单因素实验设计

1、单因素实验设计 单因素优化实验设计 定义 实验中只有一个影响因素，或虽有多个影响因 素，在安排实验时，只考虑一个对指标影响最大 的因素，其它因素尽量保持不变的实验，即为单 因素实验。 确定实验范围 x：实验点 axb 确定目标 根据实际及实验要求，科学安排实验点 单因素实验设计 例1.某厂在电解工艺技术改革中，希望提高电 解率，做了如下初步试验，结果如下： 其中,74度结果较好，但是，74是不是最佳温 度？我们可以采用两种方案： 方案一：在74度附近逐点做实验，如：70， 71，72，显然太费时间 方案二：根据试验结果呈抛物线特点，可以 预先拟合为： 电解温度 x657480 电解率(%) y

2、94.398.981.5 cbxaxy 2 单因素实验设计 应用测定的多组数据，可以拟合出曲线，求得 相应的参数 a,b,c，然后由方程求极大值的方法， 可以获得对应的温度为70.5，经核实在该温度 下电解率达到99.5%，表明优化一次成功 单因素优化实验设计方法 单因素试验方法分类 均分法 对分法 黄金分割法（0.618法） 分数法 单因素实验设计 均分法 操作方法 优点 只要把实验放在等分点上，实验点安排简单。 n次实验可同时做，节约时间，也可一个接一个做， 灵活性强 缺点 实验次数较多，代价较大，不经济 x：实验点 axb 单因素实验设计 对分法(中点取点) 操作方法 每次实验点都取在实

3、验范围的中点，即中点 取点法 优点 每做一个实验就可去掉试验范围的一半，且 取点方便，试验次数大大减小，故效果较好 适用情况 适用于预先已了解所考察因素对指标的影响 规律，能从一个试验的结果直接分析出该因素的能从一个试验的结果直接分析出该因素的 值是取大了或取小了的情况值是取大了或取小了的情况，即每做一次实验， 根据结果就可确定下次实验方向的情况，这无疑 使对分法应用受到限制(单调！) 单因素实验设计 例：称量质量为2060g某种样品时，第一次 砝码的质量为40g，如果砝码偏轻，则可判断样 品的质量为4060g，于是，第二次砝码的质量 为50g，如果砝码又偏轻，则可判断样品的质量 为5060g

4、，接下来砝码的质量为55g，如此称下 去，直到天平平衡为准 2060405055 单因素实验设计 黄金分割法（0.618法） 单峰函数(实验中指标函数) 单峰函数不一定是光滑的， 甚至也不一定是连续的，它只 要求在定义区间内只有一个 “峰” 函数的单峰性使我们可以 根据消去法原理逐步地缩小搜 索区间，已知其中包括了极小 点的区间，称为搜索区间搜索区间 单因素实验设计 0.618法(黄金分割法)的构思 设指标函数是一个单峰函数，即在某区间内 只有一极小点，为最佳实验点 f(c)f(d) 单因素实验设计 以图a看，设区间a，b的长为1，在与点a相 距分别为、的点处插入c、d两点，为确定、 的数值，

5、提出如下条件： 条件一条件一：c、d两点在a，b中的位置是对称的， 此时，无论删除哪一段，总能保留长度为的区 间，即有： 条件二条件二：无论删掉哪一段，例如，删掉(db)， 在留下的新区间a，d内，再插入一新点e，使e, f(原区间中的c)在新区间的位置与c, d在原区间a， b中的位置具有相同的比例 1 或 dbac 单因素实验设计 这样可以保证每一次都以同一的比率缩短区 间，达到减少函数的计算次数之目的 从图a, b看，在新区间a，d内，已经包含了 算出函数值的f(原区间中的c)。所以在其内只需 要再取一个点（而不是两个点）计算函数值，就 可以进一步将新区缩短 根据条件二，可以获得如下方程

