北京交通大学电磁波教案

1、电磁场与电磁波课程教学大纲 课程编号：适用专业： 课程层次：本科学位课学 时 数：64 学 分 数：4执 笔 者： 李一玫 编写日期： 2003年12月22日 一、课程的任务和教学目标 本课程是为电子通信类本科生开设的专业技术基础课，具有较完整的理论体系和较高的实用价值。通过本课程的学习，学生应全面了解电磁场的理论体系，基本掌握分析和计算电磁场的系统方法，进一步提升空间思维能力和数学计算能力，并对基本的电磁场和电磁波的分布有正确的理解和认识。二、课程教学内容和学时分配 第一章 矢量分析 8学时 重点：直角坐标、圆柱坐标和球坐标的矢量微积分计算； 难点：梯度、散度、旋度的物理意义。第二章 静电场

2、 12学时 重点：静电场的基本理论、分析方法和基本计算； 难点：有关介质极化问题的计算、边界条件的正确应用以及场和源之间的计算。第三章 恒定电场 4学时 重点：恒定电场的基本理论和静电比拟的分析方法； 难点：电流密度和电导的有关计算。第四章 恒定磁场 10学时 重点：恒定磁场的基本理论和基本计算； 难点：磁场的计算和电感的计算。第五章 边值问题 8学时 重点：分离变量法、镜像法； 难点：分离变量法。第六章 时变电磁场 11学时 重点：麦克斯韦方程组、边界条件和坡印廷定理； 难点：无源区电磁场的互求和坡印廷矢量的计算及其物理意义。第七章 平面波 11学时 重点：均匀平面波在各媒质中的传播特性及垂

3、直入射问题； 难点：均匀平面波的解的数学描述及其意义、波的极化的判定和良导体表面损耗功率的计算。三、课程教学安排及要求 教学时间每周4学时，共计16周结课。教学环节主要包括：课堂讲授、作业和答疑。其中，课堂讲授采用多媒体电子教案包含文字、公式、图片、动态演示、动画播放、实物及照片展示等，约占5860学时，课件的演示约占0.5课时，习题课约占4课时；作业方面主要要求通过做习题进一步理解和掌握所学概念、定义、定理及定律，重在对不同的边界条件做具体灵活的应用，并掌握一定的计算技巧。全课程总作业量约90110题，以计算题为主，约占90，兼有少量推导题和讨论题，约占10。答疑每周2学时。四、课程的考核

4、课程考核以期终考试为主，可选择闭卷考试和半开卷考试两种方式。闭卷考试计算步骤、应用公式所占分值约70，计算结果约占30；半开卷考试允许学生带一张A4纸，计算步骤、应用公式所占分值应低于闭卷考试。平时作业在课程成绩中约占1520。 五、本课程与其它课程的联系与分工 本课程的先修课：大学物理，高等数学等 本课程的后续课：微波、天线、电波传播、电磁兼容等 六、建议教材及教学参考书 建议教材：电磁场与电磁波理论基础中国铁道出版社 陈乃云主编 2001年第一版建议教参：电磁场与电磁波 高等教育出版社 谢处方等主编 1999年第三版教学重点第一章 矢量分析第一章 矢量分析 基本内容 深刻理解标量场和矢量场

5、的概念； 深刻理解散度、旋度和梯度的物理意义并熟练计算这三个度； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容 重点内容 在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 第二章 静电场第二章 静电场基本内容 （1）掌握静电场各基本物理量的名称、单位和意义；（2）了解库仑定律的内容并会计算两个点电荷间的作用力；（3）了解介质极化的本质和模型，并会计算极化电荷；（4） 熟练使用静电场的基本方程和边界条件求解电场；（5）熟练使用电位方程求解一维场的解；（6）一般了解格林定理和唯一性定理；会计算常见电容器的电容；

