第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

1、第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根) 第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知Apq, Bqp, 则|Ip+AB|=|Iq+BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质； 从而Ip+AB，Iq+BA中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当

2、多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：tr(A)?aii?i，etrA=exp(trA) i?1i?1nn 性质： 1. tr(?A?B)?tr(A)?tr(B)，线性性质； T2. tr(A)?tr(A)； 3. tr(AB)?tr(BA)； ?14. tr(PAP)?tr(A)； HH5. tr(xAx)?tr(Axx),x为向量； kktr(A)?,tr(A)?6. ?i?i; i?1i?1nn 从Schur定理（或Jordan标准形）和（4）证明； 7. A?0,则tr(A)?0,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A?B(即A?B

3、?0),则tr(A)?tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B（A?B?i(A)?i(B)）； 9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得Ak=0,则tr(A)=0（从Schur定理或Jordan标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个mn复矩阵A和B，tr(AHB)是mn维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz不等式 x,y2x,xy,y 得 定理：对任意两个mn复矩阵A和B |tr(AHB)|2tr(AHA)tr(BHB) 这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。特别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时 0| tr(AB)

4、| 定理：设A和B为两个n阶Hermite阵,且A0，B0，则 0tr(AB)1(B)tr(A) tr(A)tr(B) 1(B)表示B的最大特征值。 证明： tr(AB)= tr(A1/2BA1/2) 0，又因为 A1/21(B)I-BA1/20，所以1(B)tr(A)A1/2BA1/2，得 tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)tr(1(B) A) =1(B) tr(A)tr(A)tr(B) 推论：设A为Hermite矩阵，且A>0，则 tr(A)tr(A-1)n 另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考矩阵论中不等式。 三、矩阵的秩 矩阵的秩的概念是由Sylvester于186

5、1年引进的。它是矩阵的最重要的数字特征之一。下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。 定义：矩阵A的秩定义为它的行（或列）向量的最大无关组所包含的向量的个数。记为rank(A) 性质： 1. rank(AB)?min(rank(A),rank(B)； 2. rank(A?B)?rank(A,B)?rank(A)?rank(B)； HHrank(AA)?rank(A)?rank(A)； 3. 4. rank(A)?rank(XA)?rank(AY)?rank(XAY)，其中X列满秩，Y行满秩（消去法则）。 定理（Sylvester）：设A和B分别为mn和nl矩阵，则 rank(A)?rank(B)

6、?n?rank(AB) ?min(rank(A),r a Sylveste定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的矩阵论中不等式，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。 四、相对特征根 定义：设A和B均为P阶实对称阵，B>0，方程 |A-B|=0的根称为A相对于B的特征根。 性质：|A-B|=0等价于|B-1/2AB-1/2-I|=0 (因为B>0，所以B1/2>0) 注：求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是实对称阵，所以特征根为实数。 定义：使(A-iB)li

7、=0的非零向量li称为对应于i的A相对于B的特征向量。 性质： 设l是相对于的A B-1的特征向量，则 A B-1l=l 或 A (B-1l)=B( B-1l) B-1l 为对应的A相对于B的特征向量 （转化为求A B-1的特征向量问题）。 设l是相对于的B-1/2AB-1/2的特征向量，则 B-1/2AB-1/2l=l 可得 A (B-1/2l)=B(B-1/2l) 则B-1/2l 为对应的A相对于B的特征向量 （转化为求B-1/2AB-1/2对称阵的特征向量问题）。 五、向量范数与矩阵范数 向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。先讨论向量范数。 1. 向量范数定义：设V为数域

8、F上的线性空间，若对于V的任一向量x，对应一个实值函数x，并满 足以下三个条件： （1）非负性 x?0，等号当且仅当x=0时成立； （2）齐次性 ?x?x,?k,x?V; （3）三角不等式x?y?x?y,x,y?V。 则称x为V中向量x的范数，简称为向量范数。定义了范数的线性空间定义称为赋范线性空间。 例1. ? n x?C n ，它可表示成x?1?2?n? T ，?i?C， 2? x2?i? ?i?1? 就是一种范数，称为欧氏范数或2-范数。 证明： 2? （i）非负性 x2?i? ?i?1? n ?0， x 2 当且仅当?i?0?i?1,2,?,n?时，即x0时， （ii）齐次性 ?2?