6、 2 1 或 ab ad ad ac ad af 单因素实验设计 联列条件一、二的方程可得 0.618法一般步骤 确定实验范围（在一般情况下，通过预实验 或其它先验信息，确定了实验范围a，b ） 选实验点（这一点与前述均分、对分法的不 同处在于它是按0.618、0.382的特殊位置定点的， 一次可得出两个实验点x1, x2的实验结果 82.3018.60 2 15 01 2 2 ；解得： 单因素实验设计 根据“留好去坏留好去坏” 的原则对实验结果进行 比较，留下好点，从坏 点处将实验范围去掉， 从而缩小了实验范围 在新实验范围内按 0.618、0.382的特殊位 置再次安排实验点，重 复上述过

7、程，直至得到 满意结果，找出最佳点 单因素实验设计 0.618法具体步骤 计算实验点位置 按下列公式计算 设和表示x1、x2两点的实验结果，且值越大， 效果越好，分几种情况讨论 (1)若f(x1)f(x2)，即f(x1)比f(x2)好，则根据 “留好去坏”的原则，去掉实验范围a，x2部 分，在x2，b内继续实验。见图1。 )(382. 0 )(618. 0 2 1 abax abax 单因素实验设计 若去掉实验范围的左边区间，则新试验点将 安排在新实验范围的0.618的位置上(x3)，另一个 试验点在新范围的0.382的位置上(x4) 即除第一次要取二个试点外，以后每次只取 一个试点，另一个试

8、验点在已试点上（不做） 同理，比较结果，去点坏点，进一步实验 号点（原好点） 新点 1 )(618. 0 )(382. 0382. 02( )(382. 0)(382. 0)(382. 0 )(382. 0382. 0)(382. 0 )(382. 0 )(618. 0 1 2 2 224 223 x aba aba abababa abababa bxxx bxxx 单因素实验设计 (2)若f(x1)f(x2)，即f(x2)比f(x1) 好，则根据 “留好去坏”的原则，去掉实验范围x1，b 部 分，在a，x1 内继续实验。见图1 若去掉实验范围的右边区间，则新试验点将安 排在新实验范围的0.

9、618的位置上(x4)，另一个试 验点在新范围的0.382的位置上(x3) （原好点）号点 新点 2 )(382. 0 )(618. 0 )(618. 0618. 0 )(618. 0 )(382. 0 2 2 14 13 x aba aba aabaa axax axax 单因素实验设计 (3)若f(x2)与f(x1) 效果相同，则去掉两端，在 x1，x2 内继续实验。见图1 则有两个新试验点 优点 每次可去掉实验范围的0.382，每次缩小的比 例一样（即0.618），除第一次要取二个试点外， 以后每次只取一个试点，用起来较方便，可用较 少的实验次数迅速找到最佳点 适用条件 指标函数为单峰函

10、数 新点 新点 )(382. 0 )(618. 0 1214 1213 xxxx xxxx 单因素实验设计 下面通过实例，说明黄金分割法设计实验的 具体步骤 例1:目前，合成乙苯主要采用乙烯与苯烷 基化的方法。为了因地制宜，对于没有石油乙 烯的地区，我们开发了乙醇和苯在分子筛催化 下一步合成乙苯的新工艺： 筛选了多种组成的催化剂，其中效果较好的 一种催化剂的最佳反应温度，就是用黄金分割 法通过实验找出的 OHHCHCOHHCHC 252565266 单因素实验设计 初步实验找出，反应温度范围在340420 之间。在苯与乙醇的摩尔比为5：1，重量空速为 11.25h-1的条件下,苯的转化率XB是

11、: 第一个实验点位置是: (420-340)0.618+340=389.4 取决于390实验结果是:XB=16.5% 第二个实验点的位置是: ( 420-340) 0.382+340=370 实验测得,370下, XB=15.4% 34010.98% 42015.13% 单因素实验设计 比较两个实验点的结果,因390的XB大于370 的XB,删去340-370一段,在370到420范围内 再优选。第三个实验点位置是: (420-370) 0.618+370=400 实验测得400下,XB=17.07% 因400的XB大于390的XB,再删去370-390 一段,在390-420范围内再优选。第

