二次函数图象及性质

1、二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图象和性质的图象和性质 20053 二次函数y=ax2的图象和性质 x y 一一. 平面直角坐标系平面直角坐标系: 1. 有关概念: x(横轴) y(纵轴) o 第一象限第二象限 第三象限第四象限 P a b (a,b) 2. 平面内点的坐标: 3. 坐标平面内的点与有序 实数对是: 一一对应. 坐标平面内的任意一点M,都有唯一一对有序实数(x,y)与它对应; 任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内都有唯一的点M与它对应. 4. 点的位置及其坐标特征: .各象限内的点: .各坐标轴上的点: .各象限角平分线上的点: .对称于坐标轴的两点: .对称于原点

2、的两点: x y o (+,+)(-,+) (-,-)(+,-) P(a,0) Q(0,b) P(a,a) Q(b,-b) M(a,b) N(a,-b) A(x,y) B(-x,y) C(m,n) D(-m,-n) x y 1 x y 2 x y=x2 y= - x2 . . . . . . 0-2 -1.5-1-0.511.50.5 2 函数图象画法函数图象画法 列表列表 描点描点 连线连线 00.251 2.25 40.25 12.254 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲

3、线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 0-0.25 -1-2.25-4-0.25-1-2.25-4 注意：列表时自变量注意：列表时自变量 取值

4、要均匀和对称。取值要均匀和对称。 画出下列函数的图象。画出下列函数的图象。 2 2 2 3 2 ) 3 ( 2) 2( 2 1 ) 1 ( xy xy xy 2 xy 2 xy x y=2x2 . . . . 0-2 -1.5-1-0.511.50.5 2 x y=x2 . . . . 0-4 -3-2-123 1 4 2 2 1 xy 00.52 4.58 0.5 24.58 列表参考 00.524.58 0.524.58 x y=2x2 . . . . 0 -3 -1.5 -11.51 -223 2 3 2 xy 0 3 2 1.5 3 8 -6 3 2 1.5 3 8 -6 2 2 1

5、xy 2 2xy 2 3 2 xy 二次函数二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做所经过的路线，我们把它叫做抛物线抛物线。 2 2xy 2 3 2 xy 2 2 1 xy 2 xy 2 xy 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴 对称，对称，y轴就是它的轴就是它的 对称轴。对称轴。 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴 对称，对称，y轴就是它的轴就是它的 对称轴。对称轴。 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴 对称，对称，y轴就是它的轴就是它的 对称轴。对称轴。 对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。 对称轴与抛物

6、线的交点对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。 对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。 2 xy 2 xy 1、观察右图，、观察右图， 并完成填空。并完成填空。 抛物线抛物线y=x2y=-x2 顶点坐标顶点坐标 对称轴对称轴 位置位置 开口方向开口方向 增减性增减性 极值极值 （0，0） （0，0） y轴轴 y轴轴 在在x轴的上方（除顶点外）轴的上方（除顶点外） 在在x轴的下方（除顶点外）轴的下方（除顶点外） 向上向上向下向下 当当x=0时，最小值为时，最小值为0。 当当x=0时，最大值为时，最大值为0。 二次函数二次函数y=ax2的性质

7、的性质 、顶点坐标与对称轴、顶点坐标与对称轴 、位置与开口方向、位置与开口方向 、增减性与极值、增减性与极值 2 2、练习、练习2 2 3 3、想一想、想一想 在同一坐标系内，抛物线在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线与抛物线 y= -x2的位置有什么关系？的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内如果在同一坐标系内 画函数画函数y=ax2与与y= -ax2的图象，怎样画才简便？的图象，怎样画才简便？ 4 4、练习、练习4 4 动画演示动画演示 在同一坐标系内，抛物线在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线与抛物线 y= -x2的位置有什么关系？的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内如果在同一坐标

8、系内 画函数画函数y=ax2与与y= -ax2的图象，怎样画才简便？的图象，怎样画才简便？ 答：抛物线抛物线答：抛物线抛物线y=x2与抛物线与抛物线 y= -x2 既关于既关于x轴对轴对 称，又关于原点对称。只要画出称，又关于原点对称。只要画出y=ax2与与y= -ax2中的中的 一条抛物线，另一条可利用关于一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称或关于原点轴对称或关于原点 对称来画。对称来画。 2 xy 2 xy 当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的 左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而 减小。减小。 当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的 右侧，右侧，y随着随着x的增大而的增大而 增大。增大

9、。 当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的 左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而 增大。增大。 当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2在在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且 向上无限伸展；向上无限伸展； 当当a0时，在对称轴的左侧，时，在对称轴的左侧，y随着随着x的增大而减小；的增大而减小； 在对称轴右侧，在对称轴右侧，y随着随着x的增大而增大。当的增大而增大。当x=0时函数时函数y的值最小。的值最小。 当当a0时，在对称轴的左侧，时，在对称轴的左侧，y随着随着x的增大而增大；的增大而增大； 在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y随着随着x增大而减

10、小，当增大而减小，当x=0时，函数时，函数y的值最大。的值最大。 二次函数y=ax2的性质 2 xy 2 xy 2 2xy 2 3 2 xy 2 2、根据左边已画好的函数图象填空、根据左边已画好的函数图象填空： （1）抛物线）抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 , 对称轴是对称轴是 ，在，在 侧，侧， y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在 侧，侧， y随着随着x的增大而减小，当的增大而减小，当x= 时，时， 函数函数y的值最小，最小值是的值最小，最小值是 ,抛物抛物 线线y=2x2在在x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。 （2）抛物线）抛物线 在在x轴的轴的 方（除顶点外

11、），在对称轴的方（除顶点外），在对称轴的 左侧，左侧，y随着随着x的的 ；在对称轴的右侧，；在对称轴的右侧，y随着随着x的的 ，当，当x=0时，函数时，函数y的值最大，最大值是的值最大，最大值是 ， 当当x 0时，时，y0. 2 3 2 xy （0，0） y轴轴 对称轴的右对称轴的右 对称轴的左对称轴的左 0 0 上上 下下 增大而增大增大而增大 增大而减小增大而减小 0 1、已知抛物线、已知抛物线y=ax2经过点经过点A（-2，-8）。）。 （1）求此抛物线的函数解析式；）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。的点的坐标。 解（解（1）把（）把（-2，-8）代入）代入y=ax2,得得 -8=a(-2)2,解出解出a= -