线性代数练习册附答案

1、姓名 班级 学号第1章 矩阵习 题1. 写出下列从变量x, y到变量x1, y1的线性变换的系数矩阵：(1)； (2) 2.(通路矩阵)a省两个城市a1,a2和b省三个城市b1,b2,b3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况. 4 。b1a1。 3 1 。b2a2。 2 2 。b3 3. 设，求3AB-2A和ATB.4. 计算(1) (2) 5. 已知两个线性变换 ,写出它们的矩阵表示式,并求从到的线性变换.6. 设f (x)=a0xm+ a1xm-1+ am，A是n阶方阵，定义f (A)=a0Am+ a1Am-1+ amE

2、.当f (x)=x2-5x+3，时，求f (A).7. 举出反例说明下列命题是错误的.(1) 若A2= O，则A= O.(2) 若A2= A，则A= O或A= E.7. 设方阵A满足A2-3A-2E=O，证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵： (1)(2).9. 对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B和A之间的关系式.=B.10. 设，其中，求A9.11. 设 ，矩阵B满足AB=A+2B，求B.12. 设, 利用初等行变换求A-1.复习题一1. 设A, B, C均为n阶矩阵，且ABC=E,则必有（ ）.(A) ACB=E； (B) C

3、BA=E； (C) BAC=E； (D) BCA=E.2. 设,，则必有 ( ) .(A) AP1P2=B； （B）AP2P1=B； (C) P1P2A=B； (D) P2P1A=B.3. 设A为阶可逆矩阵，将A的第列与第列交换得B，再把B的第2列与第3列交换得C，设 ，则C-1=（ ）. (A) A-1P1P2； (B) P1A-1P2； (C) P2P1A-1； (D) P2A-1P1.4. 设n阶矩阵A满足A2-3A+2E=O，则下列结论中一定正确的是（ ）.(A) A-E不可逆 ； (B) A-2E不可逆 ； (C) A-3E可逆； (D) A-E和A-2E都可逆.5. 设A=(1,2

4、,3)，B=(1,1/2,1/3)，令C=ATB，求Cn.6. 证明：如果Ak=O，则(E-A)-1=E+A+A2+Ak-1，k为正整数.7.设A,B为三阶矩阵,且A-1BA=6A+BA，求B.8. 设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求.9. 设 （），求X -1.第2章 行列式习 题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组 2.当x取何值时，.3.求下列排列的逆序数：(1) 315624； (2)13(2n-1)24(2n).4. 证明： .5. 已知四阶行列式|A|中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A|.6. 计算下列行列式:(1) (2) (

5、3) (4) （5），其中7设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明： |A*|=|A|n-1，(n 2) 8. 设A,B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|=2，|B|=1，计算 |-2A*B-1|9.设，利用公式求A-1.复习题二1设A, B都是n阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A*、B*，证明：(AB)*= B*A*2.设，求A-13.已知A1, A2, B1, B2都是31矩阵，设A=( A1, A2, B1,)，B=( A1, A2, B2)，|A|=2，|B|=3，求|A+2B|4设A, B都是n阶方阵，试证：第3章 向量空间习 题1. 设1=(1,-1,1)T, 2=(0,1,2)T

6、, 3=(2,1,3)T，计算31-22+32. 设1=(2,5,1,3)T, 2=(10,1,5,10)T, 3=(4,1,-1,1)T,且3(1- x)+2(2+x)=5(3+x) ,求向量x.3. 判别下列向量组的线性相关性: (1) 1=(-1,3,1)T, 2=(2,-6,-2)T, 3=(5,4,1)T ；(2) 1=(2,3,0)T, 2=(-1,4,0)T, 3=(0,0,2)T .4. 设1=1, 2=1+2, 3=1+2+a3，且向量组1, 2, 3线性无关，证明向量组1, 2, 3线性无关5. 设有两个向量组1, 2, 3和 1=1-2+3, 2=1+2-3, 3= -1

7、+2+3，证明这两个向量组等价.6. 求向量组1=(1,2,-1)T, 2=(0,1,3)T, 3=(-2,-4,2)T, 4=(0,3,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.7. 设1, 2, n是一组n维向量，已知n维单位坐标向量1,2,n能由它们线性表示，证明：1, 2,n线性无关8. 设有向量组1, 2, 3, 4, 5，其中1, 2, 3线性无关，4=a1+b2,5=c2+d3(a, b, c, d均为不为零的实数)，求向量组1, 3, 4, 5的秩9. 设矩阵A= (1,2,n), B=(n,n-1,1)，求秩R(ATB).10. 设矩阵，求A的秩，并写出A的

