粘性流体运动基本性质

1、粘性流体运动基本性质 高等流体力学高等流体力学 4 粘性流体运动 的基本性质 粘性流体运动基本性质 4 粘性流体运动的基本性质粘性流体运动的基本性质 粘性流体的运动特征与理想流体运动存 在着巨大的差别。 从数学角度数学角度看，N-S方程与Euler方程的 阶数不同，前者为二阶非线性偏微分方程， 后者为一阶非线性偏微分方程，这个差别导 致所要求的定解条件的个数以及解法不同。 粘性流体运动基本性质 4 粘性流体运动的基本性质粘性流体运动的基本性质 从物理角度物理角度看：粘性流体运动时，由于流 体与静止固体壁面的相互作用，总是会产生旋涡； 由于流体所具有的粘性，在其运动过程中不遵 循理想流体运动时的

2、涡量守恒规律；由于粘性 流体运动中存在不可逆过程，流体运动的机械能 并不守恒。 因此，与非粘性流体运动相比较，粘性流体 运动具有三个方面的基本性质：运动的有旋性有旋性、 涡旋的扩散性扩散性与能量的耗散性耗散性。 粘性流体运动基本性质 4.1 粘性流体运动的有旋性粘性流体运动的有旋性 虽然流体是否具有粘性与流体运动是否有旋是从不同 的角度提出来的，但是这两者之间有一定的联系。一般说 来，粘性流体运动总是有旋的。因此，处理势流的一整套 方法不再适用于粘性流体。下面用反证法证明这一性质。 对于不可压缩粘性流体的基本方程组是 当边界为静止的固体壁面时，上述方程组的边界条件为 ， 由以上方程组及其边界条

3、件可以解出速度场u和压强场p。 0 u uf u 2 1 D D p t 0nu0tu 粘性流体运动基本性质 4.1 粘性流体运动的有旋性粘性流体运动的有旋性 先假设流动无旋，然后证明基本方程组与边界条件相 矛盾，则可证明粘性流体流动通常是有旋流动。 如果运动是无旋的，则必存在速度势函数，且 连续性方程变成 N-S方程变成 而 u 0 2 2 1 D D p t f u 0 22 粘性流体运动基本性质 4.1 粘性流体运动的有旋性粘性流体运动的有旋性 这样，在无旋流动的假设下，不可压缩粘性流体的基 本方程组变为速度势方程(Laplace方程)和欧拉运动方程 它与不可压缩理想流体的基本方程组完全

4、相同。现在 的问题是方程组完全相同，而在固体壁面处的边界条件却 不一样。对于不可压缩粘性流体沿固体壁面流动，应满足 无滑移条件，即un=0，ut=0；而不可压缩理想流体，在固 体壁面处， un=0，ut一般不等于零。 0 2 p t 1 D D f u 粘性流体运动基本性质 4.1 粘性流体运动的有旋性粘性流体运动的有旋性 Navier-Stokes方程是二阶偏微分方程，加上无 旋流动条件以后，方程中的二阶偏导数项消失， 变成了一阶偏微分方程。因此，粘性流体流动的 无滑移边界条件(ut=0)就多余了。也就是说，对于 不可压缩理想流体流动的基本方程，其满足无滑 移边界条件的解一般是不存在的。或者

5、说，粘性 流体在一般情况下，是不可能作无旋流动的。这 就从反面证明了粘性流体运动总是有旋的。 粘性流体运动基本性质 4.1 粘性流体运动的有旋性粘性流体运动的有旋性 此外，还可以从物理概念上来理解。对于不 可压缩粘性流体，如假设它作无旋流动，则在N-S 方程中将不出现粘性项2u，这意味着整个速度 场与压力场与粘性无关，显然，这是与实际流动 相矛盾的。这从另一个侧面说明了粘性流体作无 旋运动的不可能性。 粘性流体运动基本性质 4.1 粘性流体运动的有旋性粘性流体运动的有旋性 粘性流体运动必然有旋的情形分析：粘性流体运动必然有旋的情形分析： (1) 若流动边界为静止固体壁面，则粘性流体 运动必然有

6、旋。 用反正法证明：假设不可压缩粘性流体流动 是无旋的，则连续性方程为 而粘性流体流动时静止固体壁面的边界条件为u=0 或=0，因此，边界上的速度势函数b为常数。 0 2 粘性流体运动基本性质 4.1 粘性流体运动的有旋性粘性流体运动的有旋性 粘性流体运动必然有旋的情形分析：粘性流体运动必然有旋的情形分析： 满足Laplace方程的函数称为调和函数，由调 和函数的极值原理可知，在求解域内不可能有 极值，又由于流动边界为静止固体壁面，因而速 度势函数方程2=0只有常数解。在求解域内速度 势函数处处为常数，即流体的流动速度为零，流 体是静止的。这一结论与粘性流体是运动的这一 前提相矛盾，从而证明了

