第三章现代谱估计

1、第三章现代谱估计 第三章第三章 现代谱估计现代谱估计 3.1 离散随机过程与非参数化谱估计 3.1.1 离散随机过程 x(n)是连续随机过程x(t)的均匀采样. 1212 1122 1212 (,) ()() ()()()() (,)()() xx xxxx xxxx RnnEx nx n CEx nnx nn Rnnnn 先采样再计算还是先计算再采样？ 离散随机过程x(n)是的，若其均值为常数，自相关函数只 取决于时间 kn1-n2 ，即 2 ( ) ( ) ()( ) | xxxxx RkE x n x nkCk 第三章现代谱估计 离散随机过程x(n)和y(n)是广义联合平稳广义联合平稳的

2、，若二者均为 广义平稳，且互相关函数只取决于时间 kn1-n2 ，即 2 ( ) ( ) ()( ) | xyxyx RkE x n y nkCk 平稳离散随机过程x(n)的功率谱为自相关函数的Fourier变 换，即 2 ( )( ), jkT xxxx k PRk e T 周期为 其反变换（ Fourier 级数）为 1 ( )( ),/ 2 jkT xxxx RkPedT ( )( ) jkT xyxy k PRk e 互功率谱可定义为 第三章现代谱估计 3.1.2 非参数化功率谱估计 直接法（先计算Fourier变换）和间接法（先计算自相关函数）。 1）直接法 1 22 0 1 0 1

3、1 ( )|( )|( )| ( )( )( ) N jnT xN n N jnT N n PXx n e NN Xx n ex n （是否为整个序列的幅值谱密度?） 2）间接法 1 * 0 1 ( )()( ),0,1,., ( )( ) N xx n M jkT xxx kM Rkx nk x n kMMN N PRk e ，1 第三章现代谱估计 1 2 0 1 22 0 ( ) 1 ( )|( ) ( )| 11 | ( )|( )| 2 N jnT x n N n x n Px n c n e NW Wc nCd NN 由于将视为周期函数(幅值谱离散，功率谱 连续)，所以称为周期图法，

4、得到的功率谱估计为有偏估计。 为了减小偏差，可以采用窗函数对周期图进行平滑。 第一种窗函数直接加给样本数据，修正后的周期图为 另一种 ( )( ) ( ) M jkT xx BT kM PRk w k e 窗函数是加给样本自相关函数(Blackman -Tukey法)，功率谱为 第三章现代谱估计 3.2 平稳ARMA过程 若离散随机过程xt服从线性差分方程 11 ( )( )()() qp ij ij x ne nbx nia x nj Z变换后可得A(z)X(z)=B(z) E(z). 1 1 1 1 ( )1. ( )1. p p q q A za za z B zbzb z 记为ARMA

5、(p,q). 第三章现代谱估计 定义 3.2.1(因果稳定性) 一个由A(z)X(z)=B(z)E(z)定义的ARMA 过程是因果稳定的，或称x(n)是e(n)的因果稳定函数，若存在 一常数序列满足下列条件： 00 |,( )() ii ii hx nhe ni 且 定理 3.2.1 令x(n)是一个A(z)和B(z)无公共零点的ARMA(p,q) 过程，则x(n)是因果稳定的，当且仅当A(z)的零点都在单位 圆内. 定义 3.2.2(可逆性) 一个由A(z)X(z)=B(z)E(z)定义的ARMA过程 是可逆的，若存在一常数序列i满足下列条件： 00 |,( )() ii ii e nx n

6、i 且 第三章现代谱估计 定理 3.2.2 令x(n)是一个A(z)和B(z)无公共零点的ARMA(p,q) 过程，则x(n)是可逆的，当且仅当B(z)的零点都在单位圆内. 定理 3.2.3 若对所有|z|1有A(z) 0，则ARMA过程 A(z)X(z)=B(z)E(z)具有唯一的平稳解 1 ( ) ( )(), ( ) iii ii B z x nhe ni hhz A z 由确定 定理 3.2.4 任何一个具有有限方差的ARMA或MA过程都可以 表示为唯一的、阶数可能为无穷大的AR过程；同样，任何一 个ARMA或AR过程也可以表示为一个阶数可能为无穷大的 MA过程。 第三章现代谱估计 3

7、.3 平稳ARMA过程的功率谱密度 3.3.1 ARMA过程的功率谱密度 定理 3.3.1 令y(n)是一具有零均值的离散平稳随机过程，其 功率谱密度为Py ()。若x(n)是由 2 ( )() |, ( ) ( ) |()|( ), () ()| j i i ii i j xy jj ji i z e i x nh y ni hhx n PH eP H ee H eh z 其中 是绝对可求和的，即则也是一个零均值 的离散平稳过程，且其功率谱密度由下式给出： 式中，是一个的多项式： 第三章现代谱估计 定理 3.3.2 令x(n)是一个满足差分方程 11 ( )( )()() qp ij ij