6、（7） 一般计算静电能和静电力 重点内容 熟练利用直接积分法、高斯定律、解电位方程等解决源和场的互求问题，并计算常见电容器的电容。 第三章 恒定电场 第三章 恒定电场基本内容 掌握电流密度的概念和计算； 了解电流连续性方程及其物理意义； 掌握恒定电场的基本方程及边界条件，并熟练计算电场、电流和电荷分布； 利用静电比拟法计算电导。 重点内容 掌握各种电流分布下电流密度与电流强度的计算；利用静电比拟法计算电导 第四章 恒定磁场 第四章 恒定磁场基本内容 （1）掌握恒定磁场各基本物理量的名称、单位和意义；（2）了解安培力定律的内容并会计算两个电流间的作用力；（3）会使用比奥-沙伐定律计算对称分布的磁

7、场；（4）了解介质磁化的机理和模型，并会计算磁化电流；（5）熟练使用恒定磁场的基本方程和边界条件求解磁场；（6）一般了解矢量磁位和标量磁位并会进行简单计算；（7）会计算互感和自感；一般计算磁场能和磁力 重点内容 熟练利用比奥-沙伐定律、安培定律解决源和场的互求问题，并计算常见元件的互感和自感。 回到页首 第五章 边值问题第五章 边值问题基本内容 分离变量法和静像法的应用和计算 重点内容 直角坐标的分离变量法；直角坐标、球坐标的镜像法第六章 时变电磁场第六章 时变电磁场基本内容 掌握法拉第电磁感应定律的内容并会计算；了解位移电流的假说；熟记麦克斯韦方程及边界条件；熟练使用麦克斯韦方程和边界条件求

8、解电磁场；熟练使用波动方程求解电磁场的解；一般了解矢量位和标量位； 熟练使用复数形式表示和计算正弦电磁场； 了解玻印廷定理的内容并熟练计算波印廷矢量。 重点内容 熟练利用麦克斯韦方程、边界条件解决正弦电场和磁场的互求问题及源分布，并熟练计算玻印廷矢量。 到页首 第七章 平面波第七章 平面波基本内容 了解电磁波的基本概念；熟练掌握均匀平面波在无耗及有耗媒质中的解及其传播特性；熟练计算；波长、频率、相速、相移常数、本征阻抗；掌握电磁波的三种极化状态，并会判别；熟练掌握均匀平面波的垂直入射问题；一般掌握均匀平面波的斜入射问题。 重点内容 熟练掌握均匀平面波及其所有参数的计算，掌握趋肤效应的概念及趋肤

9、深度、良导体的损耗功率的计算，掌握垂直入射的计算。 参考作业第一章 矢量分析1.1 给定三个矢量A，B和C如下： A =axay2az 3 B=ayaz C=axaz求（1）aA；（2）AB；（3）AB；（4）qAB；（5）A在B上的分量； （）AC；（7）A（BC）；(8)( AB)C和A(BC) 答案 1.2 三角形的三个顶点为P1 (0,1,-2)、P2 (4,1,-3)和P3(6,2,5)。 （1） 判断P1 P2 P3是否为一直角三角形； （2） 求三角形的面积。 答案1.3 求P(, 1, 4 )点到P(2, 2, 3 )点的距离矢量R, R的方向如何? 答案1.4 给定两矢量A=

10、 axay2az3和B=ax 4ay5az6,求它们间的夹角和A在B上的分量。答案 1.5 给定两矢量A= ax2ay3az4和B=ax6ay4az,求AB在Caxayaz上的分量。 答案1.6 证明：如果AB = AC和AB = AC, 则B = C。 答案1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p= AX而P= AX，p和P已知，试求X。 答案1.8 圆柱坐标中，一点的位置由（4，2/3，3）定出，求该点在（1）直角坐标中；（） 球坐标中的坐标。 答案1.9 用球坐标表示的场E=ar（25/r2），（1） 求在点（3，4，5）处的