9、?x2?i? ?i?1? n 0 ?2? ?i? ?i?1? T n?x2 （iii）三角不等式 y?1 ?2?n? ，?i?C T x?y?1?1?2?2?n?n? x?y2?i?i i?12 n 2 ?i?i?i?i?2Re?i?i?i?i?2?i?i 222 ? 22 x?y2?x2?y2?2?i?i i?1 222 n ?x2?y2?x2?y2?2x2y2 2 2 2 根据H?lder不等式： ?p?aibi?ai?i?1?i?1? n n n ?q?11b?i?，p,q?1,?1,ai,bi?0 pq?i?1?n x ? 2 2?2? y2?i?i? ?i?1?i?1? n ?i?i

10、 i?1 n x?y2?x2?y2 ?2?n? T 2. 常用的向量范数（设向量为x?1 1-范数：x 1 ） ?i； i?1 1?i?n n -范数：x?max?i； p? P-范数：xp?i? （p>1, p=1, 2,?,）; ?i?1? n 2-范数：x2?xx ? H ? ; 椭圆范数(2-范数的推广): x A ?xAx ? H ? ，A为Hermite正定阵. ?2?wi?i?i?1? n 加权范数： x w ， 当A?W?diag?w1w2?wn?，wi?0 证明： x p 显然满足非负性和齐次性 ?2?n? T （iii）y?1 p? xp?i? ?i?1? n p?

11、x?yp?i?i ?i?1? p?1 p? yp?i? ?i?1?n p n nn ? x?y p ? p ?i?i?i?i i?1 i?1 ?i?i p?1 ?i?i i?1 n p?1 ?i?i?i i?1 n ?i 应用H?lder不等式 ? ii?1n ii?1 n p?1 i ?p?1?q? ?i?i?i ? ?i?1?p?1?q?i?i?i ? i?1? n n p? ?i?i?1?p? ?i?i?1?n n ? p?1 i 11 ?1?p?1?q?p pq ? n ?i i?1 n ?p p? ?i?i?i1? n ?n ?i? 1 ?i? p ?i n 1i1 ?p ? ? p

12、?i?i ?i?1?p? ?i?i?1? p n p? ?i?i?1? n 即 x?yp?xp?y 3. 向量范数的等价性 定理 设 、? n 为的两种向量范数，则必定存C? 在正数m、M，使得 mx?x?Mx?，（m、M与x 无关），称此为向量范数的等价性。 同时有 注： （1）对某一向量X而言，如果它的某一种范数小（或大），那么它的其它范数也小（或大）。 （2）不同的向量范数可能大小不同，但在考虑向量序列的收敛性问题时，却表现出明显的一致性。 4、矩阵范数 向量范数的概念推广到矩阵情况。因为一个m m?nCn阶矩阵可以看成一个mn维向量，所以中任何1x?xM?1xm? 一种向量范数都可以认

13、为是mn阶矩阵的矩阵范数。 m?nC1. 矩阵范数定义：设表示数域C上全体m?n 阶矩阵的集合。若对于Cm?n中任一矩阵A，均对应一个实值函数A，并满足以下四个条件： （1）A?0 ，等号当且仅当A=0时成立； （2）齐次性：?A?A,?C; m?nA?B?A?B,A,B?C （3）三角不等式：,则称 A为广义矩阵范数； （4）相容性：AB?A?B,则称A为矩阵范数。 5. 常用的矩阵范数 （1）Frobenius范数（F-范数） F-范数： AF2?aij?i，j?1?n ? 矩阵和向量之间常以乘积的形式出现，因而需要考虑矩阵范数与向量范数的协调性。 定义：如果矩阵范数A和向量范数x满足 A