7、在这种情况下粘性流体 运动必然有旋。 粘性流体运动基本性质 4.1 粘性流体运动的有旋性粘性流体运动的有旋性 粘性流体运动必然有旋的情形分析：粘性流体运动必然有旋的情形分析： (2) 若N-S方程中的粘性项2u0，则粘性流 体运动必然有旋。 用反正法证明：假设不可压缩粘性流体流动 是无旋的，则有u=，于是 由此可见，若流动无旋，则粘性项2u必为 零。因此，若粘性项2u0，则粘性流体运动必 有旋。 0 222 u 粘性流体运动基本性质 4.1 粘性流体运动的有旋性粘性流体运动的有旋性 由上述的分析可以说明，只有在粘性项 2u=0，且流动边界是运动的这种极个别的 情况下，粘性流体运动才可能是无旋的

8、。 例如：不可压缩粘性流体绕旋转圆柱 体的定常流动；不可压缩粘性流体在两个 共轴旋转的圆柱面之间作定常流动，且两旋 转圆柱面的角速度刚好调整到使其间的流速 分布为u1/r的情况。 粘性流体运动基本性质 4.2 粘性流体运动的旋涡扩散性粘性流体运动的旋涡扩散性 流体具有粘性是旋涡产生和消失的原因， 通过涡量输运方程可以说明旋涡的扩散性。 4.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程 不可压缩粘性流体的运动微分方程(N-S 方程)为 根据向量分析，有 ufuu uu 2 1 D D p tt uuuuu 22 22 uu 粘性流体运动基本性质 4.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程不可压缩粘性流

9、体流动的涡量方程 N-S方程变成 对上式两端进行旋度运算，可得 2 1 2 2 u p t ufu u 2 1 2 2 u p t ufu u 粘性流体运动基本性质 4.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程不可压缩粘性流体流动的涡量方程 根据向量分析，有 ttt u u uuuuu uu 0p 0 2 2 u uuu 2 22 粘性流体运动基本性质 4.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程不可压缩粘性流体流动的涡量方程 由此可得 或者写成 上式就是不可压缩粘性流体流动的涡量方程，也称为海姆霍 兹(Helmholtz)涡量方程。方程等号左侧为涡量的物质导数， 即涡量的当地变化率和迁移变化率之

10、和；右侧第一项表示涡 量与流体微团的变形的相互作用从而导致涡量的变化(涡量变 化率，是有速度场不均匀，涡管伸长引起的)；右侧第三项为 粘性对涡量的扩散(涡量扩散率)。 fuu 2 t fu 2 Dt D 粘性流体运动基本性质 4.2.1 不可压缩粘性流体流动的涡量方程不可压缩粘性流体流动的涡量方程 如果质量力有势，f = -U，则有 涡量方程变成 0Uf u 2 Dt D 粘性流体运动基本性质 4.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性粘性流体流动中旋涡的扩散性 不可压缩理想流体流动的涡量方程为 比较发现，粘性流体流动涡量方程的右侧不等 于零，即涡量不守恒。由于具有粘性，旋涡总是从 旋涡强度大的地

11、方向旋涡强度小的地方扩散，直至 旋涡强度处处相等为止，这就是旋涡扩散现象。 0u Dt D 粘性流体运动基本性质 4.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性粘性流体流动中旋涡的扩散性 取无界静止不可压 缩粘性流体中的微小直 涡管为例，说明在质量 力有势的条件下旋涡的 扩散规律。 o 0 z x y 空间孤立涡线 粘性流体运动基本性质 4.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性粘性流体流动中旋涡的扩散性 设该微小直涡管位于坐标系的z轴上，其涡管强 度为0。因为粘性流体中的直涡管相当于一微小旋 转直圆柱体，其流场为无旋流动，所以它与理想流 体内微小直涡管所诱导的速度场相同。理想流体内 微小直涡管所引起周围

12、流体的运动是平面对称的圆 运动，即流体质点以 的速度作定常圆周运 动。 r u 2 粘性流体运动基本性质 4.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性粘性流体流动中旋涡的扩散性 在理想流体理想流体中，由于没有粘性，该微小直涡管的强度守 恒，且不会向周围流体扩散，不需要外加能量来维持流体质 点的定常圆周运动。 在粘性流体粘性流体中，由于存在粘性，旋涡强度将会衰减并扩 散，要维持流体质点的定常圆周运动，就需要有外加的能量 供给微小直涡管，使其保持涡管强度0。 设在t=0时刻外加能量突然中断，现分析t 0时该微小直 涡管旋涡强度的扩散(衰减)情况以及旋涡的扩散规律。 粘性流体运动基本性质 4.2.2 粘性

