结构力学虚功原理

1、结构力学虚功原理 本章的主要内容本章的主要内容 本章从功的概念出发，介绍了力学的本章从功的概念出发，介绍了力学的 一个普遍原理一个普遍原理虚功原理。并利用这个虚功原理。并利用这个 原理推导出了结构的位移计算公式。原理推导出了结构的位移计算公式。 本章着重介绍了代替位移计算公式本章着重介绍了代替位移计算公式 中的积分运算的图乘法。中的积分运算的图乘法。 此外，本章还介绍了：此外，本章还介绍了： 静定结构在温度变化、支座移动时的位移静定结构在温度变化、支座移动时的位移 计算计算; 线弹性结构的四个互等定理。线弹性结构的四个互等定理。 本章的重点与难点本章的重点与难点 掌握计算位移的基本方法掌握计算

2、位移的基本方法 单位荷载法单位荷载法。 尤其能熟练正确地运用尤其能熟练正确地运用图乘法图乘法。 难点：难点：虚拟状态的建立，各类图形的图虚拟状态的建立，各类图形的图 乘。乘。 重点：重点： 3. 本章在全课程中的地位本章在全课程中的地位 要求静定结构的位移，必先求出静要求静定结构的位移，必先求出静 定结构的内力。因此本章可以说是对前定结构的内力。因此本章可以说是对前 面所学的各类静定结构的内力计算的复面所学的各类静定结构的内力计算的复 习。同时，位移计算又是下章即将开始习。同时，位移计算又是下章即将开始 学习的超静定结构的基础。学习的超静定结构的基础。 因而因而,从全课程来看，本章是承上启从全

3、课程来看，本章是承上启 下的一章，也是十分重要的内容。下的一章，也是十分重要的内容。 4. 本次课的内容及要求本次课的内容及要求 了解形变、位移的概念及位移的种类了解形变、位移的概念及位移的种类 明确位移计算的目的。明确位移计算的目的。 掌握变形体系的虚功原理（本次课重掌握变形体系的虚功原理（本次课重 点）。点）。 一、变形与位移一、变形与位移 变形：结构在外部因素作用下发生的形变形：结构在外部因素作用下发生的形 状的变化。状的变化。 位移：结构上点的移动和面或杆的转动。位移：结构上点的移动和面或杆的转动。 两者之间的关系：有形变必有位移；有两者之间的关系：有形变必有位移；有 位移不一定有形变

4、。位移不一定有形变。 有形变有位移有形变有位移有位移无形变有位移无形变 结构力学虚功原理 一、变形与位移一、变形与位移 A A A A Ax Ay FP Ax Ay 结构力学虚功原理 BA AB DCCD B A右 A左 A左右 A AB A D CD C A A A B Ax A Ay 结构力学虚功原理 A A A P Ax Ay t 结构力学虚功原理 铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定: (1) 刚度要求刚度要求 在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度； 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度最大挠度 1/

5、700 和和1/900跨度跨度 高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。 最大层间位移最大层间位移 1/800 层高。层高。 (2) 超静定、动力和稳定计算超静定、动力和稳定计算 (3）施工要求）施工要求 结构力学虚功原理 （3）理想联结）理想联结 (Ideal Constraint)。 （principle of superposition) (1) 线弹性线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形小变形 (Small Deformation), (Dummy-Unit Load Method) 结构力学虚功原理 (Principle of Virtu

6、al Work) 一、功一、功(Work)、实功、实功(Real Work)和虚功和虚功 (Virtual Work) 功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量 力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力方向上的位移 实功：力在自身所产生的位移上所作的功实功：力在自身所产生的位移上所作的功 P PW 2 1 虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功 t PW P Ct t 结构力学虚功原理 (Principle of Virtual Work) 一、功一、功(Work)、实功、实功(Real Work)和虚功和虚功 (Virtual W

7、ork) 1 P 11 12 2 P 21 22 1 P 2 P 12 位移状态位移状态 （虚力状态） （虚位移状态） （1）属同一体系；）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移）均为可能状态。即位移 应满足变形协调条件应满足变形协调条件； 力状态应满足平衡条件。力状态应满足平衡条件。 （3）位移状态与力状态完全无关；）位移状态与力状态完全无关； 结构力学虚功原理 (Principle of Virtual Work) 二、广义力二、广义力(Generalized force)、广义位移、广义位移 (Generalized displacement) P-广义力广义力; -广义位移广义位移

