2020版第5章第4节数列求和

1、第四节数列求和考纲传真1.掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握特殊的非等差、 等比数列的几种常见的求和方法.1. 公式法(1) 等差数列的前n项和公式：_ n ai + ann n 1&= 2 =理 土 2d ；(2) 等比数列的前n项和公式：叫闪-I，耳叫一叩竹(1 -) 1三】用I _g 1-q2. 分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.3. 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消， 从而求得其和.4. 错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.

2、5倒序相加法如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于 同一个常数，那么求这个数列的前 n项和即可用倒序相加法求解.6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(- 1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn= 100(4) loga 1 + n = loga(n+ 1)- logan.基础自测 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X” )-93+ 982 972+ 22- 12=(100+ 99)+ (98 + 97) + + (2+ 1) = 5 050.常用结论1. 一些常见的数列前n项和公式：

3、n n+ 1(1) 1 + 2+ 3+4+- + n =2(2) 1 + 3+ 5+ 7+ 2n- 1 = n2;(3) 2 + 4+ 6+ 8+ 2n= n2 + n.2. 常用的裂项公式(1)1n n+ k丄； k n n+k ；14n2 112n- 1 2n+ 1 ；2 2n- 1 2n+ 1 ；(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1,则其前n项和Sn =a1 - an+11-q(2)当门2 时，冷=1- n+1.()(3) 求 Sn= a+ 2a2 + 3a3+ nan之和时只要把上式等号两边同时乘以 a即可 根据错位相减法求得.利用此法可求得sin21(4)推导等差数列求和公式

4、的方法叫做倒序求和法,+ sin22 + si n23 + si n288 + sin289。一 44.5.(答案(1)2V X V2.(教材改编)数列an的前n项和为Sn,an1一乔+1，则&等于()C-6B tan 一 1,+ 1 n n+ 1c11二 S5= a1 + a2 + + a5= 1 2 + 2一5B.5d.3013+13.若 3= 1-2 + 3-4+ 5-6+ (- 1)n-1 n,贝U S50=25 S50= (1- 2)+ (3 - 4)+ + (49- 50)= 25.1111 14.数列12,34,58,7花，(2n-1) +刁,的前n项和Sn的值等于n2+ 1-J

5、nSn= 1 + 3 + 5+- + (2n 1) + 舟+4+ 2-1 n2 2 11 一 n + 1-尹1-15. 3 2-1 + 4 2-2+ 5 2-3+ (n + 2) 2-n一4-n4 设 S= 3X 1+ 4X 22 + 5X 寺+.+ (n + 2) X *，则如一 3X歩 +4X步+ 5X步+十(n + 2) X 十.1 n+ 2+ k .2 2n+11 111两式相减得2S= 3x 2+ 22+23+ S= 3+ 2+ 殳+ K -竽1n+ 221=3 +=4 2.分组转化求和【例1】(2019黄山模拟)已知数列an的前n项和$ =七严，n N*.(1)求数列an的通项公式

6、；设bn= 2an+ ( 1)nan，求数列bn的前2n项和.n2 + n解(1)当 n = 1 时，a1 = S1 = 1 ;当 n2 时，an= 3 9-1 =n 1 + n1=n.a1也满足an= n,故数列an的通项公式为an= n.由(1)知 an= n, 故 bn = 2n+ ( 1)nn.记数列bn的前 2n 项和为 T2n，贝u Ta = (21 + 22+ 22n)+ ( 1+ 2-3 + 41 2 2 2 1 22n2记 A= 21 + 22+ 22n, B= 1 + 2 3+ 4+ 2n,贝U A= 22n1 2+1 2,B= ( 1 + 2)+ ( 3+ 4)+ (2n

