力学数学预备知识(微积分与矢量)

1、1 微积分学概要微积分学概要 微积分学是微分学和积分学的总称。它微积分学是微分学和积分学的总称。它 是一种数学思想，是一种数学思想，“无限细分无限细分”就是微就是微 分，分，“无限求和无限求和”就是积分。就是积分。 十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成 了许多数学家都参加过准备的工作，分了许多数学家都参加过准备的工作，分 别独立地建立了微积分学。他们建立微别独立地建立了微积分学。他们建立微 积分的出发点是直观的无穷小量，但是积分的出发点是直观的无穷小量，但是 理论基础是不牢固的。因为理论基础是不牢固的。因为“无限无限”的的 概念是无法用已经拥有的代数公式进行概念

2、是无法用已经拥有的代数公式进行 演算，所以，直到十九世纪，柯西和维演算，所以，直到十九世纪，柯西和维 尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等 建立了严格的实数理论，这门学科才得建立了严格的实数理论，这门学科才得 以严密化。以严密化。 牛顿牛顿 2 极极 限限 极限极限对对 y = f (x) ，若，若 x 无限趋近某一数值无限趋近某一数值x0 ，f (x) 则无限趋近某一确定数值则无限趋近某一确定数值a，则，则a就是函数就是函数f (x)在在x趋近趋近x0 时的极限，记作：时的极限，记作： 0 lim( ) xx f xa 3 若函数若函数 y = f (x) 在

3、某一区间内各点均可导，则其导数在某一区间内各点均可导，则其导数 f (x) 也是自变量也是自变量 x 的函数，称为导函数。导函数的函数，称为导函数。导函数 f(x) 对对 x 的导数叫做的导数叫做 y 对对 x 的二阶导数，定义为：的二阶导数，定义为： ()( ) 00 ( )limlim yf xxf x xx xx fx y Q P x y x ()( ) 0 ( )lim fxxfx x x fx 函数函数y=f(x)对自变量对自变量x的导数，的导数， 就是就是y对对x的变化率，定义为：的变化率，定义为： 导导 数数 4 微微 分分 若函数若函数y = f(x)在点在点x处可导处可导,

4、则导数则导数f (x)与自变量与自变量 增量增量dx（称为：（称为：自变量的微分自变量的微分）的乘积，就叫做）的乘积，就叫做 函数函数 y = f(x) 在点在点 x 处的微分（称为：处的微分（称为：函数的微函数的微 分分） ，记作：，记作： dy = f (x)dx 2 2 dddd ( ) ( )() dddd yyy fxfx xxxx （一阶微分）（二阶微分） 函数一阶导数对应的微分称为一阶微分；一阶微分函数一阶导数对应的微分称为一阶微分；一阶微分 的微分称为二阶微分；二阶微分及以上的微分称为的微分称为二阶微分；二阶微分及以上的微分称为 高阶微分。高阶微分。 5 极值点的充要条件是在该

5、点的一阶导数为零，且极值点的充要条件是在该点的一阶导数为零，且 在该点两侧的导数值异号。因此，令在该点两侧的导数值异号。因此，令 f(x) = 0 即即 可求出极值点可求出极值点x0 若若 f(x0) 0，则为极大值点，则为极大值点 若若 f(x0) 0，则为极小值点，则为极小值点 函数的极值点和极值函数的极值点和极值 x y x1x2 6 导数的运算导数的运算 导数定义给出了求导方法导数定义给出了求导方法 例如，求例如，求 y = x2 的导数：的导数： 22 2 0 ()( ) 0 () 0 0 ()lim lim lim lim(2) 2 y x x f xxf x x x xxx x

6、x x x xx x 7 22 22 1 22 1 ln 111 11 11 11 ( )0()(sin )cos (cos )sin()sec()csc ()ln( )(log) (ln )(arcsin )(arccos ) ()() nn xxxx axa x xx xx cxnxxx xxtgxxctgxx aaaeex xxx arctgxarcctgx 基本函数的求导公式基本函数的求导公式 8 (uv) = u v (uv) = u v + v u (u/v) = (u v - v u)/v2 设设 y = f(x) 的反函数为的反函数为 x = (y) 则则 (y) = 1/ f

7、 (x) 复合函数的导数复合函数的导数 设设y = f(u) , u = (x)，则则 （连锁律）（连锁律） 导数的基本运算法则导数的基本运算法则 ddd ddd yyu xux 9 例例 题题 dcos()dcos() d() sin() dd()d axbaxbaxb aaxb xaxbx 2 22 2 2 22 2 1/2 1/2 2 1/21/2 1 2 2 1/21/2 1 2 1/23/2 ddd () ddd dd() d()d ( 2) (0.52) ax axax ax ax axax ax xe xeex xxx eax xex axx xexeax exax axxaax

8、2)() 22 （ xaxaxax/1)(ln)(ln)ln(ln)/ln( 2222 2)()()(xexexeexex xxxxx 10 导数的应用导数的应用 质点沿质点沿x轴作直线运动的速度：轴作直线运动的速度： d d x x v t 质点沿质点沿x轴作直线运动的轴作直线运动的加速度：加速度： 2 2 dd dd x x vx a tt 电流强度：电流强度： d d q i t 11 不定积分不定积分 1、不定积分的定义、不定积分的定义 若若 F (x) = f(x)，则，则 F(x) + c = f(x)，F(x) + c 就叫就叫 做做 f(x) 的原函数，有无穷多个；函数的原函数

