二元函数的连续性[教师教材]

1、3 二元函数的连续性 无论是单元微积分还是多元微积分, 其中 所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数. 二元函数连续性的定义比一元函数更一般化 了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的 整体性质, 二者完全相同. 一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质 一、二元函数的连续性概念 连续性的定义连续性的定义 .D 0,0, 0 (;)PU PD 若若只要只要, 就有就有 0 |()()|,(1)f Pf P 则称则称 f 关于集合关于集合 D 在点在点 连续连续. .在不致误解的情形在不致误解的情形 0 P 下下, 也称也称 f 在点在点 连续连续. . 0 P 若若 f 在在

2、D 上任何点都关于集合上任何点都关于集合 D 连续连续, ,则称则称 f 为为 D 上的上的连续函数连续函数. . 2 RD 定义定义1 设设 f 为定义在点集为定义在点集上的二元函数上的二元函数, 0 P 由上述定义知道由上述定义知道: : 若若 是是 D 的孤立点的孤立点, ,则则 必定是必定是 0 P 0 P 0 0 lim( )().(2) PP P D f Pf P 0 P f 的连续点的连续点. 若若 是是 D 的聚点的聚点, 则则 f 关于集合关于集合 D 在点在点 连续等价于连续等价于 0 P 如果如果 是是 D 的聚点的聚点, 而而 (2) 式不成立式不成立 (其含义与一元其

3、含义与一元 0 P 函数的对应情形相同函数的对应情形相同 ), 则称则称 是是 f 的的不连续点不连续点 (或或 0 P 称称间间断点断点). 特别当特别当 (2) 式左边极限存在式左边极限存在, 但不等于但不等于 如上节例如上节例1、2 给出的函数在原点连续给出的函数在原点连续; 例例3、4、5 0 ()f P 0 P是是 f 的的可去间断点可去间断点. 时时, 给出的函数在原点不连续给出的函数在原点不连续. 又若把上述例又若把上述例3 的函数的函数 改为改为 22 2 , ( ,)( ,)|,0 , ( ,) ,( ,)(0, 0), 1 xy x yx yymx x xy f x y m

4、 x y m 上，这时由于上，这时由于 2 ( ,)(0,0) lim( ,)(0, 0), 1 x y ymx m f x yf m 其中其中 m 为固定实数为固定实数, 亦即函数亦即函数 f 只定义在只定义在 ymx 22 , ( , )(0,0), ( , )(0) 0,( , )(0,0), x x y f x yxy x y 在坐标原点的连续性在坐标原点的连续性 22 ( cos , sin )(cos )0,f rrrr ( , )(0,0) lim( , )0(0,0), x y f x yf 因此因此 此时此时 f 在原点连在原点连 因此因此 f 在原点沿着直线在原点沿着直线

5、是连续的是连续的ymx 例例1 讨论函数讨论函数 解解 由于当由于当 20r 且时,且时, ( , )(0,0) 2,lim( , ) x y f x y 时时 续续; 而当而当 不存在，不存在， 此时此时f 在原点间断在原点间断 全增量与偏增量全增量与偏增量 00000 (,)( ,),P xyP x yDxxxyyy 、设设 0000 (,)( ,)(,)zf xyf x yf xy 称称 0000 (,)(,)f xx yyf xy 量形式来描述连续性量形式来描述连续性, 即当即当 为函数为函数 f 在点在点 的全增量的全增量. 和一元函数一样和一元函数一样, 可用增可用增 0 P (,

6、)(0,0) ( ,) lim0 xy x yD z 时时, f 在点在点 连续连续. 0 P 00,xy 或或如果在全增量中取如果在全增量中取 则相应得到的则相应得到的 增量称为偏增量增量称为偏增量, 分别记作分别记作 000000 (,)(,)(,), x f xyf xx yf xy 000000 (,)(,)(,). y f xyf xyyf xy 一般说来一般说来, 函数的全增量并不等于相应的两个偏增函数的全增量并不等于相应的两个偏增 量之和量之和. 若一个偏增量的极限为零若一个偏增量的极限为零, 如如 00 0 lim(,)0, x x f xy 0 yy 0 ( ,)f x y

