轴向拉伸与压缩

1、第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 1 2-1 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 2 工程中有很多构件，例如，钢木组合架中的钢拉杆工程中有很多构件，例如，钢木组合架中的钢拉杆( (图图2-1)2-1) 和做材料试验用的万能试验机的立柱等，除连接部分外都是等直和做材料试验用的万能试验机的立柱等，除连接部分外都是等直 杆，作用于杆上的外力杆，作用于杆上的外力( (或外力合力或外力合力) )的作用线与杆轴线重合。等的作用线与杆轴线重合。等 直杆在这种受力情况下，其主要变形是纵向直杆在这种受力情况下，其主要变形是纵向伸长伸长或或缩短缩短。这种

2、变。这种变 形形式就是轴向拉伸或压缩。这类构件称为形形式就是轴向拉伸或压缩。这类构件称为拉拉( (压压) )杆杆。 2-1 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念 1. 概念概念 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 3 2-1 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念 实际拉实际拉(压压)杆的端部可以有各种连接方式。如果不考虑其端部杆的端部可以有各种连接方式。如果不考虑其端部 的具体连接情况，则其计算简图即如图的具体连接情况，则其计算简图即如图2-2a，b所示。计算简所示。计算简 图从几何上讲是等直杆：其受力情况是杆在两端各受一集中图从几何上讲是等直杆：其受力情况是杆在两端各受一集中

3、 力力F作用，两个作用，两个F力大小相等，指向相反，且力大小相等，指向相反，且作用线与杆轴线作用线与杆轴线 重合重合 2. 轴向拉压的外力特点轴向拉压的外力特点 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 4 2-1 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念 轴向拉压的变形特点：轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩杆的变形主要是轴向伸缩。 F F 轴向拉伸：轴向伸长，横向缩短。轴向拉伸：轴向伸长，横向缩短。 FF 轴向压缩：轴向缩短，横向变粗。轴向压缩：轴向缩短，横向变粗。 3. 轴向拉压的变形特点轴向拉压的变形特点 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 5 2-22-2内力内力截

4、面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 1内力内力 物体在受到外力作用而变形时，其内部各质点间的相对位置物体在受到外力作用而变形时，其内部各质点间的相对位置 将有变化。与此同时，各质点间相互作用的力也发生了改变。将有变化。与此同时，各质点间相互作用的力也发生了改变。 相互作用力由于物体受到外力作用而引起的改变量，就是材料相互作用力由于物体受到外力作用而引起的改变量，就是材料 力学中所研究的内力力学中所研究的内力。 换句话说，由于已假设物体是均匀连续的可变形固体因此换句话说，由于已假设物体是均匀连续的可变形固体因此 在物体内部相邻部分之间相互作用的内力，实际上是一个连续在物体内部相邻部分之间相互作用

5、的内力，实际上是一个连续 分布的内力系，而将分布内力系的合成分布的内力系，而将分布内力系的合成( (力或力偶力或力偶) )，简称为简称为内内 力力。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 6 2-22-2内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 1内力内力 也就是说，也就是说，内力内力指由指由外力作用所引起的外力作用所引起的、物体内部相邻、物体内部相邻 部分之间部分之间分布内力系的合成分布内力系的合成（即：附加内力）（即：附加内力） F F+F F 原有内力原有内力 F 附加内力附加内力 材料力学中的内力材料力学中的内力 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 7 2-2内力内力

6、截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 2截面法、轴力截面法、轴力 截面法截面法：研究杆件的内力时，必须用一平面将构件假想地截开研究杆件的内力时，必须用一平面将构件假想地截开 成为两段，使内力暴露出来，然后研究其中一段的平衡，求得成为两段，使内力暴露出来，然后研究其中一段的平衡，求得 内力的大小和方向内力的大小和方向。 设一等直竿在两端轴向拉力设一等直竿在两端轴向拉力F的作用下处于平衡，欲求杆的作用下处于平衡，欲求杆 件横截面件横截面m-m上的内力上的内力(图图2-3)，研究此类问题可用截面法。，研究此类问题可用截面法。 F FF F m m m m 图图2-3 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向

7、拉伸和压缩 8 2-2内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 2截面法、轴力截面法、轴力 （1）截开截开：在求内力的截面：在求内力的截面m-m 处处,假想地将杆截为两假想地将杆截为两 部分部分 F F F F m m m m 截面法是求构件内力的基本方法，一般可分为三个步骤为：截面法是求构件内力的基本方法，一般可分为三个步骤为： 截开、代替和平衡截开、代替和平衡。（常称：。（常称：“截截”、“弃弃”、“代代”、 “平平”） 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 9 2-2内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 （2）代替代替：将两部分中的任一部分留下，并把弃去部分对留：将两部

8、分中的任一部分留下，并把弃去部分对留 下部分的作用代之以作用在截开面上的内力（力或力偶）；下部分的作用代之以作用在截开面上的内力（力或力偶）； F F F FN N F FF FN N 2截面法、轴力截面法、轴力 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 10 2-2内力内力截面法截面法轴力及轴力轴力及轴力 图图 2截面法、轴力截面法、轴力 （3）平衡平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力 来计算在截开面上的未知内力。来计算在截开面上的未知内力。注意：截开面上的内力对留下注意：截开面上的内力对留下 部分而言属外力部分而言属外力 0 x

