2018寒假半角模型44304

1、半角模型这两条射线过等腰 ABC（AB=AC顶角A引两条射线且它们的夹角为 与底角顶点的相关直线交于 M、N两点，贝U BM、MN、NC之间必然存在固定的 关系，这种关系仅与两条相关直线及顶角 A相关解决办法：以A为中心，把 CAN （顺时针或逆时针）旋转a度，至 ABN,连接MN 结论：、 AMNAAMN，MN=MN2、若BM、MN、N 洪线，则存在x+y+z型的关系若不共线，则 BMN中，/ MB必与/A相关应用环境：1、 顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30 45、60、75 90,或它 们的补角为这些特殊角度的时候；2、正方形、菱形等也能产生等腰三角形3、过底角顶点的两条相关直线：底

2、边、底角两条角平分线、腰上的高、底角的 邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或菱形的另外两边4、此等腰三角形的相关弦半角模型-且1800.条件： 2思路：（1）、延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM连AE或延长CB到 F，使FB=DN,连AF ）Aff（出躁）澀駆（乙）l/INa 7 NIAI9 7 9水昭9NV IAIV av3 n咀 o NQ+l/ia=NI/l ：决彩思路:分别将 ABM和厶ADN以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明 M、P、N三点共线.(/ B+ / D=1800且AB=AD )例题应用：例1、在正方形ABCD，若M N分别在边BC CD

3、上移动，且满足MN=BMDN求证：./MAN= 45C CMN2AB.AM AN分别平分/ BMN和/ DNM.DBM思路同上略.例2拓展：在正方形 ABC冲，已知/ MAN= 45 ,若M、N分别在边CB DC勺延长线上移动, .试探究线段MN BM、DN之间的数量关系 .求证：AB=AH.（提示）例3在四边形ABC中, ZB+ / D=180 , AB二AD，若E、F分别在边1 EAF BAD.BG CDh,且满足 EF=BE+DF.求证：2（提示）例 4,在厶 ABC中, AB=AC / BAC=2 DAE=120，若 BD=5 CE=8 求 DE1)例五.请阅读下列材料: 已知：如图

4、1在Rt ABC中，BAC 90 , AB AC，点D、E分别为线段BC上 两动点，若 DAE 45 探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED ,使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1) 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证 明；(2) 当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条 件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.图1例6探究:(1)如图1,在正方形 ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且/ EA&45试判断BE、

5、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结(2) 如图2,若把(1)问中的条件变为 在四边形ABCD中，AB= AD, / B+/ D1=180, E、F分别是边BC CD上的点，且/ EAF/ BAD”贝U( 1)问中的结2论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；(3) 在(2)问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BCCD延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化，请给 出结论并予以证明.图】练习巩固1:如图，在四边形ABC呼,ZB= / D=90 , AB=AD ,若 E、F分别在边BC CD上的点，且EAF-

6、BAD.2.求证：EF=BE+DF.B1.提示)练习巩固2,已知：正方形ABCD中，MAN 45，绕点A顺时针旋转，它 的两边分别交CB DC(或它们的延长线)于点 M N.(1) 如图1,当 MAN绕点A旋转到BM DN时，有BM DN MN .当 MAN绕点A旋转到BM DN时，如图2,请问图1中的结论还是否成立？如果成立， 请给予证明，如果不成立，请说明理由；(2) 当 MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样 的等量关系？请写出你的猜想，并证明.练习巩固3(1)如图，在四边形ABCD中，AB AD , B D 90 , E,F分别是1边 BC,CD 上的点，且

7、EAF = - BAD .求证：EF BE FD ；2D(2)如图在四边形 ABCD中，AB AD, B+ D 180，E,F分别是边BC,CD上的 点，且EAF - BAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.DF(3) 如图，在四边形 ABCD中，AB AD， B ADC 180，E ,F分别是边BC,CD延长线上的点，且 EAF - BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.FABDCE(4)如图，将边长为4cm的正方形纸片 ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD 上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与C