7、则表示当固定则表示当固定 时时, 作为作为 x 的函数的函数, 它它 在在 x0 连续连续. 同理同理, 00 0 lim(,)0, y y f xy 若若 则表示则表示当当 容易证明容易证明: 当当 f 在其定义域的内点在其定义域的内点 连续时连续时, 00 (,)xy 0 ( ,)f x y 0 (,)f xy 在在 x0 与与 在在 y0 都连续都连续. 但是反过来但是反过来, 由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该 函数的连续性函数的连续性 (除非另外增加条件除非另外增加条件). 例如二元函数例如二元函数 固定固定 时时， 0 (,)f

8、 xy 在在 y0 连续连续. 0 xx 10, ( ,) 00 xy f x y xy ， ， 在原点处显然不连续在原点处显然不连续, 但由于但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对因此它在原点处对 x 和对和对 y 分别都连续分别都连续. 例例2 设在区域设在区域 2 R( , )Df x yxy 上分别对和对都上分别对和对都 连连续试证在下列条件之一满足时，续试证在下列条件之一满足时， ( , )f x yD在在上上 处处连续：处处连续： (i) 对其中一个变量对其中一个变量 (例如例如 y) 满足李普希茨条件满足李普希茨条件, 即即 0,L 12 (

9、,),( ,),x yx yD 恒恒有有使得对任何使得对任何 1212 ( ,)( ,);f x yf x yL yy (ii) 对其中一个变量对其中一个变量 (x) 的连续关于另一个变量的连续关于另一个变量 (y) 是一致的是一致的, 即即 00 ,0,0(,xx 只只与与有有关关 0 ),|,( , ),yxxx yD 而而与与无无关关当当且且时时 对对一一切切 0 ( , )(, ).yf x yf xy 恒恒有有 (iii) 参见本节习题第参见本节习题第 9 题题 (这里不作证明这里不作证明). 证证(i) 0000 (,).( ,),xyDf x yx 因因在在连连续续 故故任任给给

10、 101 0,|,xx 当当时时 有有 0, 000 ( ,)(,)2;f x yf xy 又当又当 02 |2,yyL 时时 满满足足 00 ( , )( ,)|2.f x yf x yL yy 12 min, 令令则则当当 000 ( , )(,)( , )( ,)f x yf xyf x yf x y 000 ( ,)(,)22,f x yf xy ( , )x yD 且且 00 |,|xxyy ,时 又有时 又有 .D在上处处连续在上处处连续 0000 (,).(,),fxyxyf即在连续 由的任意性 便知即在连续 由的任意性 便知 (ii) 0000 (,).(, ),0,xyDf

11、xyy 因因在在连连续续 故故 101 0,|,yy 当当时时 有有 000 |(, )(,)|2;f xyf xy 又由又由 f 对对 x 的连续关于的连续关于 y 是一致的是一致的, 故故 2 0, 使使 02 |,( , ),yyx yD 当当且且时时 有有 0 |( , )(, )|2.f x yf xy 1200 min,|,|xxyy 令令则则当当 ( , ),x yD 且时 又有且时 又有 000 ( , )(,)( , )(, )f x yf xyf x yf xy 000 (, )(,)22,f xyf xy 这就证得这就证得 .fD在上处处连续在上处处连续 连续函数的局部性

12、质连续函数的局部性质 以及相应的有理运算的各个法则以及相应的有理运算的各个法则. 下面只证明二元下面只证明二元 若二元函数在某一点连续若二元函数在某一点连续, 则与一元函数一样则与一元函数一样, 可以可以 证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性 复合函数的连续性定理复合函数的连续性定理, 其余留给读者自己去练习其余留给读者自己去练习. 定理定理16.7 (复合函数的连续性复合函数的连续性) 设函数设函数( ,)ux y 和和 义义, 并在点并在点 Q0 连续连续, 其中其中 000000 (,),(,).uxyvxy 则复合函数则复合函数 (