9、 F0FFN FF N 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 11 2-2内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 注意注意：静力学中的力（或力偶：静力学中的力（或力偶)的可移性原理，在用截面法的可移性原理，在用截面法 求内力的过程中是有限制的。如图求内力的过程中是有限制的。如图a所示拉杆在自由端所示拉杆在自由端A承承 受集中力受集中力F，由截面法可得，杆任一横截面，由截面法可得，杆任一横截面mm或或nn” 上的轴力上的轴力FN、均等于、均等于F(图图b，c）。）。 2截面法、轴力截面法、轴力 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 12 若将力若将力F由自内端由自内端A至杆至杆

10、B点处点处(图图d)，则其，则其AB段内任一横段内任一横 截面上的轴力都将等于零截面上的轴力都将等于零(图图e)而而BC段内任一横截面段内任一横截面n-n上的上的 轴力仍等于轴力仍等于F(图图f)，保持不变。，保持不变。 2-2内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 2截面法、轴力截面法、轴力 FN = 0 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 13 2-2内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 2截面法、轴力截面法、轴力 原因：原因：这是因为集中力这是因为集中力F F由自由端由自由端A A移至移至B B点点 后，改变了杆件后，改变了杆件ABAB段的变形。而并不改变段的变形。

11、而并不改变BCBC 段的变形段的变形 注意：注意：将杆上的荷载用一个静力等效的相当将杆上的荷载用一个静力等效的相当 力系来代替，在求内力的过程中也有所限制力系来代替，在求内力的过程中也有所限制 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 14 3. 轴力图轴力图 2-22-2内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 对于受到沿轴线的对于受到沿轴线的多个外力多个外力作用作用且处于且处于平衡状态平衡状态的杆件，其的杆件，其 个截面上的轴力的大小、方向（即拉或压）将有差异。为直观地个截面上的轴力的大小、方向（即拉或压）将有差异。为直观地 表示各横截面轴力变化的情况，通常表示各横截面轴力变化的情况

12、，通常以平行于杆轴线的坐标表示以平行于杆轴线的坐标表示 横截面的位置，以垂直与杆轴线的坐标轴表示轴力的大小横截面的位置，以垂直与杆轴线的坐标轴表示轴力的大小，将杆将杆 件横截面轴力的变化用图线表示出来。这种图线称为件横截面轴力的变化用图线表示出来。这种图线称为轴力图轴力图。 x+ N F 轴力图轴力图 FN (x) 的图象的图象 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 15 3. 轴力图轴力图 2-2 内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 特点：特点： 1）反映出轴力与截面位置变化的关系，较直观；）反映出轴力与截面位置变化的关系，较直观； 2）确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位

13、置，即）确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即 确定危险截面位置，为强度计算提供依据；确定危险截面位置，为强度计算提供依据； 3）习惯上将正值的轴力画在上侧，负值的轴力画在下）习惯上将正值的轴力画在上侧，负值的轴力画在下 侧。侧。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 16 2-2内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 例题例题2.1：已知已知 F1= 10 kN；F2 = 20 kN；F3 = 35 kN；F4 = 25kN；试画出图示杆件的轴力图。试画出图示杆件的轴力图。 F3 F2 F1F4 ABCD 1 1 2 2 3 3 解：解：第一步、计算杆件各段的轴力第一步、计

14、算杆件各段的轴力 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 17 FN1 F1 AB 段段 BC 段段 FN3 F4 FN2F1 F2 N11 0FF 0X N11 10 kNFF N221 0FFF N212 10kNFFF 0X N34 25 kNFF 0X 4N3 0FF 2-2内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 CD 段段 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 18 第二步第二步、绘制轴力图、绘制轴力图 2-2内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 kN图 N F kN N F x 25 10 10 _ 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 19 x 例例

15、2.2 作图示杆件的轴力图，并指出作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max | FN |max=60 kN FN2= 660kN FN1=30kN 1 1 30kN FN1 60kN FN图图 30kN 0X N1 300F 解：解：1 1、计算杆件各段的轴力。、计算杆件各段的轴力。 ABAB 段段 BCBC 段段 N2 600F 0X 2、绘制轴力图、绘制轴力图。 90kN60kN30kN AB C 2 2 1 1 2 2 60kN FN2 + 2-2内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 20 2-2内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力

16、及轴力图 例题例题 2.3 一等直杆及其受力情况如图一等直杆及其受力情况如图a所示，试作杆的轴力图。所示，试作杆的轴力图。 40kN 55kN 25kN 20kN 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 21 2-22-2内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 解解：为运算方便，首先求出支反力：为运算方便，首先求出支反力FR(图图b)。由整个杆的平。由整个杆的平 衡方程衡方程 得得 FR=10kN F1=40 kN F2=55 kN F3=25 kN F4=20 kN A B C D E (b) Fx=0, -FR - F1 + F2 - F3 + F4 = 0= 0 第二章第二章