11、| E |和Ex；（2） 求E与矢量Baxayaz构成的夹角。 答案1.10球坐标系中两个点(r1, q1, j1)和(r2, q2, j2)定出位置矢量R1和R2。证明R1和R2间夹角的余弦为 cos=sinq1sinq2cos（j1j2）cosq1cosq2提示：cos= R1R2/R1R2，在直角坐标中计算R1R2。 答案1.11一球面S的半径为5, 球心在原点上, 计算 ( ar 3sinq) dS的值。 答案1.12 在由r=5，z=0和z=4围成的圆柱形区域, 对矢量A= ar r2az2z验证散度定理。答案1.13 求(1) 矢量A = axx2ay(xy)2az 24x2y2z

12、3的散度；（2）求A对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。答案1.14 计算矢量r对一个球心在原点半径a的球表面的积分，并求r对球体积的积分。答案1.15 求矢量A=axxayx2az y2z沿xy平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两个边分别与x轴和y轴相重合。再求A对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。 答案1.16 求矢量A=axx2ay xy2沿圆周x2y2=a2的线积分，再计算A对此圆面积的积分。答案1.17 证明：（1）R=3，（2）R=0，（3）（AR）=A其中R=axxay yazz，A为一常矢量。 答案1.18

13、 一径向矢量场用F =arf（r）表示，如果F=，那么函数f（r）会有什么特点呢？答案1.19 给定矢量函数E=axyayx，计算从点P1（2，1，-1）到P2（8，2，-1）的线积分：Edl（1）沿抛物线x=2y2；（2）沿连接该两点的直线，这个E是保守场吗？答案1.20 求标量函数=x2yz的梯度及在一个指定方向的方向导数。此方向由单位矢量ax 1/3ay2/3az2/3定出；求（2，3，1）点的导数值。 答案1.21 试采用与推导（1.46）式相似的方法推导(1.63)式。 答案1.22 方程 u= 给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。 答案1.23三个矢量A,B,C A =

14、 ar sinqcosjacosq cosjajsinj B= arz2 sinjajz2 cosjaz 2rz sinj C = ax (3y22x)ayx2az2z(1) 哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示；哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示；(2) 求出这些矢量的源分布。 答案1.24利用直角坐标，证明 （f A）= fAAf 答案1.25 证明 (AH)= HAAH 答案 1.26 利用直角坐标，证明（fG）=fGfG 答案 1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更广泛的意义下证明 (u)=0及 (A)=0。试证明之。 答案提示：利用证明对任意表面S，s(u) dS=cudl=

15、0和证明对于任意闭合面包围体积，t (A)d= (A) dS=0 第一章 矢量分析 习题答案 1.解：(1)aA=AA=(ax+ay2-az3) (2) |A-B|= (3) AB=-11 (4) cosqAB= ABAB=-11 qAB 135.5 (5) AB=A cosqAB = -11 (6) AC=-ax4-ay13-az10 (7) A(B C)= ABC= -42 (8) (AB)C=ax2-ay40+az5 A(BC)=ax 55-ay 44- az 11 返回2.解：(1)P12= ax4-az P23= ax 2+ay +az 8 P12P23=0 P12 P23 DP1P

16、2P3是直角三角形 (2)S= P12P232=17.12 返回3.解：R=RP-RP= ax 5-ay 3-az aR=RR= (ax 5-ay 3- az ) 返回4.解：cosqAB= ABAB0.365 qAB68.56 AB=A cosqAB 1.3676 返回5.解：AB= ax13+ ay22+az10 (AB)C= (AB)C C-14.43 返回6.解：法(一)：对AB= AC两边取A的叉乘： A(AB)= A (AC) (AB)A-(AA)B= (AC) A-( AA)C 将AB= AC代入即得B=C 法(二):：AB= AC A(B-C)=0 A (B-C) AB= AC

17、 A(B-C)=0 A/ (B-C) 只有B-C=0即B=C 法(三)： AB= AC A(B-C)=0 A| B-C| cosq=0 AB= AC A(B-C)=0 A| B-C| sinq=0 两式平方相加: A2| B-C|2=0： B=C 法(四)：AB= AC ABcosq1= ACcosq2 AB= AC ABsinq1 = ACsinq2两式相比，得：tanq1=tanq2 q1、q20, q1=q2 B= C又由AB= AC可知B、 C在A的同侧 B= C 返回 7.解：P=AX AP= A(AX) = (AX)A-( AA)X 代入p= AX得 AP= p AA2X X= (