13、流体流动中旋涡的扩散性粘性流体流动中旋涡的扩散性 在圆柱坐标系中，初始时刻t=0且r 0处，有 r = 0， = 0， z = ， (ur)t=0 =0，(uz)t=0 =0， 而在t 0的任意时刻，有 ur =0，uz =0，u = u (r, t) = u (r, t)， ， ， r = 0， = 0， z = ； = z k 0 z 0 r uu t t 2 0 0 0 粘性流体运动基本性质 4.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性粘性流体流动中旋涡的扩散性 由于运动的对称性和平面运动中速度u沿k方向的微商为 零，故 (u) = 0，()u = 0 于是，在任意时刻，不可压缩粘性流体流动的

14、涡量方程简化 成 在圆柱坐标系中，上述方程可以写成 上式在形式上与有两个自变量(r，t)的经典的热传导方程相同。 2 t r r rrt 粘性流体运动基本性质 4.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性粘性流体流动中旋涡的扩散性 方程的初始条件为 t=0，r 0 时： = 0 方程的边界条件为 t0，r 时： = 0 求解热传导方程的方法很多，现采用相似变换法相似变换法进行求 解。相似变换法：引进由变量组合成的相似变量，将偏微分 方程化成常微分方程进行求解。这种方法能使变量数目减少 一个或更多，它在流体力学和传热学中应用较多。 粘性流体运动基本性质 4.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性粘性流体流

15、动中旋涡的扩散性 引进无量纲涡量函数F()，令 式中(r,t)是无量纲自变量： 这样处理后，热传导方程就变为下列常微分方程 或 F t 0 t r 2 04 FFFF 0 d 4 4d FF FF 粘性流体运动基本性质 4.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性粘性流体流动中旋涡的扩散性 解得： 如果需要在=0处， F()及F ()均为有限值，则积分常 数C1应取为零。于是有 积分上式得： 因此 式中 。 14CFF 04FF t r eCeCF 4 2 4 2 2 t r e t C 4 2 20CC 粘性流体运动基本性质 4.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性粘性流体流动中旋涡的扩散性 现确定

16、积分常数C。考虑到平面对称圆运动的条件，并 利用斯托克斯公式： 有 利用初始条件 t=0，r 0 时： 由此可得 AL Addnlu t r r e r C rr r u 4 2 00 2 1 2 dd 2 1 r u 2 0 4 0 C 粘性流体运动基本性质 4.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性粘性流体流动中旋涡的扩散性 将C值代入已得的结果，有 上两式分别为旋涡扩散规律和速度变化规律。 t r e t 4 0 2 4 t r e r u 4 0 2 1 2 粘性流体运动基本性质 4.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性粘性流体流动中旋涡的扩散性 (t1 t2 t3) t3 t2 t1 o

17、r 涡量随空间位置的变化涡量随空间位置的变化涡量随时间的变化涡量随时间的变化 (r1 r20)的流体质点的速度为(u)t=0=u|t=0，而涡管外 各处的涡量则为零；当t 0时，在该微小直涡管作用 下，整个流体被带动，涡量向外扩散并传至无穷远， 整个流场将会产生旋涡。这表明了旋涡的扩散。 粘性流体运动基本性质 4.2.2 粘性流体流动中旋涡的扩散性粘性流体流动中旋涡的扩散性 在中心处(r =0)的涡量随时间的增长而单调地减 小，这表明无外加能量时，旋涡本身的衰减；在离 中心某一距离r1(大于涡管半径)的点上，旋涡起初由 零增大至最大值，然后减小，而当t 时，旋涡减 小到零，这表明初始时刻由无能

18、量源的微小直涡管 在静止粘性流体中所引起的旋涡运动，将随时间而 衰减为零。 粘性流体运动基本性质 4.3 粘性流体运动的机械能耗散性粘性流体运动的机械能耗散性 粘性流体运动时，部分机械能转化为热能的现象称为 机械能的耗散性，这部分机械能用于克服粘性力做功。 用内能表示的流体运动能量微分方程为 式中：是单位体积内由于流体变形运动时，表面力所做 的功，也可以说是应力张量所做的功。 qTk t e D D 粘性力粘性力 各向异性法向力各向异性法向力 各向同性法向力各向同性法向力 切切 向向 表表 面面 力力 法向表面力法向表面力 表面力表面力 粘性流体运动基本性质 4.3 粘性流体运动的机械能耗散性粘性流体运动的机械能耗散性 根据广义牛顿内摩擦定律 由此看出，应力张量所做的功由两部分组成。第一部 分是 -p u，代表流体体积相对膨胀或压缩时法向应力(压 力)p所做的功，第二部分是 - (u)2 + 2 2，代表粘性应 力张量所做的功。后者是由于流体存在粘性，在流体变形 过程中由于