17、轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 22 在求在求AB段内任一横截面上的轴力时。应用截面法研究截段内任一横截面上的轴力时。应用截面法研究截 开后左段杆的平。假定轴力开后左段杆的平。假定轴力FN1为拉力为拉力(图图c)，由平衡方程求得，由平衡方程求得 AB段内任一横截面上的轴力段内任一横截面上的轴力 2-22-2内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 结果为正值故结果为正值故FNl为拉力。为拉力。 FN1 = FR = 10 KN FN1FR A x 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 23 同理，可求得同理，可求得BC段的轴力段的轴力(图图d)为为 FN2 = FR+F1 = 50kN

18、； CD段内的轴力段内的轴力FN3= -F3+F4 = -5kN 为压力为压力(图图e)； DE段内的轴力段内的轴力FN4 = F4 = 20kN。 按作轴力图的规则，作出杆的轴力图如图按作轴力图的规则，作出杆的轴力图如图f所示。所示。 FN,max发生在发生在BC段内的任一横截面上，其值为段内的任一横截面上，其值为50 kN 2-2内力内力截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 24 2-32-3应力应力拉（压）杆内的应力拉（压）杆内的应力 1. 1. 应力的概念应力的概念 应力应力：指受力杆件：指受力杆件某一横某一横 截面上一点处的内力集度截面上一

19、点处的内力集度 （内力分布的密集程度）（内力分布的密集程度） F A M 若考察受力杆截面上若考察受力杆截面上M点处点处 应力应力,可在可在M点周围取一很点周围取一很 小面积小面积 ,设设 面积上分面积上分 布内力的合力为布内力的合力为 ,则则 上内力平均集度为上内力平均集度为: Pm = F/ A AA FA Pm即即 A上的平均应力上的平均应力 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 25 注意：截面M-M上的分布内力常常不是均匀 的，因此，平均应力Pm的大小及方向都将随 所取微小面积A的大小而不同 方法：若要计算分布内力在M点处的集度， 可令A无限缩小趋于零，求极限值： A F A

20、F p A d d lim 0 （2-1） 式中，式中， ：为微小面积；：为微小面积； ： 上的应力合力上的应力合力 P：M点处总应力（分布内力集度）点处总应力（分布内力集度） A AF 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 26 A F A F p A d d lim 0 由于由于内力合力内力合力 F为为 矢量矢量，因此，在，因此，在M 点处总应力点处总应力p也是也是 个矢量个矢量，其方向既，其方向既 不与截面垂直，也不与截面垂直，也 不与切面相切不与切面相切 p p 正应力 可分解为 切应力 称为总应力。 p M 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 27 p M A F A

21、F NN A d d lim 0 垂直于截面的应力称为垂直于截面的应力称为“正应力正应力”: : 正应力的概念正应力的概念 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 28 A F A F SS A d d lim 0 位于截面内的应力称为位于截面内的应力称为“切应力切应力”: : 切应力的概念切应力的概念 p M 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 29 应力的基本特征应力的基本特征： （1）必须明确截面及点的位置；）必须明确截面及点的位置；相应地，讨论相应地，讨论应力应力时要（时要（A） 既要指明截面；（既要指明截面；（B）也要指明点也要指明点 （2）是矢量，既有数值大小是矢量，既

22、有数值大小(包括有关的单位包括有关的单位)，又有方向，又有方向 正应力：正应力：拉为正（离开截面为正），压为负（指向截面为负）拉为正（离开截面为正），压为负（指向截面为负） 切应力：切应力：顺时针为正；逆时针为负顺时针为正；逆时针为负 （3）单位：）单位：Pa(帕帕)和和MPa(兆帕兆帕) ；1 MPa=106 Pa （4）截面上各点应力与微分面积）截面上各点应力与微分面积dA的乘积的合成为该截面上的乘积的合成为该截面上 的内力的内力（ 即：即：Fs.dA求积分求积分 ） 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 30 基本原则：基本原则： 拉（压）杆横截面上的内力为轴力，其方向垂直于横截面

23、，拉（压）杆横截面上的内力为轴力，其方向垂直于横截面， 且通过横截面的形心，且通过横截面的形心，对横截面上各点应力与微面积对横截面上各点应力与微面积dA之之 乘积进行合成，即为该截面上的内力乘积进行合成，即为该截面上的内力 显然，截面上各点处的切应力不可能合成为一个垂直于截显然，截面上各点处的切应力不可能合成为一个垂直于截 面的轴力（面的轴力（原因：轴力垂直于切应力原因：轴力垂直于切应力），），与轴力相应的只与轴力相应的只 可能是垂直于截面的正应力可能是垂直于截面的正应力 考察杆件在受力后表面上的变形情况，并由表及里地做出考察杆件在受力后表面上的变形情况，并由表及里地做出 杆件内部变形情况的几

24、何假设，再根据力与变形间的物理杆件内部变形情况的几何假设，再根据力与变形间的物理 关系得到应力在截面上的变化规律，得到以内力表示的应关系得到应力在截面上的变化规律，得到以内力表示的应 力计算公式力计算公式 2-3 应力应力拉（压）杆内的应力拉（压）杆内的应力 2. 拉（压）杆横截面上的应力拉（压）杆横截面上的应力 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 31 2-3 应力应力拉（压）杆内的应力拉（压）杆内的应力 2. 拉（压）杆横截面上的应力拉（压）杆横截面上的应力 取一等直杆取一等直杆(图图a)，在其侧面作相邻的两条横向线，在其侧面作相邻的两条横向线ab和和cd， 然后在杆两端施加一对轴