8、P PWMW M A B M M MMMMW BABA )( PP A B P P PPW BA BA )( 结构力学虚功原理 刚体系的虚功原理刚体系的虚功原理 去掉约束而代以相应的去掉约束而代以相应的 反力，该反力便可看成外反力，该反力便可看成外 力。力。 在具有理想约束的刚体在具有理想约束的刚体 体系上体系上,如果力状态中的力如果力状态中的力 系满足平衡条件系满足平衡条件,位移状态位移状态 中的刚体位移与几何约束中的刚体位移与几何约束 相容相容,则作用于刚体系的所则作用于刚体系的所 有外力所做虚功之和为零。有外力所做虚功之和为零。 FP Ax F B F Ay F P B - -FP P

9、+FB B=0 虚功原理虚功原理 结构力学虚功原理 1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间平衡力状态之间-虚位移原理虚位移原理 例例. 求求 A 端的支座反力端的支座反力(Reaction at Support)。 解：去掉解：去掉A端约束并代以反力端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态，构造相应的虚位移状态. AB a C (a) b P X (b) P X C (c) 直线直线 待分析平衡的力状态待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态虚设协调的位移状态 0 CX PX由外力虚功总和为零，即：由外力虚功总和为零，即： ba CX

10、 / 将将代入得代入得:abPX/ 通常取通常取 xX 1 单位位移法单位位移法(Unit-Displacement Method) (1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是 实际受力状态的平衡方程实际受力状态的平衡方程 (2)虚位移与实际力状态无关虚位移与实际力状态无关,故可设故可设 (3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 (4)用几何法来解静力平衡问题用几何法来解静力平衡问题 0 B M 1 x 例题例题9-1 用单位位移法求图用单位位移法求图a 所示多跨静定梁的支座反力所

11、示多跨静定梁的支座反力 FBy和截面和截面E处的弯矩处的弯矩ME。 解解：（：（1）求）求支座反力支座反力FBy 12 13 , 24 P1 1P22 虚功方程：X 1+F+F=0 1 122 13 22 24 PPPPP XFFFFF （2）求）求截面截面E处的弯矩处的弯矩ME 12 , 2 a a P1 1P22 虚功方程：X 1+F+F=0 1 122 20 2 PPPP a XFFF aF 结构力学虚功原理 例例. 求求 A 端支座发生竖向位移端支座发生竖向位移 c 时引起时引起C点的竖向位移点的竖向位移 . 2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实

12、际的协 调位移状态之间调位移状态之间-虚力原理虚力原理 解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之 点（点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。 A B a C b A C c 1 AB C A Y 由由 求得：求得： 0 B MabYA/ 01cYA acb/解得：解得： 这是虚单位荷载法这是虚单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 它是它是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874提出，故也称为提出，故也称为 Maxwell-Mohr Method (1)所建

13、立的虚功方程所建立的虚功方程, 实质上是几何方程实质上是几何方程。 (2)虚设的力状态与实虚设的力状态与实 际位移状态无关，故际位移状态无关，故 可设单位广义力可设单位广义力 P=1 (3)求解时关键一步是求解时关键一步是 找出虚力状态的静力找出虚力状态的静力 平衡关系。平衡关系。 (4)是用静力平衡法来是用静力平衡法来 解几何问题。解几何问题。 虚功方程为：虚功方程为： 结构力学虚功原理 单位位移法的虚功方程单位位移法的虚功方程 平衡方程平衡方程 单位荷载法的虚功方程单位荷载法的虚功方程 几何方程几何方程 第一种应用一些文献称为第一种应用一些文献称为“虚位移原理虚位移原理”， 而将第二种应用

14、称为而将第二种应用称为“虚力原理虚力原理”。更确切的。更确切的 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题，性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。它们和虚功原理是有区别的。 虚位移原理虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是一个力系平衡的充分必要条件是:对对 任意协调位移任意协调位移,虚功方程成立虚功方程成立. 虚力原理虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是一个位移是协调的充分必要条件是:对对 任意平衡力系任意平衡力系,虚功方程成立虚功方程成立”。 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 结

15、构力学虚功原理 121212 121212 NQ NQ dVFdxFdxMdx F duF dvM d 121212 121212 NQ NQ VFdxFdxMdx F duF dvM d 微段上虚应变能为： 微段虚应变能沿杆长进行积分，然后 对结构所有杆件求和可得，结构体系 虚应变能为： 结构力学虚功原理 原理的表述：原理的表述： 设变形体系在力系作用下保持平衡（力状态），设变形体系在力系作用下保持平衡（力状态）， 同时该变形体系在其他原因产生符合约束条件的同时该变形体系在其他原因产生符合约束条件的 微小连续变形（位移状态），则力状态的外力在微小连续变形（位移状态），则力状态的外力在 位移状

