基于分形方法的多孔介质有效应力模型研究1

1、基于分形方法的多孔介质有效应力模型研究1闫铁，李玮，毕雪亮 大庆石油学院提高油气采收率教育部重点实验室，黑龙江大庆 (163318) E-mail: 摘要：泰尔扎吉（Terzaghi）的有效应力方程是描述多孔介质应力关系的经典模型，后来的学者相继开展了很多研究，建立了相关模型，但基本都基于浅层岩土而建立的。本文在充 分研究国内外多孔介质有效应力研究基础上，针对石油工程中深层岩石复杂结构特征，应用 分形几何理论,分别建立了深层多孔介质岩石有效应力的二维和三维分形计算模型。该模型 能反应任意孔隙结构下的应力作用关系，是现有相关有效应力模型的补充和完善。为了现场 应用方便，

2、进一步给出多孔介质有效应力分形模型的简化式。实例计算表明，应用简化式计 算的有效应力值误差在 7以内，可以满足油田现场的要求，并且应用简化式有利于应用测 井数据获得连续的有效应力剖面。关键词：多孔介质；有效应力；Terzaghi 方程；分形几何；分形维数. 引言所谓多孔介质是一种由非均匀组成且具有复杂多变孔隙结构上的复杂体，有效应力是描 述多孔介质中力学特征的基本参数。岩土和岩石是多孔介质中典型的例子，其结构上是由相 互连接在一起的固体颗粒(骨架)所组成的，孔隙中通常被一种或几种流体填充。通常情况下， 多孔介质同时受到外部应力和内部应力的共同作用。目前有关多孔介质有效应力的计算模型很多，但都基

3、本基于浅层岩土而建立的。石油工 程中的深层岩石多孔介质材料与浅层岩土相比，存在以下特点：岩石组成结构严密，支撑颗 粒胶结良好；岩石内的孔隙空间小，结构复杂，联通性差；深部岩石和岩石孔隙中流体所处 压力环境复杂。由于深部岩石与浅层岩土之间在组成结构及所处环境上的差异，造成有效应 力的计算存在着一定的差别。近几年的研究表明，深层多孔介质的岩石具有分形特征，应用 分形力学方法来研究更具实际意义。本文应用分形理论，从多孔介质结构上的随机性、非均匀性入手，重新建立了有效应力 的分形计算模型，并进行了相应的参数分析和简化计算，为进一步应用分形方法研究多孔介 质的应力关系奠定基础。. 多孔介质有效应力的基本

4、模型分析1923年泰尔扎吉1在研究浅层岩土多孔介质时，首先引入了一维压实有效应力的概念， 并给出如下关系 O = + PP（1）式中： O 为作用在整个多孔介质上的应力，称为总应力，MPa； 为作用在固体颗粒 上的应力，称为有效应力，MPa； PP 为孔隙中流体的压力，称为孔隙压力，MPa。这种一 维的地层内部应力处理方法后来被Biot所总结，并用相容性理论阐明了扩散与变形耦合作用 的一体过程2,3。目前式（1）已经广泛应用于地基处理、岩土工程、地质、石油工程等许多 领域。1 本课题得到教育部博士点基金(20070220001)凝灰质储层水力压裂断裂损伤机理及裂缝几何形态描述的 资助。1959

5、 年 Habbert 等人4借鉴了泰尔扎吉方程原理。认为上覆岩层总体重力所形成的压力 OV 即为总应力 O ，它由沉积物颗粒之间接触点上的应力 （基岩应力）与孔隙流体压力Pp 共同支撑，即 OV= + Pp（2）式中： OV 上覆岩层压力，MPa。在简单修改变量的概念后，式（2）通过形式上基本 照搬式（1），但内涵有所不同。由于方程式（2）中只有一个未知量且和上覆岩层压力联系 起来，因此在石油工程中得到了广泛的应用。由以上两式的结构可知， 和 PP 两个量均衡地分担总应力的作用，而忽略了岩石本体5结构特征在 和 PP 之间协调所起的作用。 1963年Handin等人了校正因子，改进为：对以上两