25、向拉力然后在杆两端施加一对轴向拉力F使杆发生变形。此时，可观察使杆发生变形。此时，可观察 到该两横向线移到到该两横向线移到ab和和cd(图图b中的虚线中的虚线)。根据这一现象，设。根据这一现象，设 想横向线代表杆的横截面、于是，想横向线代表杆的横截面、于是，可假设原为平面的横截面在杆可假设原为平面的横截面在杆 变形后仍为平面变形后仍为平面，称为，称为平面假设平面假设。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 32 根据平面假设，拉杆变形后两横截面将沿杆轴线作相对平移，根据平面假设，拉杆变形后两横截面将沿杆轴线作相对平移， 也就是说，拉杆在其任意两个横截面之间纵向线段的也就是说，拉杆在其任意

26、两个横截面之间纵向线段的伸长变形是伸长变形是 均匀的均匀的。 由于假设材料是均匀的，而杆的由于假设材料是均匀的，而杆的分布内力集度分布内力集度又与杆纵向线又与杆纵向线 段的变形相对应，因而，拉杆在横截面上的分布内力也是均匀分段的变形相对应，因而，拉杆在横截面上的分布内力也是均匀分 布的，即横截面上各点处的正应力布的，即横截面上各点处的正应力 都相等都相等( (见图见图c，d) )。 F FN 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 33 即得拉杆横截面上正应力即得拉杆横截面上正应力 的计算公式的计算公式 A FN (2-2)(2-2) 按静力学求合力的概念，计算如下：按静力学求合力的概念，

27、计算如下： FN = A dA = AdA = A FN：为轴力；：为轴力；A：杆的横截面面积：杆的横截面面积 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 34 对对轴向压缩轴向压缩的杆、上式同样适用。由于前的杆、上式同样适用。由于前 面已规定了轴力的正负号，由公式面已规定了轴力的正负号，由公式(2-2)(2-2) 可知，正应力可知，正应力 也随轴力也随轴力FN而有正负之别：而有正负之别： 拉应力为正，压应力为负。拉应力为正，压应力为负。 相同原理下进行计算相同原理下进行计算 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 35 注意注意: : 上式是根据正应力在杆横截面上各点处相等这一上式是根据

28、正应力在杆横截面上各点处相等这一 结论而导出的结论而导出的,只在杆上离外力作用点较远的部只在杆上离外力作用点较远的部 分适用分适用 在外力作用点附近，由于杆端连接方式的不同，在外力作用点附近，由于杆端连接方式的不同， 应力情况较为复杂，应力情况较为复杂， 可使得可使得 x A FN FN = A dA = AdA = A 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 36 正应力正应力和轴力和轴力FN 同号。同号。即拉应力为正，压应力即拉应力为正，压应力 为负为负 公式的应用条件：公式的应用条件：1)直杆、直杆、2)杆的截面无突变、杆的截面无突变、 3)截面离载荷作用点有一定截面离载荷作用点有一

29、定 的距离。的距离。 A F N 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 37 2-3应力应力拉（压）杆内的应力拉（压）杆内的应力 圣维南（圣维南（Saint-Venant）原理：）原理：外力作用于杆端的方式不外力作用于杆端的方式不 同同, ,只在距杆端距离不大于横向尺寸的范围内影响较大，只在距杆端距离不大于横向尺寸的范围内影响较大， 以外区域影响较小以外区域影响较小, ,可忽略不计可忽略不计 圣维南原理已被大量实验证实，圣维南原理已被大量实验证实，因此，在拉（压）因此，在拉（压） 杆的应力计算中，都以杆的应力计算中，都以下式下式为准为准： = FN / A 2. 拉（压）杆横截面上的应力

30、拉（压）杆横截面上的应力 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 38 当等直杆受几个轴向外力作用时由轴力图可求得其当等直杆受几个轴向外力作用时由轴力图可求得其 最大轴力最大轴力FN,max，代入上式即得杆内的，代入上式即得杆内的最大正应力最大正应力为：为： （2-3） 最大轴力所在的横截面称为最大轴力所在的横截面称为危险截面危险截面 危险截面上的正应力称为危险截面上的正应力称为最大工作应力最大工作应力 2. 拉（压）杆横截面上的应力拉（压）杆横截面上的应力 2-3应力应力拉（压）杆内的应力拉（压）杆内的应力 max = FN,max / A 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 3

31、9 例题例题2.4 一横截面为正方形的砖柱分上、下两段，其受力情况、各段长度一横截面为正方形的砖柱分上、下两段，其受力情况、各段长度 及横截面尺寸如图及横截面尺寸如图a所示。己知所示。己知F50 kN，试求荷载引起的最大工作应力，试求荷载引起的最大工作应力 由于砖柱为变截面杆，故须求出每段柱的横由于砖柱为变截面杆，故须求出每段柱的横 截面上的正应力；从而确定全柱的最大工作截面上的正应力；从而确定全柱的最大工作 应力。应力。1,II1,II两段两段柱柱( (图图a)a)横截面上的正应力，横截面上的正应力， 分别由轴力图及横截面尺寸算得为：分别由轴力图及横截面尺寸算得为： 1 = FN1/A1 =

