2.4 二元线性回归模型及参数估计[上课课堂]

1、二元线性回归模型的估计二元线性回归模型的估计 最简单的多元线性回归模型是二元线性回归模型，最简单的多元线性回归模型是二元线性回归模型， 即具有一个被解释变量和两个解释变量的线性回归模即具有一个被解释变量和两个解释变量的线性回归模 型：型： ii X i X i Y 22110 ， i=1，2，n 。 1课堂节课 一、一、二元线性回归模型的参数估计二元线性回归模型的参数估计 1偏回归系数的估计偏回归系数的估计 对于二元线性回归模型： ii X i X i Y 22110 ，i=1，2，n ， 其中的参数 0 、 1 、 2 称为偏回归系数。 所谓所谓偏回归系数偏回归系数，是指多元线性回归模型中解

2、释变量前，是指多元线性回归模型中解释变量前 的系数。的系数。其含义是：当其他解释变量保持不变时，某一解释变其含义是：当其他解释变量保持不变时，某一解释变 量变化一个单位而使被解释变量量变化一个单位而使被解释变量Y平均改变的数值，即某一解平均改变的数值，即某一解 释变量对被解释变量释变量对被解释变量Y的影响程度。的影响程度。 2课堂节课 n i i X ii X i Y n i i Y i Y n i i e 1 2 ) 22 11 0 ( 1 2 ) ( 1 2 达到最小达到最小。 要估计二元线性回归模型要估计二元线性回归模型 ii X i X i Y 22110 中的中的 参数参数 0 、

3、1 、 2 ，常用的方法仍然是常用的方法仍然是普通最小二乘法普通最小二乘法。 设根据给定一组样本数据设根据给定一组样本数据（ Yi，X1i，X2i）， i=1，2，n ， 采用普通最小二乘法估计得到的样本回归模型为采用普通最小二乘法估计得到的样本回归模型为 i e i X i X i Y 22 11 0 ，则则参数估计量参数估计量 0 、 1 、 2 应应 该使该使残差平方和残差平方和 3课堂节课 根据极值存在的必要条件，应该有 0 2 ) 22 11 0 (2 2 2 0 1 ) 22 11 0 (2 1 2 0) 22 11 0 (2 0 2 i X i X i X i Y i e i X

4、 i X i X i Y i e i X i X i Y i e 从而得到正规方程组 0 2 ) 22 11 0 ( 0 1 ) 22 11 0 ( 0) 22 11 0 ( i X i X i X i Y i X i X i X i Y i X i X i Y 0 2 0 1 0 i X i e i X i e i e 4课堂节课 如果 X1与 X2之间不存在线性关系，那么，由上述正规方程 组可以解出 0 、 1 、 2 ： 其中， X i X i x ， Y i Y i y ， i X n X 1 ， i Y n Y 1 。 如果 X1与 X2之间存在线性关系，那么，上述计算 1 、 2

5、的公式的分子、分母将变为 0，从而无法求解。 2 21 2 2 2 1 211 2 12 2 2 21 2 2 2 1 212 2 21 1 22110 )()( )()( )()( )()( iiii iiiiiii iiii iiiiiii xxxx xxxyxxy xxxx xxxyxxy XXY 5课堂节课 2随机误差项 i 的方差 2 的无偏估计 3 2 2 n i e 其中， 2 i e的简捷计算公式为 iiiiii xyxyye 2211 22 6课堂节课 3偏回归系数 1 、 2 的方差和标准误差 偏回归系数 1 、 2 的方差计算公式为： 偏回归系数 1 、 2 的标准误差计

6、算公式为： ) 1 () 1 (VarSe ) 2 () 2 (VarSe 2 21 2 2 2 1 22 1 2 2 21 2 2 2 1 22 2 1 )()( )( ) ( )()( )( ) ( iiii i iiii i xxxx x Var xxxx x Var 7课堂节课 二、二、Beta系数和弹性系数系数和弹性系数 在多元回归分析中，需要说明各个解释变量在多元回归分析中，需要说明各个解释变量 的相对重要性，或者的相对重要性，或者比较被解释变量对各个解释比较被解释变量对各个解释 变量的敏感性变量的敏感性。 然而，偏回归系数与变量的原有计量单然而，偏回归系数与变量的原有计量单 位有

7、直接联系，计量单位不同，彼此不能直位有直接联系，计量单位不同，彼此不能直 接比较。接比较。 为此，需要引进为此，需要引进Beta系数系数和和弹性系数弹性系数。 8课堂节课 1Beta系数 Beta系数是由偏回归系数转换来的。 用 j 表示Beta 系数，则 2 2 i y ji x j Y S Xj S jj 其中 1 2 )( 1 2 n i X ji X n ji x Xj S 1 2 )( 1 2 n Y i Y n i y Y S 可见，可见，Beta系数是用解释变量标准差（系数是用解释变量标准差（SXj）和被解释变）和被解释变 量标准差（量标准差（SY）的比例对估计的偏回归系数进行调

8、整后）的比例对估计的偏回归系数进行调整后 得到的，其数值与变量的单位无关，因而可以直接比较，得到的，其数值与变量的单位无关，因而可以直接比较， 用于说明多元回归模型中解释变量的相对重要性。用于说明多元回归模型中解释变量的相对重要性。 9课堂节课 对于二元线性回归模型，可以按下列公式计算Beta系数： 2 2 1 1 1 i y i x 2 2 2 2 2 i y i x 由于 j X j Y Xj S jY S j 所以，Beta 系数 j 的含义是：若解释变量Xj变化1 个标准 差（即Xj S j X ） ，则被解释变量 Y 变化 j 个标准差（即 Y S j Y ） 。 10课堂节课 例如

9、 02. 1 1 ，24. 0 2 ，则表示：解释变量 X1变化 1 个 标准差，将引起被解释变量 Y 变化 1.02 个标准差；解释变 量X2变化1 个标准差，将引起被解释变量Y变化0.24 个标 准差。因此，可以说，Y 对于 X1变化的敏感程度远大于 Y 对于X2变化的敏感程度。 11课堂节课 2弹性系数 弹性系数是某一变量的相对变化引起另一变量的相对 变化的度量，即变量的变化率之比。 用 j 表示弹性系数，则 Y j X j Y j X j dX dY j X j dX Y dY j 平均弹性平均弹性是指在样本均值附近的弹性，即 Y j X jj 弹性系数与原解释变量的计量单位没有任何关

10、系，因此 很适宜用来说明被解释变量对解释变量变化的敏感程度。 12课堂节课 例如 78. 1 1 ，45. 0 2 ，则表示：在样本均值附近，X1每 增加1%，将使被解释变量Y增加1.78%；而X2每增加1%， 将使被解释变量 Y 增加 0.45%，所以，被解释变量 Y 对于解 释变量 X1变化的敏感程度远大于对解释变量 X2变化的敏感 程度。 13课堂节课 3偏相关系数 在二元线性回归分析中，也可以用偏相关系数来分析 被解释变量Y对于哪一个解释变量（X1和X2）的变化 更敏感。 偏相关系数：是指在控制或消除其他变量影响的情况 下，衡量多个变量中的某两个变量之间线性相关程度 的指标。 14课堂节课 )1)(1 ( 22 212 2121 21 XXYX XXYXYX XYX rr rrr r 如果 21 XYX r 12 XYX r ，则表示被解释变