8、x ne nbe nia x nj 的平稳ARMA(p,q)过程，e为均值为零方差为2的白噪声，则 x(n)的功率谱密度为 2 2 11 () ( ) () ( )1(), ( )1() j T x j T pq ji ji B e P A e A za x nj B zbx ni ( )( )( ) ( )( ) Wold PPP PP 分解：一平稳过程的功率谱密度 式中为有理式功率谱密度，为线谱。 第三章现代谱估计 3.3.2 功率谱等价 功率谱等价不同ARMA模型得到的信号可能具有相 同的功率谱。 设ARMA模型为： 112 11 (1) ( )(1) ( ), ( )(0,) | 1,

9、1() | 1,() | 1,1() | 1,() pq ij ij i i i i zx nze n e nN pr qs ir rir is siq 且 个极点中有 个位于单位圆内，其余位于单位圆外； 个零点中有 个位于单位圆内，其余的在单位圆外。 因果部分 反因果部分 最小相位部分 最大相位部分 第三章现代谱估计 ARMA过程x(n)的功率谱密度为： 2 2 22 1 2 1 _ 11 11 _ 11 11 _ * | (1) | ( ) () ( ) | (1) | ARMA ( )( )( ) ( ) ( )(1)(1) ( )(1)(1) 1/, i q j i i xp j k

10、k pr ii iir pr kk kks i e B z P A z e A z x nB z e n A zzz B zzz 将所有在单位圆外的零、极点全部反演到单位圆内， 得到一新的过程 式中 其中， _ * 1,;1/,1, . kk irpksq 第三章现代谱估计 222 22 11 22 11 111 2 ( ) |(1)|(1)| ( ) ( ) ( ) |(1)|(1)| |(1)| |(1)| |1| |1| |(1 ( ) x x qs jj ii ii s pr jj kk kk r jjjjj kkkkkk ARMAx n ee B z P A z ee eeeee P

11、 新的过程的功率谱密度为 21 21 2 111 21 21 2 111 )| ( ) |(1)| qqq j iii ii si s xppp j kkk kk rk r e P e 第三章现代谱估计 结论：如果系统是非因果的或者是非最小相位的，利用功率 谱密度，只能辨识出|H(ej)|，而不能辨识出H(ej). 可利用互功率谱密度或高阶矩统计量辨识此类系统。 第三章现代谱估计 3.4 ARMA谱估计 问题:利用N个已知的观测数据x(0),x(1),x(N-1)估计出ARMA 过程x(n)的功率谱密度。直接使用式(3.3.6)估计时，需 要辨识出整个ARMA模型及激励噪声的方差。MA参数的

12、估计需要解非线性方程。 3.4.1 ARMA功率谱估计的两种线性方法 1.Cadzow谱估计 问题：已知条件是什么？ 11 2 x 11 0 ( )()( )() ( ) ( )()( )() ( ) ( ) p i i i B z B zN zN z Pz A z A zA zA z N zp N zn z 其中是一个 阶多项式， 第三章现代谱估计 1 1 1 00 ( )() ( )() ( )( )( )() 0.5( ),0 ( )() ( ), kkk x kkk x x N zN z zz A zA z zC k zk zk z C k k kk C k x 是的多项式，是 的多项

13、式. 利用功率谱密度是自协方差函数的傅立叶变换，可得 P 其它 第三章现代谱估计 0 0 0 0 0 (3.4.2)(3.4.5) ( ) ( ) ( ) (),0,1,. () p i i k i p ii i i p i i i p i i n z N z k z A z a z a z akikp k 将与相比较，可令 两边同乘以，可得 n卷积关系 优点：避免了MA阶数和参数的确定以及激励白噪声方差的估计。 第三章现代谱估计 2. Kaveh谱估计 1 -2 x 11 - 21 - ( ) () ( )( ) ( ) ()( ) () ( ) () q k k kql x l q k k

14、 kq c z B z B z P zC l z A z A zA z A z B z B zc z 由第二个等式可得， 1 - ( ) ()( ) kk q kl kx kql cc c zA z A zC l z 左端为实数，因此有 由的第三个等式，可得 问题：已知条件是什么？ 第三章现代谱估计 00 - x2 i 1 ( -),0,1,., ( ) 1 jw pp kijx ij q k k kq p i i z e caa C k ij kq KavehARMA c z P az 谱估计为 第三章现代谱估计 3.4.2 修正Yule-Walker方程 在Cadzow谱估计和Kaveh谱