32、 - 50 103 N (0.24m)(0.24m) = - 0.87 106 Pa = - 0.87 MPa 解：首先作柱的轴力图如图解：首先作柱的轴力图如图b所示所示 为压应力为压应力 I II A (a) (b) 50 kN 150 kN 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 40 由上述结果可见：由上述结果可见：砖柱的最砖柱的最 大工作应力在柱的下段（大工作应力在柱的下段（II 段），其值为段），其值为 -1.1 MPa，是，是 压应力压应力 I II A (a) (b) 2 = FN2/A2 = - 150 103 N (0.37m)(0.37m) = - 1.1 106 Pa

33、 = - 1.1 MPa 压应力压应力 50 kN 150 kN 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 41 2-3应力应力拉（压）杆内的应力拉（压）杆内的应力 3. 拉（压）杆斜截面上的应力拉（压）杆斜截面上的应力 斜截面上的内力斜截面上的内力F 为为 F = F 斜截面面积斜截面面积 A 与横截面面积与横截面面积A 之间的关系为之间的关系为 A =A/cos N coscos FFF p AAA 总应力：总应力： 2 coscos sinsin 2 2 p p 正应力：正应力： 切应力：切应力： 拉杆在横截面（拉杆在横截面（ = 0）上正应力）上正应力 = F/A 计算与横截面成计算

34、与横截面成 角任角任 一斜截面上的应力一斜截面上的应力 F 变形假设：变形假设：平面假设仍成立，即平面假设仍成立，即 斜截面变形后仍为平面。斜截面变形后仍为平面。 根据材料均匀性及平面假设，斜根据材料均匀性及平面假设，斜截面上截面上 各点处的总应力各点处的总应力p 相等；于是可相等；于是可推论：推论： 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 42 2 coscos sinsin2 2 p p 两式表达了通过拉杆内任一点处不同方两式表达了通过拉杆内任一点处不同方 位斜截面上的正应力和切应力随位斜截面上的正应力和切应力随 角角 而而 改变的规律改变的规律 通过某一点的所有不同方位截面上应力通过

35、某一点的所有不同方位截面上应力 的全部情况，称为该点处的应力状态的全部情况，称为该点处的应力状态 p F F F a F 在所研究的拉杆中，如果一点处的应力状态由其横截面上的在所研究的拉杆中，如果一点处的应力状态由其横截面上的 正应力正应力 即可完全确定，这样的应力状态称为即可完全确定，这样的应力状态称为单轴应力状态单轴应力状态 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 43 2-3应力应力拉（压）杆内的应力拉（压）杆内的应力 斜截面上斜截面上正应力和切应力的正负规定正应力和切应力的正负规定： )( )( )( )( 正应力正应力：拉应力为正，压拉应力为正，压 应力为负；应力为负； 切应力切

36、应力：绕研究对象顺时针绕研究对象顺时针 转动为正，反之为负。转动为正，反之为负。 3. 拉（压）杆斜截面上的应力拉（压）杆斜截面上的应力 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 44 max 0 max 45 10 245 2 讨论： ）时， ）时， 显然：显然： 1) 1)通过拉杆内某一点的横截面上的正应力，是通过该点的所有不通过拉杆内某一点的横截面上的正应力，是通过该点的所有不 同方位截面上正应力中的最大值。同方位截面上正应力中的最大值。 2) 2) 通过拉杆内某一点的与横截面成通过拉杆内某一点的与横截面成4545度的斜截面上的切应力，是度的斜截面上的切应力，是 拉杆所有不同方位截面上

37、切应力中的最大值拉杆所有不同方位截面上切应力中的最大值 2 coscos sinsin2 2 p p 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 45 1. 1. 纵向变形（轴向伸长或缩短）纵向变形（轴向伸长或缩短） 纵向伸长纵向伸长 lll 1 F 1 l F l 2-42-4拉（压）杆内的变形拉（压）杆内的变形胡克定律胡克定律 设拉杆的原长为设拉杆的原长为l，承受一对轴向拉力承受一对轴向拉力F的作用而伸长后，的作用而伸长后， 其长度增为其长度增为l1，如图，则杆的纵向伸长为，如图，则杆的纵向伸长为： 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 46 2-4拉（压）杆内的变形拉（压）杆内的变

38、形胡克定律胡克定律 1. 纵向变形（轴向伸长或缩短）纵向变形（轴向伸长或缩短） 每单位长度的伸长每单位长度的伸长( (或缩短或缩短) )，称为，称为线应变线应变，并用记号，并用记号 表示表示。 符号：拉伸（），压缩（）符号：拉伸（），压缩（） 适用范围：均匀变形。适用范围：均匀变形。 纵向线应变纵向线应变 l l (2-4) 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 47 2-4拉（压）杆内的变形拉（压）杆内的变形胡克定律胡克定律 F F d h h1 2.横向应变横向应变 横向变形横向变形ddd 1 横向应变横向应变 dd ddd 1 符号：符号：压缩（），拉伸（）压缩（），拉伸（） 第二