9、，有无穷多个；函数 f(x) 的所有原函的所有原函 数，就叫数，就叫 f(x) 的不定积分，记为：的不定积分，记为：f(x)dx = F(x) + c 。 其中其中叫做积分号，叫做积分号，f(x)叫做被积函数，叫做被积函数，x叫做积分叫做积分 变量，变量，f(x)dx叫做被积式，叫做被积式，c叫做积分常数，求已知函叫做积分常数，求已知函 数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。 （积分是微分的逆运算，即知道了导函数，求原函数）（积分是微分的逆运算，即知道了导函数，求原函数） (sinx)cossincosx cos dsin xxc x xxc 例如

10、：是的原函数 写成不定积分的形式： 12 不定积分不定积分. 2、性质、性质 (f(x)dx ) = f(x) (先积后导等于自身先积后导等于自身) f (x)dx = f(x) + c (先导后积等于自身加上任意常先导后积等于自身加上任意常 数数) 13 基本积分公式基本积分公式 adx = ax + c af(x)dx = af(x) dx (uv)dx =udxvdx xndx = xn+1/(n+1) + c (n-1) x-1dx=lnx+c axdx = ax/lna + c exdx = ex+ c sinxdx = - cosx + c cosxdx = sinx + c se

11、c2xdx = tgx + c csc2xdx = - ctgx + c 22 d arcsin x a x c ax 2 d arcsin 1 x xc x 22 d x a x arctgc ax 2 d 1 x arctgxc x 14 换元积分法与分部积分法换元积分法与分部积分法 换元积分法换元积分法 适当变换积分变量，把被积表达式化成基本积分公式适当变换积分变量，把被积表达式化成基本积分公式 中的形式（又称凑积分）中的形式（又称凑积分） 222 11 22 dd(2 ) xxx exexec 11 sin()dsin()d()cos() aa axbxaxbaxbaxbc 223 1

12、 3 sincos dsind(sin )sinxx xxxxc 221/22222 1 2 22 d ()d() x x xaxaxac xa sindcos ddlncos coscos xx tgx xxxc xx 15 换元积分法与分部积分法换元积分法与分部积分法 分部积分法分部积分法 其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等其基本思路是将不易求得结果的积分形式，转化为等 价的但易于求出结果的积分形式。价的但易于求出结果的积分形式。 d(uv) = (uv) dx = u vdx + v udx = vdu + udv 两边同时积分，得：两边同时积分，得： uv = vdu +

13、udv 则则udv = uv - vdu 16 分部积分法分部积分法 例题例题 xexdx = xdex = xex - exdx = xex ex + c lnx dx = x lnx - xdlnx = x lnx - dx = x lnx - x + c 17 不定积分的应用不定积分的应用 已知加速度求速度已知加速度求速度 已知速度求位矢（或运动学方程）已知速度求位矢（或运动学方程） （见教材（见教材P3637） 18 定积分定积分 定积分概念定积分概念 设函数设函数 y = f(x) 在区间在区间 a,b上连续，把上连续，把 a,b分分 成宽为成宽为x的的 n个小区间，当个小区间，当

14、n 时，时， 的极限叫函数的极限叫函数 y = f(x)在区间在区间 a,b 上的定积分，上的定积分， 记作：记作： n i i x)x(f 1 1 ( )dlim( ) b n i n i a f xxf xx y x ab xixi+x y=f (x) 定积分的几何意义为曲边梯形的面积。定积分的几何意义为曲边梯形的面积。 19 定积分的主要性质定积分的主要性质 ( )d( )d ba ab f xxf xx ( )d( )d bb aa kf xxkf xx ()ddd bbb aaa uvxu xv x ( )d( )d( )d bcb aac f xxf xxf xx 20 牛顿牛顿莱

15、布尼茨公式莱布尼茨公式 设设F(x)为函数为函数f(x)在区间在区间a,b上的一个原函数上的一个原函数,即即 F(x)=f(x), 则则 ( )d( )d |( )|( )( ) b bb aa a f xxf xxF xF bF a 称为称为牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 （可以证明）（可以证明）。 ( )d( )( ) b a f xxF bF a 牛顿牛顿- -莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联 系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的 方法。方法。 21 牛顿牛顿莱布尼茨

16、公式莱布尼茨公式 例题：例题： 1/21/2 1/2 11 022 00 0 111 1/222 sin2dsin2d(2)cos2| cos2|(cos0 cos ) x xxxx x 1 23 1 11 033 0 d|xxx 22 定积分的应用定积分的应用 计算平面几何图形的面积计算平面几何图形的面积 计算立体的体积计算立体的体积 计算曲线的弧长计算曲线的弧长 变力的冲量变力的冲量 质心计算质心计算 变力做功变力做功 转动惯量转动惯量 23 矢量的概念矢量的概念 矢量的初步概念矢量的初步概念 既有大小又有方向，且加法遵从几何法则的量叫矢量既有大小又有方向，且加法遵从几何法则的量叫矢量 ，