12、四个实验点的 位置是: (420-390) 0.618+390=410 在410下测得XB=16.00%,已经小于400的结 果。故此,实验的最佳温度确定为400。在此温 度下进行反应,获得成功,通过了鉴定 单因素实验设计 分数法(Fibonacci Search) 分数法又称费波那契搜索(Fibonacci Search)，基 本思想和0.618法是一致的，主要不同点是主要不同点是：0.618 法每次都按同一比例常数同一比例常数0.618来缩短区间，而分 数法每次都是按不同的比例不同的比例来缩短区间的，它是 按菲波那契数列Fn产生的分数序列为比例来缩 短区间的 菲波那契数列 13世纪意大利人

13、Fibonacci曾经考虑过这样一串 数, 称之为Fibonacci数列Fn 单因素实验设计 2 1 21 10 nFFF FF nnn 这个整数序列写出来就是： 1，1，2，3，5，8，13，21，34， （1） 由上述菲波那契整数数列可得： 菲波那契搜索法（分数法） 用Fibonacci数列的规律进行区间搜索最 优点的方法称之为Fibonacci法 ) 3(1 21 n n n n F F F F 单因素实验设计 该数列前后两项之比为分数数列Fn/ Fn+1 Kiefer首先研究利用上述分数数列及其关系式 （3）找实验范围内最佳实验点 方法是：在0，1区间内选择 1 ，2两点， 令 即按分

14、数序列的规律选择实验点位置，比较 结果，然后舍掉不包括最优点的一段，在缩短了 搜索范围后继续找点，比较实验结果，当搜索区 间小于给定精度值时，整个过程结束 ）（，2 34 21 21 13 13 8 5 3 3 2 2 1 1 n n n n F F F F 1 2 2 1 单因素实验设计 分数法具体作法 分两种情况 所有可能进行的实验总次数m=Fn-1时，即m 正好与Fibonacci数列中某数减一相一致时，则前 两个实验点分别放在Fn-1和Fn-2位置上 例：在配制某种清洗液时，要优选某材料的加 入量P，实验范围2%13%，采用1%为一个实验点， 则可能实验总次数为12次，符合m=1213

15、1 F61 单因素实验设计 3）分数法具体作法）分数法具体作法 分两种情况分两种情况 单因素实验设计 单因素实验设计 单因素实验设计 4）分数法的特点）分数法的特点 1)具体搜索步骤与前述具体搜索步骤与前述0.618法基本一致，所不同法基本一致，所不同 之处仅仅是选的实验点位置是分之处仅仅是选的实验点位置是分 数数 ， ，且要求预先给出实验总次数。，且要求预先给出实验总次数。 2)在实验点能取在实验点能取整数整数时，或由于某种条件限制只时，或由于某种条件限制只 能做几次实验时，或由于某种原因，实验范围由能做几次实验时，或由于某种原因，实验范围由 一些一些不连续的、间隔不等的点不连续的、间隔不等

16、的点组成或组成或实验点只能实验点只能 取某些特定值时取某些特定值时，利用分数法安排实验更为有利、，利用分数法安排实验更为有利、 方便。方便。 3)适合于单峰函数。适合于单峰函数。 1 1 1 n n F F 2 1 n n F F 单因素实验设计 通过数学计算可知，经过同样次数的分割通过数学计算可知，经过同样次数的分割 后，分数法的缩减速度比后，分数法的缩减速度比0.618法快，当法快，当N 很大时，分数法比很大时，分数法比0.618法效率高法效率高17%，对于这种，对于这种 两方法而言，大约每分割十次，可提高两位精两方法而言，大约每分割十次，可提高两位精 度，适用于单峰函数，对于实验范围为间断点的尤为度，适用于单峰函数，对于实验范围为间断点的尤为 适用。适用。 单因素实验设计 单因素优选法作业 1、已知某合成试验的反应温度范围为、已知某合成试验的反应温度范围为340420，通过，通过 单因素优选法得到：温度为单因素优选法得到：温度为400时，产品的合成率最高，时，产品的合成率最高， 如果使用的是如果使用的是0.618法，问优选过程是如何进行的，共需法，问优选过程是如何进行的，共需 做多少次试验。假设在试验范围内合成率是温度的单峰函做多少次试验。假设在试验范围内合成率是温度的单峰函 数。数。