6、式进行修正并引入 O = + (1 )PP（3）式中： 被称为有效应力系数，或Biot系数， = 1 Cr CB ，Cr 为骨架压缩率， CB 为容积压缩率。对比以上两式，若考虑 非常小情况， 趋向于有限的极限 ，（1- ） 近似为1，则式（3）将变为式（1），即泰尔扎吉方程。这说明（1）是式（3）中 很小时 的一种特殊情况。然而，这种“ 非常小”的假设是是很难满足的,因为对于许多胶结良好的 多孔介质(如基质胶结岩石),颗粒接触面积常常大于孔隙面积6。式中有效应力系数的引入意 味着在颗粒间存在着胶结作用抑制了孔隙压力的大小以平衡施加的载荷。上个世纪90年代末，李传亮等人7对多孔介质展开了系统而

7、深入的研究，进一步发展了 有效应力理论。他从本体有效应力和和结构有效应力两个方面阐述了多孔介质所受的应力关 系，并得出了本体有效应力的真实应力表达式： OV式中： 为多孔介质的孔隙度。= Pp + (1 )（4）公式（4）引入了反映多孔介质特性的重要参数孔隙度，从孔隙结构特性上分析了多孔 介质对各应力的响应关系。该公式的提出对多孔介质有效应力的研究产生了积极的影响。. 多孔介质有效应力的分形计算模型地层岩体在形成过程中经历了漫长的地质年代，其过程的非线性、非均匀，造成了地 下多孔介质的颗粒和孔隙以一种随机分布的形式存在。由于多孔介质在结构上表现出极强的 非均匀性及各向异性，这为其结构特性的定量

8、描述带来困难。为了降低解决问题的难度，人们常常将这种复杂结构进行简化，只在理想的情况下建 立多孔介质结构的有效应力模型。这些模型虽然取得了一定的应用效果，但存在着局限性。 近些年的研究证明8-10，无论在二维平面还是三维立体空间上，实际的多孔介质材料都具有 分形特征，可以用分形理论来研究。在多孔介质中任取一单元截面OO(图1),其截面边长为L，孔隙和颗粒的总截面积为A,AOL2。在该截面上对介质施加一总应力 ,若 为介质固体颗粒上的平均应力,则根据受力平衡有A O = A1 + A2 Pp（5）式中： A1 为岩石颗粒接触面积； A2 为截面上孔隙的面积；且 A = A1 + A2 。总应力O

9、O流体压力基岩应力图 1 砂岩多孔介质中各应力关系图Fig.1 the relationship between the sandstone stresses in porous media根据分形几何原理，对于图1中的多孔介质结构，单元平面上孔隙面积应满足如下分形关系2A = CL2 (L / r)DL 2A1 = A A2= L2 (1 C (L / r ) DL 2 )式中：C为表征岩石孔隙结构性质的常数； L 为所选单元体截面的变长； r 为在单元范5围内孔隙尺寸变量； D 为面分形维数。于是式（ ）得LpO = C (L / r ) DL 2 P+ (1 C (L / r ) DL

10、2 )（6）式（6）为多孔介质平面上的有效应力微观分形模型。由此看出影响岩石有效应力的因 素除了总应力，还有多孔介质的孔隙尺寸及孔隙结构的分形维数。同理可以分析多孔介质三维情况下有效应力模型。设多孔介质孔隙结构体的分形维数为DS,如图取一长度为 L 的单元体，其总体积为V = L3根据分形几何原理，总体积中的分形孔隙体积为多孔介质骨架的体积为2V = CL3 (L / r )DS 3根据力学平衡原理有V1 = V V2= L3 (1 C (L / r ) DL 3 )pO = C (L / r ) DS 3 P+ (1 C (L / r ) DS 3 )(7)式（7）就是应用分形方法推得的多孔

11、介质有效应力三维分形计算模型。根据式（6） 和式（7）公式的基本形式，可以得出维数更高的数学归纳公式pO = C (L / r )Dn P+ (1 C (L / r )Dn )(8)n D 3 时有效应力表达式，其现实意义是不大的。对于式（7）方程中的 C(L / r ) DS 3 的引入主要是从孔隙结构特性上反应孔隙压力对总 应力的贡献。而式（3）中有效应力的引入主要从颗粒间组成及结构反应颗粒支撑应力对总 应力的反应。式（6）和式（7）的有效应力分形计算模型是一个能精确表述各应力关系的方程。该 方程通过引入介质孔隙结构特征参数来协调主应力在 Pp 和 上的分配比例，又从孔隙结构 变化的角度阐

