函数单调性课件-贾娟妮

1、 单单 位：位： 蓝田县蓝田县玉山中学玉山中学 授课教师： 贾娟妮贾娟妮 时 间： 2014年12月 T T 下图是兰州市今年下图是兰州市今年5月月1日一天日一天24小时内气温随时间小时内气温随时间 变化的曲线图变化的曲线图. 48121620 24 t o -2 2 4 8 6 10 问题：观察图形，能得到什么信息？问题：观察图形，能得到什么信息？ (1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (2)在某时刻的温度；在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低某些时段温度升高，某些时段温度降低. 画出下列函数的图象，观察其变化规律： f(x

2、) = x 1.从左至右图象上升还是下降 ? 2.在区间 上，随着x的增大，f(x)的值随 着 （-，+） 增 大 上升 画出下列函数的图象，观察其变化规律： f(x) = x2 1.在区间 上, f(x)的值随着x的增大而 2. 在区间 上, f(x)的值随着x的增大而 （-，00 减小减小 0，+） 增大增大 x01234 f(x)=x 2 014916 2 2 在在区区间间 0 0，上上任任取取两两个个, ,得得到到 ，当当时时，有有，这这时时我我们们就就 说说函函数数在在区区间间 0 0，上上是是增增函函数数 2 1211 2 221212 ,(), ()()() ( ). xxf x

3、x f xxxxf xf x f xx 一、函数单调性定义一、函数单调性定义 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对，如果对 于定义域于定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1， x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在区在区 间间D上是上是增函数增函数 1增函数增函数 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果对，如果对 于定义域于定义域I内的某个区间内的某个区间D内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1， x2，当，当x1f(x2)，那么就说，那么就说f

4、(x)在区在区 间间D上是上是减函数减函数 2减函数减函数 2.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的函数的单调性是在定义域内的某个区间上的 性质，是函数的性质，是函数的局部性质局部性质； 注意：注意： 1.必须是对于区间必须是对于区间D内的内的任意任意两个自变量两个自变量x1，x2； 当当x1x2时，时，总有总有f(x1)f(x2) 分别是增分别是增 函数和减函数函数和减函数. 练习1：判断题： 若函数 若函数 在区间和(2,3)上均为增函数，则函 数 在区间(1,3)上为增函数 因为函数 在区间 上都是减函数， 所以 在 上是减函数. 强调三点： 单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定

5、义域 和相应区间就谈不上单调性 对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如 一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也 可以根本不单调(如常函数) 函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函 数，一般不能认为函数在 上是增（或减）函数。 思考：如何说明一个函数在某个区间上是不是单调函数? 例例1.下图是定义在区间下图是定义在区间- -5，5上的函数上的函数y=f(x)，根，根 据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上, 它是增函数还是减函数？它是增函数还是减函数？ 解解:函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有 其中其中y=

6、f(x)在区间在区间- -5, - -2), 1, 3)上是减函数，上是减函数， 在区间在区间- -2, 1), 3, 5 上是增函数上是增函数. - -5, - -2), - -2,1), 1, 3), 3, 5. 二二.典例精典例精 析析 例例2.证明：函数证明：函数 在在 上是增函数上是增函数. , 证明：在区间证明：在区间 上任取两个值上任取两个值 且且 , 12 ,x x 12 xx 12 xx 12 ,x x ，且，且 21 0 xx 23)( xxf )23()23()()( 1212 xxxfxf则 )(3 12 xx )()(0)()( 1212 xfxfxfxf即 所以函数

7、所以函数 在区间上在区间上 是增函数是增函数. . , 23)( xxf 思考：思考：如何证明一个函数是单调递增的呢？如何证明一个函数是单调递增的呢？ 取值 断号 定论定论 作差 变形 三三、判断函数单调性的方法步骤、判断函数单调性的方法步骤 取值：取值： 任取任取x1，x2D，且，且x1x2； 作差：作差：f(x1)f(x2)； 变形：（因式分解和配方等）乘积或商式；变形：（因式分解和配方等）乘积或商式； 定号：（即判断差定号：（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）； 下结论：（即指出函数下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上上 的单调性）的单调性） 利用定义证明

8、函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单上的单 调性的一般步骤：调性的一般步骤： 练习2：证明函数 在 上是增函数。 问题：要证明函数 在区间 上是增函数，除了用定义 来证，如果可以证得对任意的 ，且 有 可 以吗? 学生分析这种叙述与定义的等价性，尝试用这种等价形式证明 函数 在 上是增函数。 (,) 课堂小结 (1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性 (2) 证明方法和步骤：取值、作差、变形、断号、定论 (3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，模拟等 课外作业：课外作业： 1.书面作业：课本第书面作业：课本第39页页 习题习题2-3 第第4，5题题 2.课后探究：课后探究： 研究函数研究函数 的单调性，并结合描点法画的