18、p A- AP)A2 返回8.解：(1)在直角坐标中： x=rcosq=2 y=rsinq=2 z=3 (-2,2 ,3) (2)在球坐标中： rs=(x2+y2+z2)12=5 q=tg-1(rz) 53.1 j=tg-1(yx)=120 (5,53.1,120) 返回9.解：(1) r2=x2+y2+z2=(-3)2+42+(-5)2=50 E=25r2=0.5 Ex=E xr-0.2121 (2) E=Ear=(axx+ayy+azz)r=(-ax3+ay4-az5) cosq=EBEB-0.8955 q98.2 返回10.证：球坐标与直角坐标的关系为 x=rsinqcosj y=rsi

19、nqsinj z=rcosq 因此，在直角坐标中， R1=ax r1sinq1cosj1+ay r1sinq1sinj1 +az r1cosq1 R2=ax r2sinq2cosj2+ay r2sinq2sinj2 +az r2cosq2 cosg= RR2R1R2 =( r1sinq1cosj1 r2sinq2cosj2+ r1sinq1sinj1 r2sinq2sinj2+ r1cosq1 r2cosq2)r1r2 = sinq1sinq2(cosj1cosj2+ sinj1sinj2)+ cosq1cosq2 = sinq1sinq cos(j1-j2)+ cosq1cosq2 返回11

20、.解：s (ar3 sinq)dS=s 3sinqdSr = 3 sinqr2 sinqdqdj=75p2 返回 12.解：A=1r (rAr)r+1r Ajj+Azz=3r+2 tAdt= (3r+2)rdrdzdj=1200p s AdS=s r2dSr+2zdSz= r2 rdzdj+ 2zrdrdj=1200p tAdt=s AdS 从而验证了散度定理。 返回13.解：(1) A=(Ax)x+ Ayy+Azz=2x+2x2y+72x2y2z2 (2) tAdt= (2x+2x2y+72x2y2z2)dxdydz=124 (3)s AdS=(Axx=0.5-Axx=-0.5)dydz+(

21、Ayy=0.5-Ayy=-0.5)dxdy+(Azz=0.5-Azz=-0.5)dxdy =124 tAdt=s AdS 返回 14.解：s rdS= r r2 sinqdqdj=4pa3 trdt=t1r2 (r2 r)r r2 sinqdrdqdj=4pa3 返回15.解：c Adl=c Ax dx+ Aydy+ Azdz = Axy=0dx+ Ayx=2dy+ Axy=2dx+ Ayx=0dy=8 A=ax2yz+az2x sAdS= ( ax2yz+az2x)azdxdy=8 c Adl= sAdS 从而验证了斯托克斯定理。 返回16.解：x=rcosq y=rsinq dl=adqa

22、q aq=-axsinq+aycosq c Adl= (axx2ay xy2)a(-axsinq+aycosq)dq = (-a2cos2qsinq+a3cosqsin2qcosq)adq=pa44 A=azy2=azr2sin2q sAdS= azr2sin2qazrdrdq=pa44 c Adl= sAdS 返回17.证：(1) R=Rxx+Ryy+Rzz=3 (2)R=0 (3) (AR)= (xox+yoy+z0z)=axx0+ayy0+azz0=A 返回18.解：F=1r2 (r2Fr)r=0 r2 f (r)r=0 r2 f (r)=c f (r)=c r2 返回19.解：(1)

23、c1Edl=c1( axyayx) ( axdxaydy)= c1ydxxdy = (y4ydy+2y2dy)=14 (2)直线方程为x-6y+4=0 并有dx=6dy c2Edl=c2( axyayx) ( axdxaydy)= c2ydxxdy = y 6dy+(6y-4)dy=14 E=yx+ayxy=0 这个E是保守场。 返回20.解：y=axyx+ayyy+azyz= ax2xyz+ayx2z+azx2y 方向导数dydl=yal= (6xyz+4x2z+5x2y) dydl(2,3,1)=112 返回21.解：球坐标中的算符为 =arr+aqr q+ajrsinq j ar r=0