7、 1) + 2n = n.故数列bn的前 2n 项和 T2n= A+ B = 22n+1 + n 2.拓展探究在本例(2)中，如何求数列bn的前n项和Tn.解由本例(1)知 bn = 2n+ ( 1)n n.+11厂+券2n+1当n为偶数时,1 22 2nTn= (21 + 22 + + 2n) + 1+ 2 3+ 4一(n 1)+ n=+ - 2；丁 2 J当 n 为奇数时，Tn= (21 + 22 + + 2n) + 1+2 3+ 4(n 2)+ (n 1)n2n+1 + 2-2, n为偶数, 所以Tn=52n+1_2 2，n为奇数.规律方法分组转化法求和的常见类型，1若an= bnicn

8、,且bn , Cn为等差或等比数列，可采用分组求和法求an的前n项和；，2通项公式为(b /为奇数a - 的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差” Ln,n为偶数数列，可采用分组转化法求和等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足 ai = 3， bi = 1， b2+ S2= 10， as 2b2= a3.(1)求数列an和bn的通项公式；2(2)令 cn= S；，为奇数,设数列Cn的前n项和为Tn,求T2nbn，n为偶数,解(1)设数列an的公差为d,数列bn的公比为q,b2+ &= 10, 由a5 2 b2 a3,q+ 6+ d= 10,d = 2.得3+ 4d 2q =

9、 3+ 2d,解得q=2,i an= 3+ 2(n 1) = 2n+ 1, bn = 2n_ 1.由 ai = 3, an = 2n+ 1,n a1 + an2 = n(n + 2),则Cn =2冇,门为奇数,2n-1, n为偶数,即Cn =1 1n- n+2必奇数,2n-1, n为偶数,T2n=(C1 + C3 + + C2n 1)+(C2+ C4+ + C2n)1 1 1 1 13 2n 1=1 3 + 3-5 + + 2n 1 2n+ 1 +(2+ 看+ 2)12 1 4n=1 一 +2n+ 11 4=+3(4n-1)2n+13错位相减法求和【例2】(2017天津高考)已知an为等差数列

10、，前n项和为Sn(n N*),bn 是首项为2的等比数列，且公比大于 0, b2+ b3= 12, b3= a4 2a1, Sn= 11b4.(1)求an和bn的通项公式；求数列a2nb2n-1的前n项和(n N ).解(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q. 由已知 b2 + b3= 12,得 bi(q+ q2)= 12,而 b1 = 2,所以 q2+ q 6 = 0.又因为q0,解得q= 2,所以bn= 2n.由 b3 = a4 2a1，可得 3d a1 = 8.由 S11 = 11b4，可得 a1 + 5d= 16.联立，解得a1 = 1, d= 3,由此可得an = 3

11、n 2.所以数列an的通项公式为an = 3n2,数列bn的通项公式为bn = 2n.(2)设数列a2nb2n 1的前n项和为Tn,由a2n = 6n 2,b2n 1 = 2x4n 1，得 a2nb2n 1 = (3n 1)x 4n,故Tn= 2X4+ 5X42 + 8X 43+ + (3n 1)x4n,4Tn = 2X42 + 5X43 + 8X 44+ (3n 4)X4n+ (3n 1)X4n+1,12X 1 1 4一，得3Tn = 2X 4 + 3X 42 + 3X 43+ 3X 4n (3n 1)X 4n+1(3n 1)X 4n+1=(3n 2)X 4n+1 8,3n 2.8得 Tn=

12、厂 X 4n+1 + 8.3n 2.8所以数列a2nb2n1的前n项和为X 4n+1+3.规律方法错位相减法求和时的3个注意点1要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形2在写出“sn”与“qsn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“sn qSn”的表达式，同时应注意差式中成等比数列的项数.3在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.(2019阜阳模拟)设等差数列an 的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1 = a1，b2 = 2，q =d， Sio= 100.(1) 求数列an，bn的通项公式；(

13、2) 当 d 1时，记cn= bn，求数列cn的前n项和Tn.解由题意得10a1 + 45d= 100，2a1 + 9d= 20，即a1d= 2，a1d = 2，a1= 1， 解得d = 2a1 = 9,或 2 d = 9.bn= 2n 1bn 9 n 1由 d 1,知 an 2n 1, bn 2n 1,2n 1故cn1，于是Tn 1 + 3 +2n 11 1 3 5 7 92n ?考法1形如an型 n n+ k【例3】(2019济南模拟)已知数列an的各项都为正数，其前n项和为Sn, 且满足4Sn an + 2an 3对任意的正整数n都成立.(1) 证明数列an是等差数列，并求其通项公式；1

