随机变量函数的分布、卷积公式

1、概率论概率论 第五节第五节 两个随机变量的函数两个随机变量的函数 的分布的分布 的分布的分布 M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 课堂练习课堂练习 小结小结 布置作业布置作业 ZXY 概率论概率论 在第二章中，我们讨论了一维在第二章中，我们讨论了一维 随机变量函数的分布，现在我们进一随机变量函数的分布，现在我们进一 步讨论步讨论: 当随机变量当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何的联合分布已知时，如何 求出它们的函数求出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布的分布? 概率论概率论 例例1 若若 X、Y 独立，独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 ,

2、 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求 Z=X+Y 的概率函数的概率函数. 解解 )()(rYXPrZP r i irYPiXP 0 )()( =a0br+a1br-1+arb0 r i irYiXP 0 ),( 由独立性由独立性r=0,1,2, 一、一、 的分布的分布 ZXY 概率论概率论 解解 依题意依题意 r i irYiXPrZP 0 ),()( 例例2 若若 X 和和 Y 相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布, 证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为 于是于是 i = 0 , 1 , 2 , j = 0 , 1 , 2 ,

3、! )( i e iXP i 1 1 ! )( j e jYP j 2 2 12 , 12 的泊松分布的泊松分布. 概率论概率论 r i irYiXPrZP 0 ),()( r i 0 i - r 2 - i 1 - i)!-(r e i! e 21 r i r e 0 i - r 2 i 1 )( i)!-(ri! r! ! 21 ,)( ! 21 )( 21 r r e r = 0 , 1 , 即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布. 12 概率论概率论 例例3 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f (x,y) , 求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度. D dxdyyxf

4、),( 这里积分区域这里积分区域 D=(x, y): x+y z 解解 Z=X+Y的分布函数是的分布函数是: Z FzP Zz P XYz 它它是直线是直线 x+y =z 及其左下方的半平面及其左下方的半平面. xyz x y 0 概率论概率论 化成累次积分化成累次积分,得得 zyx Z dxdyyxfzF),()( yz Z dydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换, 令令 x=u-y, 得得 z Z dyduyyufzF),()( z dudyyyuf),( 变量代换变量代换 交换积分次序交换积分次序 xyz x y 0 y 概率

5、论概率论 由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系, 即得即得Z=X+Y的概率的概率 密度为密度为: 由由X和和Y的对称性的对称性, fZ (z)又可写成又可写成 dyyyzfzFzf ZZ ),()()( 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式. dxxzxfzFzf ZZ ),()()( z Z dudyyyufzF),()( 概率论概率论 特别地，当特别地，当 X 和和 Y 独立，设独立，设 (X,Y) 关于关于 X , Y 的边的边 缘密度分别为缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为则上述两式化为:

6、 dyyfyzfzf YXZ )()()( dxxzfxfzf YXZ )()()( 下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度. 卷积公式卷积公式 概率论概率论 为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为 0 的区域的区域 例例4 若若 X 和和Y 独立独立, 具有共同的概率密度具有共同的概率密度 求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度 . 其它, 0 10, 1 )( x xf dxxzfxfzf YXZ )()()( 解解 由卷积公式由卷积公式 10 10 xz x 也即也即 zxz x 1 10 概率论概率论 zx z x O z

7、 1zx 2 1 1 z z1z 暂时固定暂时固定 0. Z fz 故故 当当 或或 时时 ,0z 2z 0 z Z fzdx 当当 时时 ,01z 12z当当 时时 , z 1 1 Z z fzdx 2z 于是于是 ,01, 2,12, 0 ,. Z zz fzzz 其其它它 dxxzfxfzf YXZ )()()( 概率论概率论 例例5 若若X和和Y 是两个相互是两个相互独立独立的随机变量的随机变量 , 具具 有相同的分布有相同的分布 N(0,1) , 求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度. dxxzfxfzf YXZ )()()( 解解 由卷积公式由卷积公式 2 2 22 1 2 z

8、xx eedx 2 2 () 42 1 2 zz x eedx 2 2 () 2 1 2 z xzx eedx 概率论概率论 2 2 () 42 1 2 zz x eedx 令令, 2 z tx得得 Z fz 2 2 4 1 2 z t eedt 2 4 1 2 z e 2 2 221 22 z e 可见可见 Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2). 概率论概率论 用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明: ),( 2 2 2 121 NYXZ 若若X和和Y 独立独立, ),(),( 2 22 2 11 NYNX 结论又如何呢结论又如何呢? 此结论此结论可以推广到可以推广到n个独立

9、随机变量之和的情形个独立随机变量之和的情形, 请自行写出结论请自行写出结论. 若若X和和Y 独立独立 , 具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1) , 则则Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2). 概率论概率论 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态 分布分布. 更一般地更一般地, 可以证明可以证明: 概率论概率论 休息片刻再继续休息片刻再继续 概率论概率论 二、二、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 设设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分是两个相互独立的随机变量，它们的分 布函数分别为布函数分别为FX(x