24、 arq=aq arj=ajsinq aqr=0 aqq= -aj aqj=ajcosq aj r=0 ajq=0 ajj= -arsinq -aqcosq A=( arr+aqr q+ajrsinq j)( arAr+ arr+aqAq+ajAj) = ar( arArr +Aq aqr +aqAqr +Ajaj r+ajAjr) + aqr( Ararq+ arArq+ Aqaqq+aqAqq+Ajajq) + ajrsinq (Ararj+ arAr j+Aqaqj+aqAqj+Ajajj+ajAjj) =(Arr+2r Ar)+(1r Aqq+ cosqrsinq Aq)+1rsinq

25、 Ajj =1r2 (r2Ar)r+1rsinq (sinqAq)q+1rsinq Ajj 返回22.解：u=ax2x a2+ay2y b2+az2z c2 n=uu = (ax2x a2+ay2y b2+az2z c2)(x2 a4+y2 b4+z2 c4) - 返回23.解：(1)A=0 A=0 B=0 B=2rsinj C=az(2x-6y) C=0 AB可由一个标量函数的梯度表示； AC可由一个矢量函数的旋度表示。 (2)rA=0, JA=0 rB=2 rsinj JC=az(2x-6y) 返回24.证：fA=axfAx+ayfAy+azfAz (fA)=( fAx)x+(fAy)y+

26、(fAz)z =Axfx+ f Ax x+Ayfy+fAy y+Azfz+fAz z =f(Ax x+Ay y+Az z)+( Axfx+ Ayfy+ Azfz) =fA+Af 返回25.证：A=ax(Az y-Ay z)-ay(Az x-Ax z)+az(Ay x-Ax y) AH= ax(AyHz-Az Hy)-ay(AxHz-Az Hx)+az(AxHy-Ay Hx) (AH)= (AyHz-Az Hy) x-(AxHz-Az Hx) y+(AxHy-Ay Hx)z = HzAy x+ AyHz x-Hy Az x -Az Hy x-HzAx y-AxHz y + HxAz y+Az H

27、x y+HyAx z+AxHy z- HxAy z-Ay Hxz =(Az y-Ay z) Hx-(Az x-Ax z) Hy+az(Ay x-Ax y) Hz = -(Hz y-Hy z)Ax+ (Hz x-Hx z) Ay- az(Hy x-Hx y) Az =HA- AH 返回 26.证：fG=ax fGx+ay fGy+az fGz (fG)= ax (fGz) y-(fGy) z -ay(fGz) x-(fGx) z+az (fGy) x-(fGx) y = ax(Gzf y +fGz y-Gyf z - f Gy z-ay(Gzf x+fGz x-Gxf z-fGx z) + az

28、(Gyf x+ fGy x-Gxf y-fGx y) =f ax(Gz y-Gy z -ay(Gz x-Gx z)+az (Gy x-Gx y) + ax(Gzf y-Gyf z)-ay(Gzf x-fGx z)+az(Gyf x-fGx y) =fG+(axfx+ayfy+azfz) G = fG+fG 返回 27.证：(1)取任意表面S设其边界曲线为c，则根据斯托克斯定理，有 s(u) dS=cudl 由梯度与方向导数的关系得 du=udl 代入上式得 s(u) dS=cdu=0 由于S面是任意取的，(u)=0 (2)任取一闭合面S，设其包围的体积为t，则由散度定理有 t (A)dt =s

29、AdS 现将S分为两部分S1和S2，则其分界线为闭合曲线c。由于S1、S2的方向是S的外法向，按照绕行方向与面积方向应满足右手关系的原则，c在S1上的绕行方向与在S2上的相反。因此，利用斯托克斯定理，有 sAdS=s1AdS+s2AdS =cAdl-cAdl=0 由于S面是任意取的，因此t也是任意的，所以有 (A)=0 返回回到页首 第二章 静电场 2.1 两点电荷q1=，位于Z轴上Z=4点，q2=，位于y轴上y=4点，求(4,0,0)点的电场强度。 答案 2.2 一半径a的圆环，环上均匀分布电荷，密度为lC/m，求轴线上任一点的电场。答案 2.3 将上题中的圆环改为半圆环，电荷密度为lC/m