13、,)( ,),( ,)g x yfx yx y 在点在点 P0 也也 连续连续. 证证 由由 f 在点在点 Q0 连续可知：连续可知： 0,0, 使得当使得当 ( ,)vx y 在点在点 的某邻域内有的某邻域内有定义定义, 并在并在 000 (,)P xy 点点 连续连续; f (u, v) 在点在点 000 (,)Q u v 0 P的某邻域内有定的某邻域内有定 00 |( , )(,)|.f u vf uv 00 |, |uuvv 时时, 有有 又由又由 、 在点在点 P0 连续可知连续可知: 对上述对上述 0,0, 使使得当得当 00 |,|xxyy 时时, 有有 000 |( , )(,

14、)|,uuu vuv 000 |( , )(,)|.vvu vuv 0000 | ( ,)(,)|( , )(,)|.g x yg xyf u vf uv 00 |,|xxyy 综合起来综合起来, 当当 时时, 便有便有 所以所以 ( ( ,),( ,)fx yx y 在点在点 连续连续. 000 (,)P xy 二、有界闭域上连续函数的性质 本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质. 这这 可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广. 定理定理16. 8 ( 有界性定理与最大、小值定理有界性定理与最大、小值定理 ) 若

15、二元若二元 函数函数 f 在在有界闭域有界闭域 2 RD 上连续上连续, 则则 f 在在 D上有界上有界, 且能取得最大值与最小值且能取得最大值与最小值. |()|,1, 2,.(3) n f Pnn 证证 先证明先证明 f 在在 D 上有界上有界. 倘若不然倘若不然, 则则 + N ,n 存存 , n PD 使得使得 在在 n PD n P于是得到一个有界点列于是得到一个有界点列 , 且能使且能使中有无中有无 穷多个不同的点穷多个不同的点. 由聚点定理的推论由聚点定理的推论, n P 存在收敛存在收敛 k n P 0 lim k n k PP 0 .PD 子列子列 ,设设. 因因 D 是闭域

16、是闭域, 从而从而 又因又因 f 在在 D上连续上连续, 当然在点当然在点 也连续也连续, 于是有于是有 0 P 0 lim()(). k n k f Pf P 这与不等式这与不等式 (3) 矛盾，所以矛盾，所以 f 是是 D上的有界函数上的有界函数. 下面证明下面证明 f 在在 D 上能取到最大、小值上能取到最大、小值. 为此设为此设 inf(),sup().mf DMf D QD ()f QM 可证必有一点可证必有一点, 使使 (同理可证存在同理可证存在 QD ()f Qm PD , 使使). 如若不然如若不然, 对任意对任意, 都都 有有 ()0Mf P . 考察考察 D 上的正值连续函

17、数上的正值连续函数 1 ( ), ( ) F P Mf P 由前面的证明知道由前面的证明知道, F 在在 D上有界上有界. 又因又因 f 不能在不能在 D 上达到上确界上达到上确界 M, 所以存在收敛点列所以存在收敛点列 n PD , 使使 lim() n n f PM lim() n n F P . 于是有于是有 , 这导致与这导致与 F 在在 D 上有界的结论相矛盾上有界的结论相矛盾, 从而证得从而证得 f 在在 D 上能取上能取 到最大值到最大值. 定理定理16.9 (一致连续性定理一致连续性定理) 若函数若函数 f 在有界闭域在有界闭域 2 RD 0, 上连续上连续, 则则 f 在在