14、x?A?x 则称这两种范数是相容的。 给一种向量范数后，我们总可以找到一个矩阵范数与之相容。 （2）诱导范数 设ACmn，xCn , x为x的某种向量范数， 记 Ax A?x?1 则A是矩阵A 的且与x相容的矩阵范数，也称之为 A的诱导范数或算子范数。 （3）p-范数： A?aij? A p ?max Axx p p ， ?2?n? T ,x为所有可能的向量，x?1m?n p ， ?xp?x ， p 1 Axp?A?x? ? p ?0? ? A p ?Ax xp?1 n A1?Ax1，x1?i?1，Ax1?aij?j x?1 i?1 nn i?1j?1 可以证明下列矩阵范数都是诱导范数： （1

15、） A1?max?aij 1?j?n i?1n 列（和）范数； A? 谱范数； （2 ）21?i?nAHA的最大特征值称为AHA的谱半径。 当A是Hermite矩阵时，半径。 A2?max?i(A)是 1?i?n A的谱 注：谱范数有许多良好的性质，因而经常用到。 A H ?A2; AA?A2 22 n H 2 （3）（ A ? ?max?aij 1?i?m j?1 p? ?i?i?1? n 行（和）范数 ?max?i 1?i?n p? x ? ， 2? x2?i? ?i?1? n ） 定理 矩阵A的任意一种范数A是A的元素的连 续函数；矩阵A的任意两种范数是等价的。 定理 设AC 即 Ax

16、证明：由于Ax22nn，xCn, 则AF和x2是相容的 ?AF?x2 ?A2?x2?AF?x2成立。 定理 设ACnn，则AF是酉不变的，即对于任意酉矩阵U,VCnn，有 A 证明： F?UAVF UAVF? ? ?AF 定义 设ACnn，A的所有不同特征值组成的集合称为A的谱；特征值的模的最大值称为A的谱半径，记为(A)。 定理 (A)不大于A的任何一种诱导范数，即 (A)A 证明：设是A的任意特征值，x是相应的特征向 量，即 Ax=x 则 |x|= |Ax|A|x|, |x|0 即 |A| 试证：设A是n阶方阵，|A|是诱导范数，当|A|<1时，I-A可逆，且有 |(I-A)-1|(

17、1-|A|)-1 证明： 若I-A不可逆，则齐次线性方程组 (I-A)x=0 有非零解x，即x=Ax，因而有 |x|=|Ax|A|x|<|x| 但这是不可能的，故I-A可逆。 于是 (I-A)-1= (I-A)+A (I-A)-1=I+A (I-A)-1 因此|(I-A)-1|I|+|A(I-A)-1|=1+|A(I-A)-1| 1+|A| (I-A)-1| 即证 |(I-A)-1|(1-|A|)-1 补充证明|I|=1： 由相容性可知： |A|A-1|A A-1|=|I| x?Ix?Ix?I?1 Ax) 对于诱导范数( A?x?1 I?Ix?1。 x?1 六、条件数 条件数对研究方程的

18、性态起着重要的作用。 定义：设矩阵A是可逆方阵，称|A|A-1|为矩阵A的条件数，记为cond(A)，即 cond(A)= |A|A-1| 性质： （1）cond(A) 1,并且A的条件数与所取的诱导范数的类型有关。 因cond(A)= |A|A-1|A A-1|=|I|=1 （2）cond(kA)= cond(A)=cond(A-1)，这里k为任意非零常数。 当选用不用的范数时，就得到不同的条件数，如： cond1(A)= |A|1|A-1|1 cond(A)= |A|A-1| cond2(A)= |A|2|A|2 =-1?1,?n分别 为AHA的特征值的模的最大值和最小值。谱条件数 特别地，如果A为可逆的Hermite矩阵，则有 ?1cond2(A)= ?n 这里?1,?n分别为A的特征值的模的最大值和最小值。 如果A为酉阵，则cond2(A)= 1 例 求矩阵A的条件数cond1(A)，cond(A) 5?2?1?A?210 ? ?3?82? 解： |A|1=max6;14;4=14; |A|=max8;3;13=14; ?262?1?1A?484? 4?132311? 故 |A-1|1=17/4; |A-1|=47/4; cond1(A)= |A|1|A-1|1=1417/4=259/2; cond(A)= |A|A-1|=611/4。 例