39、章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 48 2-4拉（压）杆内的变形拉（压）杆内的变形胡克定律胡克定律 实验表明，在比例极限内，杆的轴向变形实验表明，在比例极限内，杆的轴向变形l与外力与外力F及及 杆长杆长l成正比，与横截面积成正比，与横截面积A成反比。即成反比。即： 3.3.胡克定律胡克定律 A Fl l 引入比例常数引入比例常数 E，则：，则： EA Fl l （2-5 ）胡克定律胡克定律 E 称为称为弹性模量弹性模量，是表示材料弹性性质的一个常数。，是表示材料弹性性质的一个常数。 单位：单位：MPa、GPa。 弹性形变范围弹性形变范围 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 49

40、弹性模量弹性模量E代表材料抵抗弹性变形的能力代表材料抵抗弹性变形的能力 弹性模量弹性模量E的数值由材料本身的性能确定，的数值由材料本身的性能确定， 故因材料而异故因材料而异 弹性模量弹性模量E的数值不能计算得到，必须通过的数值不能计算得到，必须通过 实验测定实验测定 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 50 2-4拉（压）杆内的变形拉（压）杆内的变形胡克定律胡克定律 3. 胡克定律胡克定律 EAl ， EA 杆件的杆件的抗拉伸（压缩）刚度抗拉伸（压缩）刚度。对于长度相等且。对于长度相等且 受力相同的拉杆，其拉伸刚度越大则拉杆的变形越小。受力相同的拉杆，其拉伸刚度越大则拉杆的变形越小。

41、由于由于FFN，故上式可改写为：，故上式可改写为： EA lF l N 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 51 EA lF l N 显然显然，轴力轴力FN与变形与变形 l的正负号是相同的，即当的正负号是相同的，即当 轴力轴力FN是拉力为正时，求得的变形是拉力为正时，求得的变形 l 是伸长也为是伸长也为 正，反之亦然正，反之亦然 上式同样适用于压杆上式同样适用于压杆 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 52 得到胡克定律另一形式：得到胡克定律另一形式： E E 或 （2-6 ） 2-4拉（压）杆内的变形拉（压）杆内的变形胡克定律胡克定律 3. 胡克定律胡克定律 上式可改写为上式

42、可改写为 式中，式中， 为杆内任一点处的为杆内任一点处的纵向线应变纵向线应变； 为杆横截面上的为杆横截面上的正应力正应力。 A F El lN 1 l l A FN 应力应力-应变方程应变方程 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 53 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 54 2-4拉（压）杆内的变形拉（压）杆内的变形胡克定律胡克定律 3. 胡克定律胡克定律 式式(2(26)6)是经过改写后的胡克定律，它不仅适用于拉是经过改写后的胡克定律，它不仅适用于拉 ( (压压) )杆，而且还可以更普遍地用于所有的单轴应力状态，杆，而且还可以更普遍地用于所有的单轴应力状态， 故通常又称其为

43、故通常又称其为单轴应力状态下的胡克定律单轴应力状态下的胡克定律。 E E 或 （2-6 ） 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 55 4. 泊松比（或横向变形因数）泊松比（或横向变形因数） 2-4拉（压）杆内的变形拉（压）杆内的变形胡克定律胡克定律 对于横向线应变对于横向线应变，实验发现，实验发现，当拉当拉( (压压) )秆内的应力秆内的应力 不超过材料的比例极限时，它与纵向线应变不超过材料的比例极限时，它与纵向线应变的绝对值之的绝对值之 比为一常数，此比值称为比为一常数，此比值称为横向变形系数横向变形系数或泊松比或泊松比。通常。通常 用用 表示，即表示，即 （2-7 a ） 数值因材

44、料而异，也是要通过实验测定的。数值因材料而异，也是要通过实验测定的。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 56 考虑到两应变的正负号恒相反。故有：考虑到两应变的正负号恒相反。故有： E （2-7 b2-7 b） 4. 泊松比（或横向变形因数）泊松比（或横向变形因数） 2-4拉（压）杆内的变形拉（压）杆内的变形胡克定律胡克定律 上式说明：上式说明：一点处的横向线应变一点处的横向线应变与该点处的纵向正应力与该点处的纵向正应力 也成正比，但正负号相反。也成正比，但正负号相反。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 57 2-4拉（压）杆内的变形拉（压）杆内的变形胡克定律胡克定律 弹性模

45、量弹性模量E和泊松比和泊松比 都是材料的弹性常数。下表中都是材料的弹性常数。下表中 给以了一些材科的给以了一些材科的E和和 的约值。的约值。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 58 例题例题2.52.5 AB长长2m, 面积为面积为200mm2。AC面积为面积为250mm2。 E=200GPa。F = 10kN。试求节点。试求节点A的位移。的位移。 0 y F kN202sin/ 1 FFFN 解：解：1、计算轴力。（设斜杆为、计算轴力。（设斜杆为1杆，水杆，水 平杆为平杆为2杆）取节点杆）取节点A为研究对象为研究对象 kN32.173cos 12 FFF NN 0 x F0cos

46、21 NN FF 0sin 1 FFN 2 2、根据胡克定律计算杆的变形。、根据胡克定律计算杆的变形。 1mmm101 1020010200 21020 3 69 3 11 11 1 AE lF l N A A F F 1N F 2N Fx y 30300 0 mm6 . 0m106 . 0 1025010200 732. 11032.17 3 69 3 22 22 2 AE lF l N 斜杆伸长斜杆伸长 水平杆缩短水平杆缩短 2-4拉（压）杆内的变形拉（压）杆内的变形胡克定律胡克定律 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 59 1mm 11 11 1 AE lF l N mm6 .