8、D交于点P,连接EP.(1)如图，若M为AD边的中点， AEM的周长=6 cm； 求证：EP=AE+DP ;(2 )随着落点 M在AD边上取遍所有的位置(点 M不与A、D重合)， PDM的周长是 否发生变化？请说明理由.(5).如图17,正方形ABCDE、F分别为BC、CD边上一点.(1)若/ EAF=40.求证：EF=BE+DF(2)若/ AEF绕A点旋转，保持/ EAF=450,问/CEF的周长是否随/ AEF位置 的变化而变化？(3) 已知正方形ABCD的边长为1,如果/ CEF的周长为2 .求/ EAF的度数.练习巩固 4.女口图，五边形 ABCD中，AB=BC=CD=DE=EA CA

9、D 丄 BAE，求 2/ BAECD练习巩固5.如图，已知在正方形 ABCD中, MAF4450，连接BD与 AM AN分 别交于E、F两点。求证：（1）MN=MB+DN（2）点A到MN的距离等于正方形的边长；（3）VCMN勺周长等于正方形 ABCDi长的2倍;(4)2ABMN(5)若MAB=20，求AMN(6)若MAB0 pp 45o，求c AMNEF2EB2DF2 ；(8) VAEN与VAFh是等腰三角形;(9)SVAEFSVAMN练习巩固6.在等边ABC的两边AB , AC所在直线上分别有两点 M , N , D为ABC外一点，且 MDN 60， BDC 120，BD CD，探究：当点M

10、 ,N分别爱 直线AB，AC上移动时，BM , BN，MN之间的数量关系及 AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.CD图D图(1)如图，当点M ,N在边AB ,AC上，且DM DN时，BM , NC , MN之间的数 量关系式；此时QL(2)如图，当点M ,N在边AB ,AC上，且DM DN时，猜想(1)问的两个结论 还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(3)如图，当点M ,N分别在边AB ,CA的延长线上时，若AN x，则Q (用x，L表示)练习巩固7.如图所示， ABC是边长为1的等边三角形， BDC是顶角为120 的等腰三角形，以D为顶点作一个60的/ MDN点M N分别在AB, AC

11、上,求 AMN勺周长B匸练习巩固 8.如图，在正方形 ABCD中, BE=3 EF=5, DF=4求/ BAE/ DCF为 多少度。巩固练习9、（三新练习册P131）如图1, Rt ABC也RtAEDF，/ ACB=/ F=90，/ A=/ E=30 . EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段.AC于点M，K.=”)如图2、图3,当/ CDF=0或60时，AM+CKMK（填如图 4,当/CDF=30 时，AM+CK_MK(只填“或“”.)猜想：如图1,当0Z CDF v 60寸，AM+CK K，证明你所得到的结论.(3)如果MK2 CK2 AM2，请直接写出/图1CDF的度数和匹的

12、值.B图3B图4*必会结论 图形研究正方形半角模型【例】已知：正方形 ABCD，E、F分别在边BC、CD上，且 EAF 45，AE、AF 分别交 BD 于 H、G，连 EF .一、全等关系(1) 求证： DF BE EF ； DG2 BH HG2 ; AE 平 分 BEF，AF 平分 DFE .二、相似关系(2) 求证： CE , 2DG ; CF 2BH ; EF 2HG .(3)求证： AB2 BG DH : AG2 BG HG ; -BE DF CE CF三、垂直关系(4)求证：AG EG ;AHFH tan HCFABBE(5)、和差关系a求证： BG DG 2BE ; AD DF .

