反函数和反三角函数(最新)[教师教材]

1、反函数和反三角函数反函数和反三角函数 一、反函数一、反函数 二、反三角函数二、反三角函数 1青苗辅导 一、反函数一、反函数 2青苗辅导 3青苗辅导 4青苗辅导 二、反三角函数 1.反正弦函数反正弦函数 2.反余弦函数反余弦函数 3.反正切函数反正切函数 4.反余切函数反余切函数 xarcsinarcsin xarccosarccos xarctanarctan xarc cotcot 5青苗辅导 (1)什么样的函数有反函数什么样的函数有反函数? 一一对应函数有反函数一一对应函数有反函数 没有没有,因为他不是一一对应函数因为他不是一一对应函数 (2)互为反函数图象之间有什么关系互为反函数图象之间

2、有什么关系 关于直线关于直线y=x对称对称 (4)正弦函数y=sinx在 上有反函数吗？ (3)正弦函数正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx, 正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗在定义域上有反函数吗? 余弦函数y=cosx在0， 上有反函数吗？ 正切函数y=tanx在 上有反函数吗？ , 2 2 (,) 2 2 6青苗辅导 x y o -2 - 2 3 4 1 -1 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？)(sinRxxy 2 2 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。 正弦函数正弦函数 有反函

3、数吗？有反函数吗？)(sinRxxy sin (, ) 2 2 yx x 正弦函数正弦函数 有反函数吗？有反函数吗？ 有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数， 同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个角。 7青苗辅导 1.反正弦反正弦函数函数 （1）定义）定义：正弦函数正弦函数 的反函数的反函数sin (, ) 2 2 yx x 叫反正弦函数，记作叫反正弦函数，记作arcsinxy arcsinyx 习惯记作习惯记作 1,1, 2 2 xy 1,1,arcsin ,xaya 若有 8青苗辅导 理解和掌握理解和掌握 符号符号arcsin (1)a a 表示表示一个角一个

4、角 这个这个角的范围是角的范围是, 2 2 arcsina arcsin,. 2 2 a 即 9青苗辅导 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -3-2-1123 2 2 1 -1 sin , 1,1 2 2 yx xy arcsin , 1,1, 2 2 yx xy （2）反正弦函数）反正弦函数 的图象的图象 与与性质：性质： y x yx 2 2 定义域定义域:-1，1。 值域值域:, 22 单调性单调性: 是增函数是增函数。 o 1 1 , ,1 1 , ,a ar rc cs si in n xxy 奇函数奇函数 有界函数有界函数 10青苗辅导 (1)arcsin1

5、_(2)arcsin( 1)_ 1 (3)arcsin0_(4)arcsin_ 2 12 (5)arcsin()_(6)arcsin_ 22 23 (7)arcsin()_(8)arcsin_ 22 3 (9)arcsin()_ 2 （3）熟记）熟记特殊值的反正弦函数值特殊值的反正弦函数值 2 2 0 6 4 6 4 3 3 11青苗辅导 2 -2 -22 O1E F 2 2 只有正弦函数主值区间只有正弦函数主值区间 上的角才能用上的角才能用 反正弦表示反正弦表示 a x=? arcsina x1x2 （4）已知）已知三角函数值求角三角函数值求角 2 , 2 ,sin xxy 3 x4 x ,

6、 2 2 12青苗辅导 例例1：判断下列各式是否正确？并简述理由。：判断下列各式是否正确？并简述理由。 3 (1)arcsin 23 3 (2)arcsin 32 (3)arcsin12() 2 kkZ (4)arcsin()arcsin 33 对 错 1 3 错 错 1 3 2 2 1 1arcsinarcsin 总结总结 1 1 , ,1 1 , ,a ar rc cs si in n xxy , 22 y 13青苗辅导 x y o -2 - 2 3 4 1 -1 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。 余弦