47、0 22 22 2 AE lF l N A A F F 1N F 2N Fx y 30300 0 A A 1 A 2 A 2-4拉（压）杆内的变形拉（压）杆内的变形胡克定律胡克定律 因变形后两杆仍饺接在一起，所以因变形后两杆仍饺接在一起，所以 必须满足变形的几何相容条件。必须满足变形的几何相容条件。 因此，分别以因此，分别以B、C点为圆心，以两点为圆心，以两 杆伸长后的长度杆伸长后的长度BA1、CA2为半径作为半径作 圆弧，它们的交点圆弧，它们的交点A(见左图见左图)即为即为A 点的新位置。点的新位置。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 60 3 3、节点、节点A A的位移（以过的位

48、移（以过A1A1、A2A2的切线代的切线代 替圆弧）替圆弧） A A 1 A 2 A mm1 11 lAA mm6 . 0 22 lAA mm6 . 0 2 l x mm039. 3039. 12 30tan30sin 21 433 ll AAAA y mm1 . 3 039. 36 . 0 2222 yx AA 3 A 4 A 1mm 11 11 1 AE lF l N mm6 . 0 22 22 2 AE lF l N A A F F 1N F 2N Fx y 30300 0 A A 1 A 2 A 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 61 2-52-5拉（压）杆的应变能拉（压）杆

49、的应变能 1. 应变能应变能 弹性体在受力后要发生变形，同时弹性体内将积蓄能量弹性体在受力后要发生变形，同时弹性体内将积蓄能量 例如钟表的发条例如钟表的发条( (弹性体弹性体) )被拧紧被拧紧( (发生变形发生变形) )以后，在它放以后，在它放 松的过程中将带动齿轮系，使指针转动，这样，发条就作了松的过程中将带动齿轮系，使指针转动，这样，发条就作了 功。说明拧紧了的发条具有作功的本领，功。说明拧紧了的发条具有作功的本领，这是因为发条在拧这是因为发条在拧 紧状态下积蓄有能量紧状态下积蓄有能量 为了获得计算这种能量的依据，为了获得计算这种能量的依据， 现以现以受重力作用且仅发受重力作用且仅发 生弹

50、性变形的拉杆生弹性变形的拉杆为例。利用能量守恒原理来推出上述关系为例。利用能量守恒原理来推出上述关系 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 62 设杆的上端固定，在其下端的小盘上逐渐设杆的上端固定，在其下端的小盘上逐渐 地增加重量。每加一点重量，杆将相应地有一地增加重量。每加一点重量，杆将相应地有一 点伸长，已在盘上的重物也相应地下沉，因而点伸长，已在盘上的重物也相应地下沉，因而 重物的位能将减少。由于重量是逐渐增加的。重物的位能将减少。由于重量是逐渐增加的。 故在加载过程中，可认为杆没有动能改变。故在加载过程中，可认为杆没有动能改变。 按能量守恒原理，略去其它微小的能量损耗不计，重物按

51、能量守恒原理，略去其它微小的能量损耗不计，重物 失去的位能将全部转变为积蓄在杆内的能量。因为杆的变形失去的位能将全部转变为积蓄在杆内的能量。因为杆的变形 是弹性变形，故在卸除荷裁以后这种能量又随变形的消失而是弹性变形，故在卸除荷裁以后这种能量又随变形的消失而 全部转换为其它形式的能量。全部转换为其它形式的能量。 这种这种伴随着弹性变形的增减而改变的能量称为伴随着弹性变形的增减而改变的能量称为应变能应变能。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 63 2-5 拉（压）杆的应变能拉（压）杆的应变能 显然，应变能等于重物所失去的位能，而重物所失去的显然，应变能等于重物所失去的位能，而重物所失去

52、的 位能等于下沉所做的功，位能等于下沉所做的功，推广到一般弹性体受静荷载推广到一般弹性体受静荷载( (不不 一定是重力一定是重力) )作用的情况，可以认为在弹性体的变形过程作用的情况，可以认为在弹性体的变形过程 中，积蓄在弹性体内的应变能中，积蓄在弹性体内的应变能V在数值上等于外力所作在数值上等于外力所作 的功的功W W，即，即 V （应变能）（应变能） = W （外力所做的功）（外力所做的功） 上式称为弹性体的上式称为弹性体的“功功- -能原理能原理”。应变能应变能V的单位为的单位为J （2-8 ） 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 64 2-5拉（压）杆的应变能拉（压）杆的应变能