8、一个最高阶非零子式.11. 已知矩阵，若A的秩R(A)=2，求参数t的值.12. 设，求A的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组.13. 设A为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，证明：如果A2=A,则 R(A)+R(A-E)=n 14. 已知向量空间的两组基为,和,，求由基1, 2, 3到基1, 2, 3的过渡矩阵.复习题三1.设矩阵，已知A的秩为3，求k的值.2设向量组A: 1, ,s与B: 1,r，若A组线性无关且B组能由A组线性表示为(1,r)(1, ,s)K，其中K为矩阵, 试证：B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)r.3设有三个n维向量组A：1, 2, 3；B：1, 2, 3,

9、 4；C：1, 2, 3, 5若A组和C组都线性无关，而B组线性相关，证明向量组1, 2, 3, 4-5线性无关4设向量组A: 1=(1,1,0)T,2=(1,0,1)T,3=(0,1,1)T 和B: 1=(-1,1,0)T,2=(1,1,1)T,3=(0,1,-1)T(1) 证明：A组和B组都是三维向量空间的基；(2) 求由A组基到B组基的过渡矩阵；(3) 已知向量在B组基下的坐标为(1,2,-1)T,求在A组基下的坐标 第4章 线性方程组习 题1. 写出方程组的矩阵表示形式及向量表示形式. 2.用克朗姆法则解下列线性方程组,其中 3.问取何值时，齐次线性方程组有非零解？4. 设有线性方程组

10、，讨论当k为何值时， (1)有唯一解？(2)有无穷多解？(3)无解？5. 求齐次线性方程组的一个基础解系.6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1, 2, 3是它的三个解向量，且1=(2,3,4,5)T, 2+3=(1,2,3,4)T，求此方程组的的通解7 .求下列非齐次线性方程组的通解： 8. 设有向量组A：，及向量，问向量能否由向量组A线性表示？9. 设*是非齐次线性方程组AX=b的一个解，1, 2, n-r是它的导出组的一个基础解系，证明：（1）*, 1, 2, n-r线性无关；（2）*, *+1, *+2, *+n-r线性无关复习题四1.设，且方程组AX=的解空间的维数为2

11、，则a= .2设齐次线性方程组a1x1+a2x2+anxn=0,且a1,a2,an不全为零，则它的基础解系所含向量个数为 .3.设有向量组：1=(a,2,10)T, 2=(-2,1,5)T, 3=(-1,1,4)T及向量=(1,b,-1)T，问a, b为何值时,（1）向量不能由向量组线性表示；（2）向量能由向量组线性表示，且表示式唯一；（3）向量能由向量组线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式4设四元齐次线性方程组（） （）求: (1) 方程组()与()的基础解系；(2) 方程组()与()的公共解5设矩阵A=(1, 2, 3, 4)，其中2, 3, 4线性无关，1=22-3，向量=1+2+3

12、+4，求非齐次线性方程组Ax= 的通解6. 设,证明三直线 相交于一点的充分必要条件是向量组线性无关，且向量组线性相关第5章 矩阵的特征值和特征向量习 题1.已知向量1=(1,-1,1)T，试求两个向量2, 3，使1, 2, 3为R 3的一组正交基2.设A, B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵3. 设A是n阶正交矩阵，且|A|=-1，证明：-1是A的一个特征值4.求矩阵的特征值和特征向量.5. 已知三阶矩阵A的特征值为1,2,3，计算行列式|A3-5A2+7E|6.设矩阵与相似，求；并求一个正交矩阵P，使P -1AP=7.将下列对称矩阵相似对角化：（1） （2）8. 设是可逆矩阵A的特征

13、值，证明：(1)是A*的特征值(2)当1,-2,3是3阶矩阵A的特征值时，求A*的特征值9.设三阶实对称矩阵A的特征值为1=6, 2=3=3，属于特征值1=6的特征向量为p1=(1,1,1)T，求矩阵A复习题五1.设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 2.已知3阶矩阵A, A-E, E+2A都不可逆，则行列式|A+E|= 3.设，已知A与B相似，则a, b满足 4.设A为2阶矩阵, 1, 2为线性无关的2维列向量，A1=0, A2=21+, 2，则A的非零特征值为 .5.已知矩阵可相似对角化，求6.设矩阵A满足A2-3A+2E=O，证明A的特征值只能是1或27.已知p1=(1,1,-1