7、函数余弦函数 有反函数吗？有反函数吗？ cos ()yx xR cos (0, )yx x 余弦函数余弦函数 有反函数吗？有反函数吗？ 有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数， 同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个角。 14青苗辅导 2.反反余弦函数余弦函数 （1）定义）定义：余弦函数余弦函数 的反函数的反函数 cos (0, )yx x 叫反余弦函数，记作叫反余弦函数，记作 (本义反函数本义反函数) arccosxy arccosyx 习惯记作习惯记作 (矫正反函数矫正反函数) 1,1,0, xy 1,1,arccos ,xaya 若有 15青苗辅导 理解和掌握

8、理解和掌握 符号符号arccos(1)a 表示表示一个角一个角 这个这个角的范围是角的范围是 0, arccosa arccos0,.即 16青苗辅导 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -4-3-2-11234 y=cosx,x0， y-1，1 y=arccosx,x-1，1 y0， -1 1 （2）反）反余弦余弦函数函数 的的图图 象与性质象与性质 o x y yx 定义域定义域： -1，1。 值域值域:0，。 单调性单调性: 是减函数。是减函数。 1 1 , ,1 1 , ,a ar rc cc co os s xxy 有界函数有界函数 17青苗辅

9、导 (1)arccos1 _(2)arccos( 1)_ 1 (3)arccos0_(4)arccos_ 2 12 (5)arccos()_(6)arccos_ 22 23 (7)arccos()_(8)arccos_ 22 3 (9)arccos()_ 2 （3）熟记）熟记特殊值的反正弦函数值特殊值的反正弦函数值 2 0 3 4 2 3 3 4 6 5 6 18青苗辅导 只有余弦函数主值区 间0，上的角才能 用反余弦表示 2 -2 -22 O1 E F a x arccosa x1x2x3 -arccosa 2-arccosa 2+arccosa , 0,cosxxy （4）已知）已知三角函

10、数值求角三角函数值求角 19青苗辅导 例题：判断例题：判断下列各式是否正确？并简述理由。下列各式是否正确？并简述理由。 1 (1)arccos 23 1 (2)arccos 32 (3)arccos02() 2 kkZ (4)arccos()arccos 33 对 错 1 3 错 错 1 3 总结总结 1 1 , ,1 1 , ,a ar rc cc co os s xxy y0，。 20青苗辅导 tan (,) 2 yx xkkz 没有没有,因为他不是一一对应函数，因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值会对应同一个三角函数值会对应 许多角。许多角。 正切函数正切函数 有反函数吗？有反函数吗

11、？ tan ,(, ) 2 2 yx x 正切函数正切函数 有反函数吗？有反函数吗？ 有有,因为它是一一对应函数，因为它是一一对应函数， 同一个三角函数值只对应一个角。同一个三角函数值只对应一个角。 2 2 21青苗辅导 3.反反正切函数正切函数 （1）定义）定义：正切函数正切函数 的反函数的反函数 tan (, ) 2 2 yx x 叫反正切函数，记作叫反正切函数，记作 (本义反函数本义反函数) arctanxy arctanyx 习惯记作习惯记作 (矫正反函数矫正反函数) ,(, ) 2 2 xR y ,arctan ,xaRya 若有 22青苗辅导 理解和掌握理解和掌握 符号符号arct

12、an ()a aR 表示表示一个角一个角 这个这个角的范围是角的范围是 (,) 2 2 arctana arctan(,). 2 2 a 即 23青苗辅导 3 2.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -4-3-2-11234 （2）反）反正切函数正切函数y=arctanx,xR的图象与性质的图象与性质 2 2 Ry xxy ) 2 , 2 (,tan 2 2 ) 2 , 2 (,arctan yRxxy 定义域定义域R 值域值域: (,) 22 单调性单调性: 是增函数是增函数 yx 奇函数奇函数 有界函数有界函数 24青苗辅导 (1)arctan1 _(2)arctan( 1)_ (3)a