12、明多孔介质中流固作用关系。现令 = 1 C (L / r ) DS 3则式（7）变为 O = + (1 )Pp(9)对比式（9）和式（3），二者在形式上 形式上基本相同，但内涵不同。考虑特殊 情况分形维数 DS 为 3 时，式（7）消除了 介质孔隙尺度变化的影响，由此得 = 1 CO则在 的变化范围中存在一个与 相 同的值，可以认为式（3）是式（7）的一 种特殊形式，所以，这两式多孔介质结构 本质上存在着一定联系。在式（7）中，为了便于分析，我们 令 T 代表孔隙尺寸上、下限比值。分别给流体压力总应力O基岩应力出了 T 为 2、10、100、1000 时多孔介质分 形孔隙度与孔隙结构分形维数的

13、变化关图 2 多孔介质中各应力关系图Fig.2 the relationship between the stresses in porous media系，如图 3 所示。在 T 值比较小时，孔隙度随分形维数变化呈近似直线关系，当 T 为 1 时 呈直线关系。随着 T 值增大，曲线的指数关系逐渐明显；在相同的分形维数下，T 值越小其 多孔介质的孔隙度越大。图 4 是上覆岩层总应力随多孔介质的孔隙度的变化关系，图中基岩 应力为 25Mpa，孔隙压力为 20Mpa。综合两图可知，在基岩应力和孔隙压力不变情况下， 上覆岩层总应力随多孔介质的孔隙结构分形维数增大而增大，并表现出指数关系。图 3 多孔

14、介质分形 随孔隙结构 D 的变化关系Fig.3 the change relationship between the fractal and the pore structure D in porous media图 4 上覆岩层压力随孔隙度的变化关系Fig.4 the change relationship between the overlying rock pressure and the porosity4. 有效应力分形模型的简化与计算式（6）和式（7）有效应力分形计算模型可以计算任意深度下、任意孔隙结构下的多孔 介质有效应力，但是模型中各参数求取相对麻烦。鉴于式（6）中 C(L

15、/ r ) DL 2 的大小等于多孔介质的面孔隙度 A ，即由此式（6）简化为 = A2AA= C(L / r ) D2同理式（7）简化为 O = A Pp + (1 A ) O = V Pp + (1 V )（10）（11）式中:V 多孔介质的体孔隙度。对式（11）虽然进行了简化，但是在公式中依然存在着两个不可测量的量 O 和 。由 于深部地层的应力环境复杂，总应力的组成并不只是来源于上覆岩层压力，构造应力也是总 应力的重要组成部分。这样使得总应力的计算显得十分困难，有效应力的计算也就变得困难。为了现场应用的方便，认为垂向的总应力近似等于上覆岩层的压力，式（11）变为 OV= V Pp +

16、(1 V )（12）式 中 ：H ov = 0b (H )dH； b为 不 同 沉 积 层 段 沉 积 物 的 容 重 ，3pb = (1 ) ma + f ,g/cm ；H 为沉积物的埋藏深度,m。 另外，根据式（7）及式（12）的变形，可以进一步得H b = 0(H )dH C (L / r) Ds 3 P1 C (L / r ) Ds 3由于随深度岩石的孔隙分形维数很难一一获得，需要对计算过程进行简化。对于不同深 度的体积孔隙，统一用其拓扑维数（DS=3）来代替。对于 DS=3 时，上式简化为H b (H )dH C1 Pp = 0 1 C1(13)式中：C1 为 DS=3 时的孔隙结构