14、)T是对应矩阵的特征值的一个特征向量(1) 求参数a, b及特征值； (2) 问A能否相似对角化？说明理由8. 设，求(A)=A10-5A9第6章 二次型习 题1.写出下列二次型的矩阵表示形式： 2.写出对称矩阵所对应的二次型3. 已知二次型的秩为，求的值4.求一个正交变换将化成标准形5.用配方法将二次型化成标准形，并写出所用的可逆线性变换6. 设二次型，若通过正交变换化成标准形，求的值7. 判别下列二次型的正定性： （1） （2）8. 设为正定二次型，求的取值范围复习题六1. 设A为矩阵，B=E+ATA，试证：0时，矩阵B为正定矩阵2.设,写出以A, A-1为矩阵的二次型，并将所得两个二次型

15、化成标准形3. 已知二次曲面方程，通过正交变换X=PY化为椭圆柱面方程，求的值 4. 设矩阵，其中为实数，求对角矩阵，使B与相似，并讨论k为何值时，B为正定矩阵测试题一一、计算题： 1.计算行列式.2设，计算3设、都是四阶正交矩阵，且，为的伴随矩阵,计算行列式 4设三阶矩阵与相似，且，计算行列式 5设，且的秩为2，求常数的值二、解答题： 6设，其中是各不相同的数，问4维非零向量能否由线性表示？说明理由7求齐次线性方程组的一个基础解系8问取何值时，线性方程组(1)有唯一解；(2)有无穷多解；(3)无解9已知四阶方阵（），其中线性无关，求方程组的通解10三阶实对称矩阵的特征值是1,2,3.矩阵的属

16、于特征值1,2的特征向量分别是,求的属于特征值3的所有特征向量,并求的一个相似变换矩阵和对角矩阵,使得.三、证明题:11设，且线性无关，证明：也线性无关12设为实对称矩阵，且满足，证明为正定矩阵测试题二一、填空题:、若规定自然数从小到大的次序为标准次序，则排列134782695的逆序数为 ；、已知为三阶正交矩阵，且，则= ；、设方阵=，若不可逆，则 ；、设，其中，则= ；、“若向量组线性无关，向量组线性相关，则一定能由线性表示”该命题正确吗？ 。二、计算下列各题:1、计算行列式 2、设 ，且，求3、利用初等行变换求矩阵的秩，并写出矩阵的列向量组的一个极大线性无关组三、设非齐次线性方程组（1）求

17、它相应的齐次线性方程组的一个基础解系；（2）求原方程组的通解四、求一个可逆变换将二次型 化为标准形，并判别其正定性五、设，问为何值时，可由线性表示，且表示式不唯一？并说明不唯一的理由六、已知矩阵与相似，其中，计算行列式.七、证明题:、已知，是齐次线性方程组的一个基础解系，证明，也是它的一个基础解系、设、均为阶方阵，为阶单位矩阵，且，证明测试题三一、填空题:已知齐次线性方程组有非零解，则应满足的条件是 ；已知为三阶矩阵，且=2，则= ；已知两个线性变换 和，则从到的线性变换为 ；若二次型是正定的，则的取值范围是 ；设为实对称矩阵，为非零向量，且，则= .二、计算下列各题:1计算行列式 2设，其中

18、，计算三、解答题: 设向量组：，（1）求向量组的秩，并写出它的一个极大无关组；（2）令，求方程组的通解四、解答或证明下列各题:1命题一：“若方阵满足，则或” 命题二：“若方阵满足，则或” 以上两个命题是否正确？若正确给出证明，若不正确举例说明之2设是四元非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的解空间的一组基，证明，线性无关五、解答题:设矩阵 （1）求矩阵的特征值；（2）令，求一个对角矩阵，使与相似；（3）求以为矩阵的二次型测试题四一、填空题：1.设A=(-1,0,1)，B=（1, 2, 3），则 (ATB)6= ；2.行列式 ；3.设四阶方阵A、B满足AB+2B+E,且|A+2E|2

19、，则|B| ；4.设A为n阶方阵,且|A|=2,|3EA| =0, 则A的伴随矩阵A*必有一个特征值是 ；5.设矩阵,已知齐次线性方程组AX=的解空间的维数为2,则x= .二、选择题：1.下列集合中不能构成向量空间的是( ).（A）(x1,xn)TxiR且x1+xn=1； （B）(x1,xn)TxiR且x1+xn=0； （C）(0,x2,xn)TxiR ； （D）=11+ss, iR,i为n维向量 .2设, 则A=（ ）（A）Q-1BP-1； （B）P-1BQ-1； （C）QBP； （D）PBQ.3.n（n3）维向量1, 2, 3线性无关的充分必要条件是（ ）(A) 1, 2, 3中任意两个向