18、D 上一致连续上一致连续. 即即 存存 0, ( ,)P Q 在只依赖于在只依赖于 的的 使得对一切满足使得对一切满足 证证 本定理可参照第七章中证明一致连续性定理的本定理可参照第七章中证明一致连续性定理的 理来证明理来证明. 这里我们采用后一种证法这里我们采用后一种证法. 方法方法, 运用有限覆盖定理来证明运用有限覆盖定理来证明, 也可以运用聚点定也可以运用聚点定 倘若倘若 f 在在 D 上连续而不一致连续上连续而不一致连续, 则存在某则存在某 0 0, 0, 1,1, 2,n n 对对于任意小的于任意小的例如例如 , 总有总有 ,P QD |()()|.f Pf Q 必有必有 的的点点 n

19、n PQD 、(,)1 nn P Qn 相应相应的的 , 虽然虽然, 但是但是 0 |()()|. nn f Pf Q 由于由于 D 为有界闭域为有界闭域, 因此存在收敛子列因此存在收敛子列, k nn PP 0 lim k n k PPD n Q k n P并设并设 . 再在再在中取出与中取出与下下 标相同的子列标相同的子列, k n Q 则因则因 0(,)10, kk nnk PQnk 有有 0 limlim kk nn kk QPP . 最后最后, 由由f在在 P0 连续连续, 得得 00 lim |()()|()()|0. kk nn k f Pf Qf Pf Q 0 |()()|0

20、kk nn f Pf Q 这与这与相矛盾相矛盾, 所以所以 f 在在 D 上一致连续上一致连续. 定理定理16.10(介值性定理介值性定理) 设函数设函数f在区域在区域 2 RD 上连续上连续, 若若P1 , P2 为为 D 中任意两点中任意两点, 且且 12 ()(),f Pf P 则对任何满足不等式则对任何满足不等式 12 ()()(4)f Pf P 证证 作辅助函作辅助函 数数 0 PD 0 ().f P 的实数的实数 , 必存在点必存在点, 使得使得 ()(),.F Pf PPD 易见易见 F 仍在仍在 D 上连续上连续, 且由且由(4)式知道式知道 1 ()0,F P 2 ()0.F

21、 P 0 PD 0 ()0.F P 下面证明必存在下面证明必存在, 使使 1 P 2 P D x y O 图图 16 -18 由于由于 D 为区域为区域, 我们可以用有限段都在我们可以用有限段都在 D 中的折线中的折线 连结连结 P1 和和 P2 (如图如图 16-18). 若有某一个连接点所对应的函数值为若有某一个连接点所对应的函数值为 0, 则定理得则定理得 证证. 否则从一端开始逐段检查否则从一端开始逐段检查, 必定存在某直线段必定存在某直线段, 使得使得 F 在它两端的函数值异号在它两端的函数值异号. 不失一般性不失一般性, 设连结设连结 P1(x1, y1), P2(x2, y2)

22、的直线段含于的直线段含于 D, 其方程为其方程为 121 121 (), 01. (), xxt xx t yyt yy 在此直线段上在此直线段上, F 变为关于变为关于 t 的复合函数：的复合函数： 121121 ( )(),(), 01.G tF xt xxyt yyt 由于由于 G 为为 0, 1 上的一元连续函数上的一元连续函数, 且且 12 ()(0)0(1)(),F PGGF P 因此由一元函数根的存在定理因此由一元函数根的存在定理, 在在 (0, 1) 内存在一点内存在一点 0, t 0 ( )0G t 使得使得. 记记 0102101021 (),(),xxtxxyytyy 则

23、有则有 000 (,)P xyD , 使得使得 000 ()( )0,().F PG tf P 即即 有连通性的有连通性的. 界闭集界闭集 (证明过程无原则性变化证明过程无原则性变化). 但是介值性定理但是介值性定理 中所考察的点集中所考察的点集 D 只能假设是一区域只能假设是一区域, 这是为了保这是为了保 证它具有连通性证它具有连通性, 而一般的开集或闭集是不一定具而一般的开集或闭集是不一定具 续函数续函数, 则则 f (D) 必定是一个区间必定是一个区间 (有限或无限有限或无限). 注注2 由定理由定理16. 10 又可知道又可知道, 若若 f 为区域为区域 D 上的连上的连 例例3 ( ,