17、 用黑体字母或带箭头的字母表示：用黑体字母或带箭头的字母表示：A, 。 矢量的大小又叫矢量的模，用矢量的大小又叫矢量的模，用 或或A 表示。表示。 模等于模等于1 的矢量叫单位矢量，用的矢量叫单位矢量，用 表示。在直角表示。在直角 坐标系中，沿坐标系中，沿 x、y、z轴的单位矢量，分别用轴的单位矢量，分别用 表示。表示。 矢量具有平移不变性：矢量的平动既不改变矢量的量矢量具有平移不变性：矢量的平动既不改变矢量的量 值，也不改变矢量的方向。值，也不改变矢量的方向。 A |A| AeA或 , ,i j k 24 矢量的几何描述矢量的几何描述 矢尾矢尾 矢端矢端 单位单位 A A AAA 25 矢量

18、的加法与减法矢量的加法与减法 矢量加法矢量加法 可用平行四边形法则、三角形法则可用平行四边形法则、三角形法则 、多边形法则、多边形法则 矢量减法矢量减法 用三角形法则求矢量相减最方便，注意：差矢量方用三角形法则求矢量相减最方便，注意：差矢量方 向是由减矢量末端指向被减矢量末端向是由减矢量末端指向被减矢量末端 BAC CBAD BAC A B C A B C A B C D A B C B C 26 矢量的正交分解矢量的正交分解 矢量的加减在直角坐标系中表示为矢量的加减在直角坐标系中表示为： A A cos, A A cos, A A cos AAAA,k Aj Ai AA z y x zyxz

19、yx 222 k )BA(j )BA(i )BA( )k Bj Bi B()k Aj Ai A(BA zzyyxx zyxzyx Ax Ay Az x y z A 27 矢量乘法矢量乘法 矢量的数乘矢量的数乘 定义：矢量定义：矢量 与实数与实数m的乘积的乘积m 仍然是矢量，大仍然是矢量，大 小是小是 的的|m|倍，方向与倍，方向与 的方向相同或者相反，的方向相同或者相反， 取决于取决于m的正负。的正负。 性质：性质： A A A A ()() () () n mAm nA m ABmAmB mn AmAnA 28 矢量的标积（点乘积）矢量的标积（点乘积） cosAB)B,Acos(ABBA 定

20、义：定义： CBCAC)BA(ABBA 性性质质： BAB,A,BA 则则，且且若若000 zzyyxx zyxzyx BABABA kBjBiBkAjAiABA ) () ( )i k k j j i ,k k j j i i (01 标积的分量表示标积的分量表示 29 矢量标积应用矢量标积应用 功的定义功的定义 功率的定义功率的定义 ddAFr PF v 30 矢量的矢积（叉乘积）矢量的矢积（叉乘积） sin( , )sin() , , , A BC CABA BAB A BC A BA B C 1、定义为一新的矢量， 其大小 等于以为邻边的平行四边形的面积， 的 方向垂直所在平面，且满足

21、右手螺 旋关系。 ： C A B 方法：伸开右手，除拇指外的四指并拢、沿方法：伸开右手，除拇指外的四指并拢、沿 的方向伸的方向伸 出，并从出，并从 经小于经小于180的角向的角向 弯曲，则与四指垂直的弯曲，则与四指垂直的 拇指的方向即为拇指的方向即为 的方向。的方向。C A B A 31 矢量的矢积（叉乘积）矢量的矢积（叉乘积） () 0,0,0, A BBA ABCA CB C A BABAB 2、性质： 若且则 32 矢积的分量表示矢积的分量表示 k )BABA(j )BABA(i )BABA ( BBB AAA k j i )k Bj Bi B()k Aj Ai A(BA xyyxzxx

22、zyzzy zyx zyx zyxzyx （ 按按第第一一行行展展开开） 0 iijjkk ijkjkikij （ ，） i j k 33 矢量矢积应用矢量矢积应用 力矩的定义力矩的定义 角动量的定义角动量的定义 洛伦兹力的定义洛伦兹力的定义 FqvB rF Lrp 34 三个矢量的混合积三个矢量的混合积 () )()() AB C ABC AB CB CACA B 为一标量，其几何意义是 以 、 、 为边的平行六面体的体积。 （ A B C BA 35 双重矢积双重矢积 ()()() ()()() A BCC A BC B A AB CA C BA B C 记忆方法：“外点内，先远后近” 36 矢量的非法运算矢量的非法运算 1 , , , , ln . A B eAA AA ABC 非法运算： 矢量与标量不能相等！例如： 37 矢量函数（矢函）矢量函数（矢函） 一个矢量在某一过程中，若大小、方向都不发生变化，一个矢量在某一过程中，若大小、方向都不发生变化， 则为则为恒矢量恒矢量；反之则为；反之则为变矢量变矢量，可有三种情况：大小、，可有三种情况：大小、 方向均变化；大小变化，方向不变；大小不变，方向方向均变化；大小变化