20、量线性无关； (B) 1, 2, 3全是非零向量；(C) 对于任何一组不全为零的数k1, k2, k3，都有k11+k22+k33；(D) 1, 2, 3能由单位坐标向量1, 2, 3线性表示4设n阶方阵A、B满足AB=,则下列命题中错误的是( ).(A) 若|A|0，则B=O； (B) 若R(A)=r，则R(B)n-r； (C) |A|、|B|中至少有一个为零； (D) 若BO，则A=O 5设A是mn矩阵，非齐次线性方程组AX=b的导出组为AX=.如果mn，则( ).(A) AX=b必有无穷多解；(B) AX=b必有唯一解；(C) AX=必有非零解； (D) AX=必有唯一解三、设A为三阶方

21、阵，且|A|=3，计算行列式|(2A)-1A*|.四、设,求矩阵A的秩，并分别写出A的列向量组和行向量组的一个极大无关组五、设矩阵，且AB=2AB，求矩阵B六、设向量组，已知方程组 x11+x22+x33=4 有无穷多解，求m, n的值，并求该方程组的通解七、设,已知3是矩阵的一个特征值.(1) 求参数k的值；(2) 求A-1，并写出以A-1为矩阵的二次型(3)计算行列式|B23E|，其中B与A相似.八、设三阶实对称矩阵A的特征值为1，1，-1已知属于特征值1的两个线性无关的特征向量为 ，求矩阵A及A12 .九、 设方程组的系数行列式det(aij)=0，而A110，证明 (A11,A12,A

22、13)T 是该方程组的一个基础解系其中Aij是元素aij的代数余子式 复习题与测试题参考答案或提示复习题一1. (D). 2. (C). 3. (C). 4. (C).5. . 6. 提示：.7. 8. .9. （）.复习题二1. 提示：利用A*=|A|A-12. . 3.72. 4. 提示：利用.复习题三1k= -3. 2.必要性利用定理3.12(2),充分性利用定理3.7及其证明方法.3.利用线性无关的定义及定理3.2.4(1)证明A组及B组线性无关；(2) ； (3) 在A组基下的坐标为(0,1,2)T复习题四1a=1. 2n-13(1)a4且b0时,不能线性表示； (2)a4时，能唯一

23、线性表示；(3)a4且b0时，表示式不唯一，且=k1- (2k-1)2+34(1)方程组()的一组基础解系为1=(-1,1,0,0)T, 2=(0,0,1,0)T. 方程组()的一组基础解系为1=(0,1,1,0)T, 2=(1,1,0,-1)T. (2)公共解x=k(-1,1,2,1)T, k为任意实数5利用方程组的向量表示式及解的结构，可得通解为x=k(1,-2,1,0)T+(1,1,1,1)T，k为任意实数复习题五1. n,0,0 2. 1. 3. a=b=0 4. A的非零特征值为1. 5. x =36. 说明A的任意特征值的取值范围.7. (1)a-3，b0，-1； (2)A不能对角

24、化，因为A没有3个线性无关的特征向量8. 复习题六1. 提示：证明二次型xTBx正定2. ,其标准形为 ，其标准形为, 3. a=1, b=04. ，时，B为正定矩阵测试题一一、1. . 2. 3.-16. 4.-14. 5.a=2, b=1二、6.能由1, 2, 3, 4线性表示.7.8.当k1且k-2时，有唯一解；当k=1时，有无穷多解；当k=-2时，无解. 9.是导出组的基础解系 是原方程组的特解,通解为10.属于3的所有特征向量为k3=k(1,0,1)T，k0令，,则 P-1AP=.三、12.A2-A-2E=(A+E)(A-2E)=O，所以A的特征值只能取-1或2,因此A+2E的特征值只能取1或3,故为正定矩阵测试题二一、110. 2-1.3-4. 4. 5正确.二、1. Dn=n!. 2. C5=A(BTA)4B =104. 3. R(A)=3, 极大无关组为 (1,0,2,1)T, (1,2,0,1)T, (2,1,3,0)T. 三、 一个基础解系为(1,2,1,0)T, (-2,3,0,1)T , 通解为x=k1(1,2,1,0)T+k2(-2,3,0,1)T+(4,-1,0,0)T 四、, 矩阵为正定.五、当a=1时，可由1, 2, 3线性表示，且表示式不唯一. 六、-235 . 测试题三一、1a=2或a=3. 28. 3. 4. 50 .二、1. (-1)n-