15、估计中，都需要已知AR 阶数和参数。 0 00 00 ( ) ( )( ) () ( ) ( ) () ( ) ()( ) () ( ) ( ) i x ik ik ARMAx n x nh i e ni RE x n x n Eh i e nih k e nk h i h k 因果过程具有唯一的平稳解 其相关函数 () ()E e ni e nk 第三章现代谱估计 2 2 0 0 ( ) () () 0, ( )( ) () ARMA () x i p in i e n ki E e ni e nk Rh i h i ah nib 由于是白噪声，故有 ， 其它 由过程的定义，可得 2 000

16、 2 0 ()( )() ( ) pp ii iki k l k a R lih kah kli h k b 由可得 第三章现代谱估计 1 ( , )0, (3.4.18) ( )()0,(3.4.19) Yule-Walker (3.2.1) AR(3.4.19) ( )( i p xix i xix ARMA p qMAbiq lq R la R lilq p R la R l 对于一个过程，其参数， 因此当时，式恒等于零，有 以上方程称为修正方程。 由式可以给出更简洁、更直观的理解。 对于一个( )过程,可简化为 1 )0,0(3.4.20) Yule-Walker p i il 以上方

17、程称为方程。 第三章现代谱估计 定理3.4.1 (AR参数的可辨识性) 若ARMA(p,q)模型的多项 式A(z)和B(z)无对消因子,且ap0，则该模型的参数a， ap可由以下p个修正Yule-Walker方程确定 1 ()( ),1,.p(3.4.21) (1)(2) .( ) (2)(3) .(1)(3.4.22 ) ( )(1)(1). p ixx i xxx xxx xxx aR l iR l lqq R qpR qpR q RR qpR qpR qa R qR qR qp 证明: 令 第三章现代谱估计 1 ,.,(3.4.22 ) (1),.,()(3.4.22 ) Yule-Wa

18、lker - p xx aaab rR qR qpc Rar 则修正方程可以写成 (3.4.23) (1)(2).( ) (2)(3).(1) ( )(1).(1) (1)(2).() xxx xxx xxx xxx R qpR qpR q R qpR qpR q R R qR qR qp R qR qR qp 令 第三章现代谱估计 112- 21121 -1 1 2 , 1,.,1 ()( ),1,.,1 (2)( pppp pppp i p ixx i xx aaa aaa Rp pu ip u RliRllq qqp RqpRq R rrrr rrrr 11 1 由 修 正 Yule-W

19、alker方 程 可 得 进 一 步 可 得的 秩 由 其 前行 决 定 。 假 定 前行 线 性 相 关 ， 则 存 在 不 全 为 零 的 ， 满 足 令 3).(1) ( )(1).(1) (1)(2).() x xxx xxx pRq RqRqRqp RqRqRqp 第三章现代谱估计 2 -1 1 1112111 11 1 ,1,.,1 ()( ),1,.,1 (1)( )(1)(2) (1)(2) i p ixx i pxpxpxppx xx Rv ip vR liR l lqqp uR qvuR qv uR qvuR qp u R qpvu R qpv 假设 不满秩，则存在不全为零

20、的，满足 2 11 1 121 11 -1 1 (3)( ) ()(1)(2)(1) 1 ()(1)(1) ,1,.,1 ()( ),1,2,. (3. xpx xxxpx xxpx i p ixx i u R qpvu R q R qpv R qpv R qpvR q p R qpu R qpuR q u ip u R liR l lqq 上式右端最后一行等于前行之和，因此有 重复上述过程可得存在不全为零的满足 与4.19)0, p aR比较，可得与题设矛盾，故矩阵 可逆。 第三章现代谱估计 由定理3.4.1可知，当ARMA(p,q)过程x(n)的AR阶 数p和自相关函数Rx()已知时，只需

21、求解p个Yule-Walker 方程，便可辨识出AR参数。 然而在实际应用中， AR阶数p也是未知的，因此还 需先确定p. 3.4.1 (1)( ).(1) (2)(1).(2)(3.4.25 ) ()(1)(). ,(). xexexee exexexee xexexee eeeeee R qR qR qp RR qR qR qpa R qMR qMR qMp Mp pp qqqpqprank Rp 命题 令 若且 则 第三章现代谱估计 3.4.3确定AR阶数的奇异值分解方法 1122 3.4.3 A , (3.4.36) H hh m nm m Un nVA A UV m n 定理 是一个