14、(2) 设bn sn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)当 n 1 时，4S1 a2+ 2a1 3,即 a1 2a1 3 0，解得a1 3或a1 1(舍去)， 金qTn 2 + 22+ 23+ 24+ 艺+ + 2* 可得故 Tn 6 2n+ 32*1 .12* 22n 12n + 3裂项相消法求和由 4Sn= a2 + 2an 3,得当 n2 时，4Sn-1 = an-1 + 2an-1 3,两式相减,得 4an= an a2 1 + 2an 2an 1，即(an + an i)(an an 1 2) = 0,又 an0, /. an an1 2 = 0,即卩 an an1 = 2(n2),

15、数列an是以3为首项，2为公差的等差数列，-an= 3+ 2(n 1) = 2n+ 1.由 an= 2n+ 1,得 Si =3 + 2n+ 12n= n(n+ 2), bn= S；=亠3 n n + 2丄2 n n+ 2 , Tn= b1 + b2 + b3+- + bn1+ bn= 11 3+ 1 1+ 3+2 3 2 4 3 51n 11+n+ 11+22 n+13 2n + 34 2 n+ 1 n + 21n+k+ ； n?考法2形如an1 *【例4】 已知函数f(x) = xa的图象过点(4,2),令an=, n N .f n+ 1 + f n记数列an的前n项和为3,贝U S2 01

16、9=.2 505 1由 f(4) = 2,可得 4a= 2,1 1解得a= 2则f(x) =运:an= fn+1 + fn = n+1+ ,.n= n+1 n,S2 019= a1 + a2 + a3+ a2 019=(2 1) + ( ,3 .2) + ( ,4 3) + ( 2 019 2 018) + ( 2 0202 019)= 2 020- 1= 2 505 1.规律方法利用裂项相消法求和的注意事项1抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项;2将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如：

17、若an是公差dM0的等差数列，则法二：由等差数列的性质可得ai+ a4 + a7= 3a4= 30,解得a4= 10,a4 a210 4所以d=右二丁 = (2017全国卷川)设数列an满足 a1 + 3a2+-+ (2n 1)an 2n.(1) 求an的通项公式；an (2) 求数列2+7的前n项和. 解(1)因为 a1 + 3a2+-+ (2n 1)an 2n,故当 n2 时，a1 + 3a2 + + (2n 3)an 1 2( n 1),所以 an= a2 + (n 2)d 4+ (n 2) x 3 3n 2.(2)由(1)知 Sn 3n2- n2 ，2 23n n 3n + 3n 3n

18、 n+ 1所以 Sn+ 2n 2+ 2n22所以S + 2n3n n+ 1nn+ 1十、2121121-汁1所以Tn 3X1 1 +2x23 +訶n+ 1n+ 11 2 2 1 12n3 n+ 1两式相减得(2n 1)an = 2,所以an=(n2).2n 1又由题设可得ai = 2,满足上式，2所以an的通项公式为an=2n 1an记27+1的前n项和为S22n+ 1 2n 12n 1 2n+ 1则 $= 1 3 +1 5+ 14 n+1 n+ 2 3 5 2n 1 2n+ 1 2n+12. (2014全国卷I)已知an是递增的等差数列，a2, a4是方程x2 5x+ 6 = 0 的根.(1) 求an的通项公式；an(2) 求数列 刁的前n项和.解(1)方程x2 5x+ 6= 0的两根为2,3,由题意得a2 = 2, aSn=22+ 23+ 2n + 2+1,= 3.、 1设数列an的公差为d,则a4 a2 = 2d,故d= ,从而a1 = 3.1所以an的通项公式为an=尹+ 1.anan n + 2设 歹 的前n项和为Sn由(1)知刁=市，则134n+1 n + 22$