13、 2DH ; | BE DF |. 2 |BH DG |.中考链接-正方形二相关题型-半角模型1, (2016石景山28).在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE(1) 请你在图-1画出 BEM,使得 BEM与ABEC关于直线BE对称；(2) 若边AD上存在一点F,使得AF+CE=EJF请你在图2中探究/ ABF与/ CBE的数量关系并证明；(3) 在(2)的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CEDE请写出求cos/ FED的思路.(可以不写出计算结果)图1答案备用图1所示.(2) ABF 与 CBE 的数量关系：ABF CBE 45 . 2证明：连接BF , EF，延长DC到G,使

14、得CG AF ,连接BG3分四边形ABCD为正方形, AB BC , A BCD 二BAF = BCG .ABC BF BG , ABF CBG . AF CE EF , EF GE .2-4AbefBEG ./ FBE =Z MBE ABF CBE .ABF CBE 45 分(3)求解思路如下:a.设正方形的边长为3a , AF为x，则EFx a, DF 3a x ；可得x3a x 22a从而得到x与a的关系2x 3a ;c.根据cos/ FED 匹 - 2 2b.在 RtAEFD 中，由 EF DF DE ,色，可求得结果.分 EF x a2, (2016门头沟28).在正方形ABCD中，

15、连接BD.(1) 如图1, AE丄BD于E.直接写出/ BAE的度数.(2) 如图1,在(1 )的条件下，将 AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋 转30后得到 ABE； AB与BD交于M , AE的延长线与BD交于N. 依题意补全图1; 用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明.（3）如图2，E、F是边BC CD上的点， CEF周长是正方形 ABCD周长的 一半，AE、AF分别与BD交于M、N,写出判断线段 BM、DN、MN之 间数量关系的思路.（不必写出完整推理过程）EFA门头沟28.（本小题满分7分）解：（1）Z BAE=45.1 分（2）依题意补全图形（如图1）;2 分 B

16、M、 D N 和 MN 之间的数量关系是B M 2+ N D 2 = M N 2. 3 分证明：如图1,将厶AND绕点A顺时针旋转90得厶AFB./ ADB=Z FBA / 仁/ 3,DN=BF, AF=AN.正方形 ABCD AE BD,/ ADB=Z ABD=45./ FBM=Z FBA+Z ABD=Z ADB+Z ABD=90由勾股定理得fB+bmfm2.ADFB旋转 ABE 得到 ABE；Z EAB=45,Z 2+Z 3=90 45=45,又tZ仁Z 3, Z 2+Z 1=45.ADGB EC即/ FAM=45./ FAM = Z EAB=45.又TAM二AM, AF=AN, AFMA

17、 ANM.图2 FM=MN .又 vfB如图3,当/BAC= , (0 90),/ DAE=丄 时，BD DE、EC应满足的等量 关系是.【参考：sin2 cos21】+bm2=fm2,dn2+bm2=mn2 5分(3)判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路如下：a.如图2,将厶ADF绕点A瞬时针旋转90得厶ABG,推出DF=GB;匕由厶CEF的周长等于正方形 ABCD周长的一半，得 EF=DF+BEc.由 DF=GB和 EF=DF+BE推出 EF=GE,进而得 AE3A AEF4. 由厶AEGA AEF推出/ EAF=Z EAG=45;e .与 同 理，可 证MN2 = BM2+DN2

18、. 7分3 (. 2016一模(1)如图1,点E、F分别是正方形 ABCD的边BC、CD上的点,/ EAF=45,连接EF,贝U EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BEFD.连结BD, 交AE、AF于点M、N,且MN、BM、DN满足MN 2 BM 2 DN 2，请证明这个 等量关系；(2)在厶ABC中，AB=AC,点D、E分别为BC边上的两点.如图2,当/ BAC=60, / DAE=30时，BD DE、EC应满足的等量关系是图2图35. (1)如图， ABC中， C 90 , AB的垂直平分线交 AC于点D,连接BD.若 AC=2,BC=1,则厶BCD的周长为；(2)O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且EDF的周长等于AD的长. 在图2中求作 EDF (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； 在图3中补全图形，求 EOF的度数；AF 8OF 若-，则的值为CE 9OERB图25.(本小题10分)已知Rt ABC中, ACB 90 , CA CB，有一个圆心角为45 , 半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE CF分别与直线AB交于点 M N.(I )当扇形CEF绕点C在 ACB的内部旋转