10、) 和和 FY(y),我们来求我们来求 M = max(X,Y) 及及 N = min(X,Y) 的分布函数的分布函数. FM(z)=P(Mz) =P(Xz,Yz) 由于由于 X 和和 Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 M = max(X,Y) 的分布的分布 函数为函数为: =P(Xz)P(Yz)FM(z) 1. M = max(X,Y) 的分布函数的分布函数 即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) Mz Xz Yz 概率论概率论 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz) FN(z)=P(Nz) =1- -P(Nz) 2. N = min

11、(X,Y) 的分布函数的分布函数 Nz Xz Yz 由于由于 X 和和 Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 N = min(X,Y) 的分布的分布 函数为函数为: =1- - P(Xz)P(Yz)FN(z) 概率论概率论 设设 X1,Xn 是是 n 个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的它们的 分布函数分别为分布函数分别为 我们来求我们来求 M=max(X1,Xn) 和和N=min(X1,Xn) 的分布函数的分布函数. (i = 1, , n) 用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是 M=max(X1,Xn)

12、的分布函数为的分布函数为: 12n MXXX FzFz FzFz 12 1111 n NXXX FzFzFzFz i X Fz 概率论概率论 特别地，当特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分相互独立且具有相同分 布函数布函数F(x)时，有时，有 n M FzF z 11n N FzF z 概率论概率论 例例6 设系统设系统 L 由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统 连接而成连接而成,连接的方式分别为连接的方式分别为 (i) 串联串联, (ii) 并联并联, (iii) 备用备用 (当系统当系统 损坏时损坏时, 系统系统 开始工作开始工作) , 如下图如下图 所示所示.设设 的寿命分别

13、为的寿命分别为 已知它们的概已知它们的概 率密度分别为率密度分别为 12 ,L L 12 ,L L 1 L 2 L , ,X Y ,0 , 0 ,0 , x X ex fx x ,0 , 0 ,0 , y Y ey fy y 0,0其中其中 且且 试分别就以上三种连接方试分别就以上三种连接方 式写出式写出 的寿命的寿命 的概率密度的概率密度. . LZ XY 1 L 2 L X Y 1 L 2 L 1 L X Y 2 L 概率论概率论 XY 1 L 2 L 解解 (i) 串联的情况串联的情况 由于当系统由于当系统 中有一个损坏时中有一个损坏时, 系统系统 L 就停就停 止工作止工作, 12 ,

14、L L 所以此时所以此时 L 的寿命为的寿命为 min,ZX Y ,0 , 0 ,0 , x X ex fx x 因为因为 X 的概率密度为的概率密度为 所以所以 X 的分布函数为的分布函数为 x XX Fxft dt 概率论概率论 x XX Fxft dt x 0 xx 0 x X Fxdt 0 当当 x 0 时时 , 0 0 0 x t X Fxdtedt 1 x e 当当 x 0 时时 , 1,0 , 0 ,0 , x X ex Fx x 故故 类似地类似地 , 1,0 , 0 ,0 , y Y ey Fy y 可求得可求得 Y 的分布函数为的分布函数为 概率论概率论 于是于是 的分布函

15、数为的分布函数为 min,ZX Y = 1-1-FX(z)1-FY(z) min Fz () 1,0 , 0 ,0 , z ez z 的概率密度为的概率密度为 min,ZX Y () ,0 , 0 ,0 , z ez z minmin fzFz 概率论概率论 X Y 1 L 2 L (ii) 并联的情况并联的情况 由于当且仅当系统由于当且仅当系统 都损坏时都损坏时, 系统系统 L 才停才停 止工作止工作, 12 ,L L 所以此时所以此时 L 的寿命为的寿命为 max,ZX Y 故故 的分布函数为的分布函数为 max,ZX Y maxXY FzFx Fy (1)(1),0 , 0 ,0 , z

16、z eez z 概率论概率论 X Y 1 L 2 L maxmax fzFz () ,0 , 0 ,0 , zz ee ez z 于是于是 的概率密度为的概率密度为 max,ZX Y (iii) 备用的情况备用的情况 因此整个系统因此整个系统 L 的寿命为的寿命为 由于当系统由于当系统 损坏时损坏时, 系统系统 才开始工作才开始工作, 1 L 2 L ZXY 概率论概率论 dyyfyzfzf YXZ )()()( 当当 z 0 时时 , 0. Z fz 当当 z 0 时时 , 0 z zy y Z fzeedy zy z y O 当且仅当当且仅当 0, 0, y zy 0yz即即 时时, 上述积分的被积函数不等于零上述积分的被积函数不等于零. 故故 z z 概率论概率论 0 z y z eedy (). zz ee ZXY 于是于是 的概率密度为的概率密度为 0 ,0. Z fz z (),0, zz eez 0 z zy y Z fzeedy 概率论概率论 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相相互独立且具有相 同分布函数同分布函数F(x)时时, 常常称称 M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn) 为极值为极值 . 由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水