16、态的位移上所做的虚功位移状态的位移上所做的虚功We，恒等于，恒等于力状态力状态 的内力的内力在位移状态的相应变形上所做的虚功，在位移状态的相应变形上所做的虚功， 即虚应变能。即虚应变能。 外力虚功外力虚功W = =虚应变能虚应变能V V 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 结构力学虚功原理 1 21 212 121212 NQ NQ WVFdxFdxMdx F duF dvM d 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 对于杆件结构，虚功原理表达式为：对于杆件结构，虚功原理表达式为： 结构力学虚功原理 结构力学虚功原理 1 122 1WRcR cRc NQ lll VF duF dvMd NQ lll

17、 RcF duF dvMd NQ lll F duF dvMdRc WV 结构力学虚功原理 9-3 9-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法 在虚拟的力状态中，于所求位移点在虚拟的力状态中，于所求位移点 沿所求位移方向施加一个单位荷载，以沿所求位移方向施加一个单位荷载，以 使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位使荷载虚功恰好等于所求位移的计算位 移方法。移方法。 单位荷载法：单位荷载法： 位移为广义位移，力是与广义位移对位移为广义位移，力是与广义位移对 应的广义力。应的广义力。 9-3 9-3 位移计算的一般公式位移计算的一般公式 单位荷载法单位荷载法 说明：说明： 荷载

18、指向可任意，如果计算结果为正，荷载指向可任意，如果计算结果为正， 位移和单位荷载方向相同，反之相反。位移和单位荷载方向相同，反之相反。 如何设置虚拟状态：如何设置虚拟状态： D y求 D 求 CDDC 求 D D P=1 M=1 D C P=1 P=1 求求A、B两点沿连线两点沿连线 方向的相对线位移方向的相对线位移 结构力学虚功原理 求求K截面的转角截面的转角求桁架中某一杆件求桁架中某一杆件 的角位移的角位移 结构力学虚功原理 求两个截面的相对求两个截面的相对 角位移角位移 求桁架中两个两个求桁架中两个两个 杆件的相对角位移杆件的相对角位移 9-4 9-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位

19、移计算 ppp i KP ddsdu C 、变形： 位移实际状态 0 )( Q P K M N、内力： 外力： 力虚拟状态 1 )( 0 i C dudsd 实际状态 变形：、 N 1 FM P Q F F 虚拟状态 外力： 内力： 、 9-4 9-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 NQ F duF dvMd Pp MM l ddxdx EI EI () NP NP F F l dudxdxuE EA EA () QP QP kF kF dvdxdxG GA GA 若若M MP P、N NP P、Q QP P表示实际状态中微段上的内力。表示实际状态中微段上的内力。 由材料力学知：由

20、材料力学知： 9-4 9-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 其中：其中： E E材料弹性模量材料弹性模量 I I 杆件截面的惯性矩杆件截面的惯性矩 A A杆件截面的面积杆件截面的面积 G G剪切弹性模量剪切弹性模量 K K剪应力沿截面分布不均匀引起的改正剪应力沿截面分布不均匀引起的改正 系数系数 5 6 K 9 10 K 矩形：矩形： 圆：圆： 9-4 9-4 荷载作用下的位荷载作用下的位 移计算移计算 NQM FF式中 、 、 代表虚拟力状态中由于单位荷载产生的内力 Q N QP NPP lll kF F dx F F dxMM dx EIEAGA NPQP MFF式中、代表结构

21、实际状态的内力 9-4 9-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 P MM dx EI NN N PN P F FdxF Fl EAEA NN d PP P MMxF F l EIEA 结构力学虚功原理 内力的正负号规定如下：内力的正负号规定如下： 轴力轴力 以拉力为正；以拉力为正； NN , FF P 剪力剪力 使微段顺时针转动使微段顺时针转动 者为正；者为正； QQ ,FF P 弯矩弯矩 只规定乘积的正负只规定乘积的正负 号。使杆件同侧纤维受拉时，号。使杆件同侧纤维受拉时， 其乘积取为正。其乘积取为正。 MM P , 结构力学虚功原理 例9-2 求CV 解解: 加单位荷载加单位荷载 2 1 2 () 2 P Mx q Mlxx 由于结构荷载对称由于结构荷载对称 4 22 23 00 15 2()()( ) 2 2384 ll CV x qqql lxx dxlxx dx EIEIEI 分别求出实际荷载和单位荷分别求出实际荷载和单位荷 载作用下梁的弯矩载作用下梁的弯矩