依存的数。如果相依存的数。如果一个数的因数是质数（素数），一个数的因数是质数（素数）， 那么，这个因数叫做这个数的质因数那么，这个因数叫做这个数的质因数。比如。比如 20=54，可以看出，可以看出5和和4都是

27、都是20的因数，的因数，5是质是质 数，所以，数，所以，5是是20的一个质因数。而的一个质因数。而4不是质数，不是质数， 是合数，所以是合数，所以4不是不是20的质因数。又比如的质因数。又比如 30=235，可以看出，可以看出2、3和和5都是都是30的因数。的因数。 2、3和和5都是质数，所以，都是质数，所以，2、3和和5都是都是30的质因的质因 数。概括地说，数。概括地说，一个数的质数因数叫做这个数的一个数的质数因数叫做这个数的 质因数质因数 防止这类错误的措施是要使学生区别防止这类错误的措施是要使学生区别“因数因数”与与 “质因数质因数”的不同的不同 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析

28、【正确解答正确解答】 “”，如果一个数的因数是质数，这，如果一个数的因数是质数，这 个因数就叫做这个数的质因数个因数就叫做这个数的质因数 【防错练习防错练习】 填空：填空： 1、42=237，42是质因数是（）是质因数是（） 2、15的质因数是（）和（）的质因数是（）和（） 3、一个数的因数是（），这个数就、一个数的因数是（），这个数就 叫做这个数的质因数叫做这个数的质因数 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【例例11】把把40分解质因数分解质因数 【错答错答】40=254 因数倍数易错题分析因数倍数易错题分析 【分析错因分析错因】 产生错误的原因是学生对产生错误的原因是学生对“分解质因数分解质因数”的意义的意义 不理解，另外判别一个数是否为质数（素数）掌不理解，另外判别一个数是否为质数（素数）掌 握不好握不好 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做 分解质因数。比