53、 2. 应变能密度应变能密度 为推导拉杆应变能的计算式，先求外力所作的功为推导拉杆应变能的计算式，先求外力所作的功W。在静荷。在静荷 载载F的作用下的作用下,杆伸长了杆伸长了L，这就是拉力，这就是拉力F的作用点的位移。力的作用点的位移。力 F对此位移所作的功可以从对此位移所作的功可以从F与与L的关系图线下的面积来计算。的关系图线下的面积来计算。 由于在弹性变形范围内由于在弹性变形范围内F与与L成线性关系，如图所示，于是，成线性关系，如图所示，于是， 可求得可求得F力所作的功力所作的功W为为 LFW 2 1 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 65 2-5拉（压）杆的应变能拉（压）杆的应

54、变能 利用能量守恒原理：利用能量守恒原理： V （应变能） （应变能） = =W （外力所（外力所 做的功）可得：做的功）可得： EA LF LFLFWV N N 22 1 2 1 2 （2-9 ） EA lF l N 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 66 2-5拉（压）杆的应变能拉（压）杆的应变能 2. 应变能密度应变能密度 由于在拉杆的各横截面上所有点处的应力均相同，故由于在拉杆的各横截面上所有点处的应力均相同，故 杆的单位体积内所积蓄的应变能，可由杆的应变能杆的单位体积内所积蓄的应变能，可由杆的应变能V除以除以 杆的体积杆的体积V来计算。这种单位体积内的应变能，称为来计算。这

55、种单位体积内的应变能，称为应变应变 能密度能密度，并用，并用v表示，于是表示，于是 222 1 2 1 2 2 E EAl LF V V v 应变能密度的单位为应变能密度的单位为Jm3。 注意：这些公式只适用于线弹性范围以内注意：这些公式只适用于线弹性范围以内。 （2-10 ） E E 或 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 67 2-62-6材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 力学性能力学性能：材料在外力作用下在变形、破坏方面的材料在外力作用下在变形、破坏方面的 特性。都要通过实特性。都要通过实(试试)验来测定验来测定 关键试验条件：关键试验条件： 1 1、温度

56、温度(常温常温20)（? 材料模量受温度影响极大）材料模量受温度影响极大） 2、“静静”载（缓慢地加载）载（缓慢地加载）(? 保证弹性变形范围检测）保证弹性变形范围检测） 3、标准试件、标准试件（? 保证几何形状和受力符合轴向拉伸）保证几何形状和受力符合轴向拉伸） 一、材料的拉伸和压缩试验：最常见的力学性能实验一、材料的拉伸和压缩试验：最常见的力学性能实验 上述条件下所测得的力学性能为上述条件下所测得的力学性能为常温、静荷载下常温、静荷载下材料拉伸（压缩）材料拉伸（压缩） 力学性能力学性能 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 68 标准试件的制备标准试件的制备 对圆截面标准式样：对圆截

57、面标准式样：对矩形截面标准式样：对矩形截面标准式样： 压缩试件：压缩试件：l =（1.53）b 避免实验避免实验 过程压弯过程压弯 拉伸试件拉伸试件：l = 10 或 5d d - 横截面直径横截面直径 压缩试件：压缩试件：h = (13)d 拉伸试件拉伸试件：l = 或 工作段必须等直！工作段必须等直！ 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 69 两类试验仪器：两类试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。 2-6材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 万能试验机万能试验机：是用来使试样发生变形：是用来使试样发生变形( (伸

58、长或缩伸长或缩 短短) )和测定试样的抗力和测定试样的抗力( (即内力即内力) )的。的。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 70 2 2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。 2-6材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 变形仪变形仪：是用来量测试样变形的将微小的变形放大，：是用来量测试样变形的将微小的变形放大， 能在所需的精度范围内量测试样的变形。能在所需的精度范围内量测试样的变形。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 71 2-6材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 二、

59、低碳钢试件的拉伸图二、低碳钢试件的拉伸图( (PL图图) )及其力学性能及其力学性能 低碳钢是工程上最广泛使用的材料，同时，低碳钢试祥低碳钢是工程上最广泛使用的材料，同时，低碳钢试祥 在拉伸试验中所表现出的变形与抗力间的关系也比较典型。在拉伸试验中所表现出的变形与抗力间的关系也比较典型。 一般万能试验机可以自动给出试样在试验过程中工作段一般万能试验机可以自动给出试样在试验过程中工作段 的伸长与抗力间定量的关系曲线。曲线以横坐标代表试样工的伸长与抗力间定量的关系曲线。曲线以横坐标代表试样工 作段的伸长作段的伸长L ，而以纵坐标代表万能试验机上的荷载，而以纵坐标代表万能试验机上的荷载F。称。称 为

60、试样的为试样的拉伸图拉伸图。 f F O l e a b c d 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 72 2-6材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 由图可见，低碳钢在整个拉伸试验过程中，其工作段的由图可见，低碳钢在整个拉伸试验过程中，其工作段的 伸长量与荷载间的关系大致可分为以下四个阶段。伸长量与荷载间的关系大致可分为以下四个阶段。 EA Fl l 阶段阶段I I 试样的变形完全是弹性的，试样的变形完全是弹性的， 全部卸除荷载后，试祥将恢复其原全部卸除荷载后，试祥将恢复其原 长，这一阶段称为长，这一阶段称为弹性阶段弹性阶段。低碳。低碳 钢试样在此阶段内，其伸长钢