悬挂系统Lie方法

1、基于Lie对称性方法的车辆非线性悬挂系统振动特性研究傅景礼1 郑明亮2 (1. 浙江理工大学理学院 杭州 310018） （2.浙江理工大学机械与控制学院 杭州 310018）摘要：本文主要基于Lie对称性方法精确求解了车辆悬挂系统的非线性结构振动问题。考虑悬挂系统中空气弹簧和液压阻尼器的非线性特性，依据分析力学方法建立了单自由度悬挂系统结构振动模型，运用微分方程Lie群变换理论求解了系统的对称性和守恒量，以车辆乘客舒适度为系统振动性能指标，进行了系统振动特性对刚度、阻尼、非线性系数、路面不平度等悬挂参数的全局灵敏度分析。实际算例表明用Lie对称性理论研究机械结构非线性动力学系统力学特性，方法

2、新颖，适用范围广，结果可靠准确。关键字：车辆悬挂系统；非线性特性；Lie对称性；振动灵敏度中图分类号：0322 文献标识码：A 文章编号：引言： 悬架系统是现代车辆的重要总成之一，其主要任务是传递作用在车轮与车身之间的一切力和力矩，并缓和由不平路面传给车身的冲击载荷，衰减由此引起的承载系统振动，它对车辆的运动乘坐舒适性、稳定性等有很大的影响1。现代车辆悬挂系统非线性因素在一定的载荷和频率域内对其动力学响应影响十分突出，因此，建立非线性悬架模型并利用现代动力学理论开展研究，对于改善车辆动力学性能有重要意义。 目前，对于车辆悬架非线性动力学系统系统的研究，多以数值仿真为主，即采用数值积分方法，计算

3、系统的振动响应，从而分析系统中存在的分岔、混沌现象2-5。而在非线性微分方程解析精确解求研究方面，大多基于摄动法、多尺度法等传统的解析方法开展6-7，其共同特点是引入小参数，将原系统处理为弱非线性系统再研究；椭圆函数摄动法、广义谐波函数摄动法、增量谐波平衡方法8-10等虽适用于强非线性系统，但计算过程比较复杂。Lie对称性理论在处理线性和非线性、常系数和变系数微分方程的问题都是等同的，它和其他的现代分析方法一起，是求常/偏微分方程的解析解的最可能统一的工具，可以用来进行大范围的参数研究，且计算过程简介和易于程序化特点11。国内外关于利用Lie对称性方法研究车辆悬架系统非线性动力学还少有报道。本

4、文基于Lie对称性方法对车辆悬挂系统非线性响应进行研究，进而指出悬挂系统参数对结构振动特性的影响，为实现悬架的优化设计和合理控制策略提供理论依据。1动力学系统的Lie对称解法 设完整约束非奇异力学Lagrange系统以广义加速度形式的微分方程为： （1-1）引进时间和坐标的特殊无限小变换： （1-2）其中为无限小参数，为无限小生成元。 微分运动方程的Lie对称性是指方程(1-1)在上述无限小变换（1-2）下形式不变12，即： （1-3）上式也可以表述成Lie对称性确定方程： （1-4） 其中：，。Lie确定方程（1-4）展开形式为： (1-5) 微分方程群分析是用来寻找微分方程的对称性，连续变

5、换的对称性都对应着一条守恒定律，一个守恒量对应一个首次积分，进而系统微分方程达到降阶和约化，守恒律在微分方程的可积性、线性化、运动常数方面有重要作用。Lie对称性可直接导致新型守恒量，再结合初始条件，从而很容易解出原高阶系统的精确响应解。 系统的能量Lagrange函数，如果存在某规范函数使结构方程： (1-6)成立，则系统Lie对称性对应的守恒量表达式为12： (1-7)直接对上式左边积分并结合(1-1)、(1-6)式可得到：。2车辆悬挂系统非线性动力学模型 车辆悬挂系统主有弹性元件、减振器和导向机构三个基本部分组成。此外还包括一些特殊功能的部件，如稳定杆和缓冲块等13 ，如图1所示。空气弹