30、，求圆心处的电场。答案 2.4 三根长度均为L，均匀电荷线密度分别为l1, l2和l3的线电荷构成等边三角形。设l1=2l2=2l3，计算三角形中心处的电场。答案 2.5 半径a的球中充满密度(r)的电荷，已知电场为 Er= 求电荷密度(r)。答案 2.6 电荷均匀分布于两平行的圆柱面间的区域中，密度为C/m3，两圆柱半径分别为及,轴线相距C且）的同轴圆柱表面分别带有面电荷密度S1 和S2，(1)计算各处的E；(2)欲使处E=，则S1和S2应具有什么关系？答案2.14 电场中有一半径为的圆柱体，已知圆柱内外的电位为 F=0 (ra) F=A(r-a2 /r)cosj (ra)(1)求圆柱内外的

31、电场强度；(2)这个圆柱是什么材料制成？表面有电荷吗?试求之。答案2.15 验证下列标量函数在它们各自坐标中满足拉普拉斯方程： (1) sinkxsinlye-kz，其中h2=k2+l2 (2) rn(cosnj+Asinnj) (圆柱坐标)(3) r-n cosnj (圆柱坐标)(4) rcosq，r-2 cosq (球坐标) 答案2.16 用求解电位的微分方程的方法重解2.11题。答案 2.17 已知的空间中没有电荷，下列几个函数哪些是可能的电位的解？ (1) e-ychx (2) e-ycosx (3) e-2ycosx sinx (4) sinx siny sinz 答案 2.18 两

32、无限大平行板电极,距离，电位分别为和V0V，板间充满密度为r0x s的电荷，求电位分布和极板上的电荷面密度。答案 2.19 q为何值时z方向的电偶极子的电场没有z分量? 答案 2.20 一个电偶极子p放置于均匀电场E0中，证明作用于电偶极子的力矩为T=p E0；如果电偶极子是处于不均匀的电场中E，则它还要受到一个力F=(p)E，而围绕任意原点的力矩为r(p)E+p E。试证明之。答案 2.21 偶极矩为p1和p2的两个电偶极子相距为，求这两个偶极子之间的相互作用能和相互作用力。答案 2.22 考虑一个以偶极子为球心半径为的假想球面。证明球面外的总能量是 W=p2 (12pe0a3) 答案 2.

33、23在中心位于原点，边长为L的电介质立方体内极化强度矢量为P=P0(axx+ayy+azz) (1)计算面和体束缚电荷密度； (2)证明总束缚电荷为零。 答案2.24 计算一个小球形空腔中心处的电场强度，此空腔是从一大块其中存在极化强度P的电介质挖空的。答案 2.25 一个半径R的介质球，含有均匀分布的自由电荷，证明中心点的电位是 答案 2.26 一个半径R的介质球内极化强度为P=arK r，其中K是一常数， (1)计算束缚电荷的体密度和面密度； (2)计算自由电荷密度；(3)计算球内外的电位分布。答案2.27 证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能有束缚电荷体密度； (2)导出束缚电荷密度

34、rp的表示式。 答案 2.28 两电介质的分界面为=平面。已知er1=2和er2=3，如果已知区域中的 E1=ax2y-ay3x+az(5+z)我们能求出区域2中哪些地方的E2和D2呢？能求出2 中任意点的E2, D2吗？答案2.29 电场中有一半径的介质(e)球，已知 F1=E0rcosq + a3E0 (ra) F2=- E0rcosq (ra)验证球表面的边界条件，并计算球表面的极化电荷密度。答案2.30 平行板电容器的长宽为和，板间距离为。电容器的一半厚度(0d/2)用电介质 填充。板上外加电压U，求板上的自由电荷密度,极化电荷密度和电容器的电容量。答案2.31 厚度为的无限大介质板(