22、复数矩阵，则存在一个 酉矩阵 和酉矩阵使得 可以分解为 是一个对角阵，其主对角线元素是非负实数， 并按下列顺序排列 (3.4.37) min( , ).hm n 第三章现代谱估计 11 11 1/2 ( ) 22 22 1 1 _ 11 1),1(3.4.41) . 1 2)/, 1 kk k F hh F F kkkk A A kkh A AAFrobenius T kTkA kh 两种确定矩阵 有效秩的方法： 定义（ ） 为矩阵 的范数 定义略小于 的数 作为阈值， （ ）的最小整数 定义为矩阵 的有效秩。 定义 1 _ 1 (3.4.42) kk T TkA 定义接近于零的正数 作为阈值

23、， 的最大正数 定义为矩阵 的有效秩。 第三章现代谱估计 3.5 ARMA模型辨识 在一些应用中，不仅希望得到 AR阶数参数，而且还 希望获得MA阶数和参数。 3.5.1 MA阶数确定 1 ( )()0(3.5.2) . p xix i MA R laR l i l 阶数是使 成立的最大整数 上述方法虽然简单，但是在数据比较短的情况下， 数值稳定性不好。 第三章现代谱估计 3.5.2 MA参数估计 0 222 0 2 0 111 2 0 2 (3.4.10) () () (3.5.8) 2 11. q qq qq bbc bbb bc bbc q q 由可得 上述非线性方程组共有个未知数， 但

24、是只有个方程，可以假定 第三章现代谱估计 0 01 01 ,0,1,(3.5.9) (1) 1 ,(3.5.10 ) , q kii kk i T q T q fbbckq q bbba fff b f 定义拟合误差函数 及维向量 000 01 01 (3.5.10 ) (1)(1) (3.5.11) q qqq q b qq fff bbb fff bbb T f F b 维矩阵 = 第三章现代谱估计 0101 101 0 (1)( )( )1( ) (0)( 00 00 Newton-Raphson 3.5.2 Newton-Raphson 3.4.12MA,0,1, , qq qq q

25、iiii k i bbbbbb bbbb bb ckq bcb F bbFf = 利用方法，可得 算法（算法） (1)利用式()计算谱系数 并令初始值及 0) 0,1,iq； 第三章现代谱估计 ( ) ( ) (1) (2)3.5.9,0,1, 3.5.12 (3)3.5.13MA (4)MA 1, i k i i fkq ii F b 由 式 ()计 算 拟 合 误 差 函 数 并 用 式 ()计 算； 利 用 式 ()更 新参 数 估 计 向 量； 检 验参 数 估 计 向 量 是 否 收 敛 ， 若 收 敛 则 停 止 ， 否 则转 (1). 第三章现代谱估计 实验二实验二 ： ( )0

26、.2 (1)0.23 (2)0.06 (3) ( )0.7 (1)0.12 (2) x nx nx nx n e ne ne n 的ARMA过程。 基本要求：将系统视为灰箱（可以利用方程的结构 信息，p=3, q=2），根据系统的输入输出关系确定当 e(n)为N(0,1)白噪声时输出功率谱密度的有理分式表达 式。 发挥部分：将系统视为黑箱（p,q未知），辨识出AR 和MA阶数p,q。 x(n)是一个满足差分方程 第三章现代谱估计 3.9 多重信号分类(MUSIC) 波束形成技术波束形成技术,零点形成技术零点形成技术,空间谱估计空间谱估计. 3.9.1 波束形成器 (1) ( ) 2sin (

27、) ()1, ii i ii i jj mT i s n d ms t aee 远场信号到达各等距接收单元的相位差为 若阵列由个单元组成 则信号到达各单元的 相位差所组成的向量 1 1 (),() (),k ( ) ( )() ( )( ),1, imi k p kkiik i aa ppm xn xnas nenkm 如果总共有 个远场信号则第 个阵元上 的观测信号为 第三章现代谱估计 11 12 1 (1) (1)(1) ( )() ( )( )( ) ( )( ) 1111 ( ) (1),(),1,. p p p ii i j jj j m j mj m kk ns nnnn eee

28、eee k xxNkm xaeAse A 写成向量形式为 假定在第 个阵列单元上共观测到 个接收信号 ( ). ,. dd d sn d 波束形成问题:利用观测值估计某个期望信号的波达方向 先求出相位差再根据式计算出 第三章现代谱估计 2 * 1 1 2 2 11 ( )( ), ( ) ( ),. , ,( )( )( ). N 11 min( )min( ) iji k m TH mii i NN H ww nn s ns ns n e nk wwz nw x nn z nn NN ww x w x 假定信号与相互独立与阵列上各单元的观测噪声 独立 且观测噪声相互独立并具有相同的方差考虑第 个信号 的接收 设计权向量输出信号为 使 次接收的输出能量平均值最小,即 1 2 1 (3.9.8) 1 ( )( )(3.9.9) 1 min( )min N H xx n N H xx ww n Rnn N z nR N xx ww 令 22 1 1, (3.9.10) 1 (