6、簧作为一款性能优异的弹性元件，具有很多优点，主要由上下盖板、橡胶垫、附加空气室、高度控制阀与橡胶囊等部件组成，可缓和由道路不平顺引起的冲击。液压减振器主要由活塞、上下联件、液缸、和活塞杆等零件组成，液体阻尼的作用是使系统在运动过程中进行能量耗散，从而达到减振。 图2 车辆悬架系统组成 由于实际结构复杂、动力学影响因素较多，所以要想建立精确的悬挂系统模型是很困难的。为分析问题方便且所得到的结果又比较合理可靠，不失一般性，本文以1/4车体为研究对象，建立了单自由度结构振动力学模型，如图2所示。 图2 结构振动力学模型其中为车体质量，为轨道不平顺激励，为弹簧恢复力，为减振器阻尼力，为车体的位移，悬挂

7、的空气弹簧与阻尼器均为非线性，其特征可描述为14： （2-1） （2-2）其中，为刚度和阻尼的非线性小系数。 下面我们利用分析力学的方法推导出系统的振动微分方程，取系统平衡位置为坐标原点，系统的动能、势能和Lagrange函数为： （2-3）系统粘性阻尼耗散函数为： （2-4）任何振动或运动系统，根据分析力学中第二类Lagrange方程12 系统广义激振力，展开得到悬挂系统结构振动方程为： (2-5)位移激励采用余弦函数波谱：，为道路不平度幅值，为激励角频率，令，上式简化为： （2-6）3悬挂系统振动特性灵敏度分析 微分方程(2-6)式代入Lie对称无限小变换确定方程(1-5)式，得到： （3

8、-1）显然它有解，代入到系统的结构方程(1-6)和守恒量方程(1-7)得到： （3-2） 对车辆结构振动舒适性的评价，主要是通过车身垂直振动加速度的均方根植来计算。令： （3-3）其中，T为合理的时间测试常数，一般可取3080。一般越小，表示振动越舒服。取系统的悬挂参数为刚度、阻尼、非线性系数、路面不平度,则振动舒适度全局灵敏度向量为： (3-4)对于具体的车辆系统模型，可以进一步计算舒适度对悬挂参数的灵敏度数值大小。4. 算列说明 以普通某型客车为例进行悬架系统的结构振动特性分析，车辆参数示于表1中：表1 汽车悬架系统的基本参数车体质量(kg)激励幅值(m)弹簧刚度（kN/m)刚度非线性系数

9、液压阻尼（kN*s/m)阻尼非线性系数系统自由振动方程的Lie对称性导致的守恒量为：系统强迫振动的响应解析解与数值解对比如图： 图3 车体振动响应曲线图中可以看出，曲线趋势基本吻合，Lie对称性法结果是比较合理可靠的。改变系统的结构参数刚度、阻尼、非线性系数以及激励幅值得到振动舒适度随之的变化影响： 图4振动舒适度与刚度关系图 图5振动舒适度与阻尼关系图 图6振动舒适度与激励幅值关系图 图7 振动舒适度与非线性系数关系图由上述图我们可知，激励幅值变化对悬挂振动舒适度影响非常明显，对振动舒适度影响比较明显，而对其影响却不明显，改变非线性系数，同样以影响舒适度，但当系数趋于一定数值时不产生巨大变化

10、。同时，当激振力频率在悬架固有频率附近4.5变化时，系统有可能发生共振，舒适度最差。综上所述，由解析计算结果看出，合理选取各悬挂参数值，使悬架系统的变形量降到最小，对汽车振动舒适度问题具有重要的作用。 总结语： 本文应用Lie对称分析方法研究了车辆悬架系统两自由度受迫振动系统，得到了系统的精确的动态响应曲线，并将结果与数值计算方法进行了对比，结果表明，Lie分析方法对于求解非线性方程是高效、准确的。其次，研究了车辆振动舒适度关于刚度系数、阻尼系数、路面激励幅值以及非线性系数等的全局灵敏度分析，实际算例表明，激励幅值对车辆悬挂系统的振动影响很大，系统参数刚度即立方非线性项对其振动特性较大，阻尼即

11、平方非线性项对其振动特性没有明显的影响，振动舒适度随非线性系数增大而变化，结果指明了车辆系统动力学悬挂参数的修改方向。本文的研究内容也为车辆悬挂系统的先进控制方法和结构优化设计提高奠定了基础。参考文献1 郭孔辉.汽车操纵动力学原理M.南京:江苏凤凰科学技术出版社,2011.2 Borowiec M ,Litak G,Friswelll M I.Nonlinear response of an oscillator with magneto-rheological damper subjected to external forcingJ.Applied M echanics and M ate

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