17、性质常数。式(13)就是多孔介质有效应力分形模型在三 维下的实用计算式。为了验证所建立的分形条件下有效应力计算模式的准确程度，将式（7）的计算结果与 当前相关模型对现场实际数据的计算结果进行了对比分析。收集了某油田盆地两个区块的地 层及相关数据，计算深度在 17002300m 之间，其岩性主要为灰色细质砂岩、杂色含凝灰 质砂砾岩、灰黑色砂砾岩等。收集的数据主要包括地层深度、对应深度下的上覆岩层压力、 孔隙压力和孔隙度等，并用分形模型计算了地层孔隙度对应的分形维数，列于表 1。表 1 某盆地实测地层参数Tab.1 the measured formation parameters岩心号深度（m）

18、上覆岩层压力（MPa）孔隙压力（MPa）分形维数塔木-1 井2181.055.2121.372.7401塔木-2 井2171.0953.8422.122.4542塔木-36 井2286.5958.4222.892.5202分别应用泰尔扎吉模型式（1）、李传亮模型式（4）和本文模型式（7）计算了有效应力，结果和误差列于表 2。表 2 某盆地有效应力及误差对比表Tab.2 the effective stress caculation and the error comparison岩心号深度（m）式（1）（MPa）式（4）（MPa）式（7）（MPa）误差（(%)）（1）与（7）（4）与（7）塔木

19、-1 井2181.033.8457.7257.0840.711.12塔木-2 井2171.0931.7255.3355.0342.360.55塔木-36 井2286.5935.5361.5960.8341.591.25由表 2 可以看出，如果将目前公认的李传亮模型式（4）为基准，式（1）与式（4）的平均误差为 41.55，而式（7）与式（4）的平均误差为 0.97。因此可以说应用本文模型 在考虑分形条件下计算的有效应力与模型式（4）的计算结果比较吻合。表 3 是应用简化式（12）和式（13）与原分形模型式（7）的对比计算结果，表中的 C值是由实测参数在分形维数为 2.4542 时计算得到的，即

20、 C0.135。 表 3 某盆地实测数据及有效应力计算结果Tab.3 the measured data and the effective stress caculation results岩心号深度(m)上覆压力(Mpa)孔隙压力(Mpa)孔隙度(%)分形模型(Mpa)式(12) (Mpa)误差(%)式(13) (Mpa)误差(%)塔木-1 井2181.055.2121.376.957.0857.721.1260.495.98塔木-2 井2171.0953.8422.124.555.0355.330.5558.796.83塔木-36井2286.5958.4222.898.260.8361.

21、591.2563.975.15由表 3 看出，应用式（12）得到的计算结果与分形模型式（7）误差在 2%以内，而式（13）得到的计算结果与分形模型式（7）误差在 7%以内。在工程应用中，完全可以应用 简化式来计算有效应力。同时简化式中的各项参数可以通过测井曲线来确定，因此可以依此 建立有效应力随深度的变化剖面，这在工程应用中是十分方便的。5. 结论应用分形几何理论，通过多孔介质的复杂结构特征的描述，建立了多孔介质有效应力的 分形计算模型，给出了一个认识有效应力的新途径。本文建立的有效应力分形计算模型分别考虑了孔隙结构尺寸和分形维数等参数，从孔隙 结构变化的角度分析了主应力在有效应力和孔隙压力上

22、的分配关系，是当前现有有效应力模型的补充和完善。为了现场应用方便，进一步给出了有效应力分形模型的简化式，通过实例计算表明，应 用简化式计算的有效应力值误差在 7以内，可以满足油田现场的要求。并且有利于应用测 井数据获得连续的有效应力剖面。参考文献1.JC 耶格，NGW 库克. 岩石力学基础M. 北京： 科学出版社, 1981：268-272.( J.C.Jaeger, N.G.W.Cook. Rock mechanics basis M.Beijing：Science Press，1981：268-272)2.Biot M A.General theory of three-dimension

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26、i Wei, Bi XueliangKey Laboratory of Enhanced Oil & Gas Recovery, Ministry of Education, Daqing PetroleumInstitute, Daqing (163318)AbstractTerzaghi equation is a classic model that is used to describe the relationship between stresses in porous media.The later scholars have been conducting a lot of r

27、esearches and established many models.However, the models are based on the basic shallow rock. On the basis of the full study on the chinese and foreign information about the effective stress in porous media in this paper, the 2D and 3D fractalcalculation models for the effective stress in deep porous media are respe