35、电容率e)，放置于均匀电场E0中，板与E0成角q1，求使q2=p4时的q1的值。求板的两表面的束缚电荷密度。答案2.32 在电容率e的无限大均匀介质中，开有如下几个空腔，求各空腔中的E和D：(1)平行于E的针形空腔；(2)底面垂直于E的薄盘形空腔。答案2.33 在面积为S的平行板电容器中填充电容率作线性变化的介质，从一极板（=）处的e1一直变化到另一极板(y=d)处的e2，求电容量。答案2.34 圆柱形电容器外导体内半径为，当外加电压固定时，求使电容器中的电场强度取最小值的内导体半径的值和这个Emin的值。答案2.35 同轴电容器内导体半径为，外导体内半径为，在部分填充电容率为的电介质。求单位

36、长度的电容。答案2.36 平行板电容器板间距离为，面积为S，在它的极板间放进一块面积S，厚度的介质板(相对电容率er)，求电容量。答案2.37 有一半径a带电量q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电容率分别为e1和e2，分界面可视为无限大平面。求(1)球的电容；(2)总静电能。答案2.38 把一电量为q，半径为a的导体球切成两半，求两半球之间的电场力。答案2.39 两平行的金属板, 板间距离为d,竖直地插在电容率为e的液体中，板间加电压U，证明液面升高 h= (e-e0)( )2为液体的质量密度。答案2.40 可变空气电容器，当动片由00至1800旋转时，电容量由25pF至3

37、50pF直线地变化，当动片为q角时，求作用于动片上的力矩，设在动片与静片间电压为方便用户400V。答案2.41 证明：同轴线单位长度的静电储能等于ql2/（2C0）。答案2.42 如果不引入电位，静电场问题也可以通过直接求解E的微分方程而得到解决，（） 证明：有源和无源区域内的E的微分方程分别是 2E=rt e0 ， rt =r+rP和2E=0（） 证明：E的解是 E= - 答案 第二章 静电场 习题解答 2.1解：点电荷的电场E=QaR4pe0R2 q1在场点产生E1= aR1=(ax-az) 16 pe0 q2在场点产生E2= aR2=(-ax+ay) 32 pe0 E=E1+E2=(ax

38、+ay-2az) 32 pe0 V m 返回2.2解：由环的轴对称性可知E只有z分量，即 Ez=Ecosq=E z R=E z dq=rldl=rladj Ez= = dj = 返回 2.3解：设关于半圆环对称的轴线为x轴，则半圆环在圆心处只有Ex分量 E=axEsinq=ax dq=ax Vm 返回2.4解：返回2.5解：r(r)=e0E=e0 r2 (r2Er) r=e0(5r2+4Ar) (ra) 返回2.6解：各区域场强可看作是充满r的大柱和充满-r的小柱的场的迭加。 由高斯定律DdS=trdt可得柱内外的场强 大柱：r1b e0Eb22pr1l=rpb2l Eb2=rb2r1 2e0

39、r12 小柱：r2a Ea2=-ra2r2 2e0r22 于是可得各区域场强： 空腔内： E= Ea1+ Eb1= (r1- r2)r 2e0=cr 2e0 两柱之间：E= Ea2+ Eb1=(r1- r2a2r22)r 2e0 大柱外： E= Ea2+ Eb2=(r1b2r22- r2a2r22)r 2e0 返回2.7解：（1）取无穷远处=0，则 F= = = (2)由直线L对其平分面的对称性可知，在该平面上E只有Er分量 dEr=dEsinq sinq=r R= Er= = = = -F= -arF r = -ar =ar E= -F 返回2.8解：W=Fdl=qEdl= -2(axy+ayx)( axdx+aydy) = -2ydx+xdy(1)W1= -2 (y 4y+2 y2)dy= -28 J (2)两点间直线方程为x-6y=8 W2= -2 (y 6+6y+8)dy = -28 J 返回2.9证： ra r= -3Ze 4pra3 由高斯定律sEdS=Q/0 可得 Er4r2=(Ze+4r2/3)/0 E=ar