专题4圆与相似

1、专题：圆与相似(1)1. 如图，AB是O O的直径，弦 CD AB于H.点G在O O上，过点 G作直线EF,交CD延长 线于点E,交AB的延长线于点 F.连接AG交CD于 K,且KE= GE(1 )判断直线EF与O O的位置关系，并说明理由；AH 3(2 )若 AC/ EF, FB= 1,求O O 的半径.AC 52. 如图，PB为O O的切线，B为切点，直线 PO交O于点E, F,过点B作PO的垂线BA垂 足为点D,交O O于点A,延长AO与O O交于点C,连接BC, AF.(1) 求证：直线PA为O O的切线；(2) 试探究线段EF, OD OP之间的等量关系，并加以证明；1(3) 若BC

2、= 6, tan / F= ，求cos / ACB的值和线段 PE的长.23. 如图所示，AB是O O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过 C作CD丄AB于点D, CD 交AE于点F,过C作CG/ AE交BA的延长线于点 G.连接OC交AE于点H。(1) 求证：GCL OC(2) 求证：AF=CF(3) 若/ EAB=30 , CF=2,求 GA的长.4. 如图，在 ABC AB=AC以AB为直径的O O分别交 AC BC于点D E,点F在AC的延长1线上，且/ CBF=/ CAB2(1) 求证：直线BF是O O的切线；75(2 )若 AB=5 sin / CBF= ，求 BC和 BF 的

3、长.55.如图，O O的弦AB=8直径 CDLAB于M OM : MD =3 : 2, E是劣弧CB上一点，连结 CE并延长交CE的延长线于点F. 求：(1 )0 O的半径；(2) 求CE- CF的值.6. 如图，已知在厶 ABP中，C是BP边上一点，/ PACN PBA O O是厶ABC的外接圆，AD是 O O的直径，且交 BP于点E.(1) 求证：PA是O O的切线；(2) 过点C作CF丄AD,垂足为点 F,延长CF交AB于点G 若AG?AB=12求AC的长；(3) 在满足(2)的条件下，若 AF: FD=1: 2, GF=1,求O O的半径及sin / ACE的值.7. 如图，在 ABC

4、中，/ C=90, AC=3 BC=BC边上一点，以0为圆心，0B为半径作半圆与 BC边和AB边分别交于点 D点E,连接DE(1 )当BD=3时，求线段DE的长；(2)过点E作半圆O勺切线，当切线与AC边相交时，设交点为F.求证： FAE是等腰三角形.8. 如图，在 ABC中，/ C=90,Z ABC勺平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F, O 0是厶BEF的外接圆.(1) 求证：AC是 O 0的切线；(2) 过点E作EH丄AB 垂足为H,求证：CD=HF(3) 若 CD=1, EH=3 求 BF及AF长.9. 如图，BD是O 0的直径，OAL OB h是劣弧 上一点，过点 M乍

5、O 0的切线MP交0A勺延长线于P 点，MDf 0胶于N点.(1) 求证： PM=PN；(2)若BD=4, PA= AO 过点B乍BC/ M交O O于C点，求BC勺长.10. 如图是一个量角器和一个含 30角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆0的直径DE的延长线上，AB切半圆0于点F,且BC=OE(1 )求证： DE/ CF；(2) 当0E=2寸，若以0, B, F为顶点的三角形与 ABCf似，求0B的长；(3) 若0E=2移动三角板ABCt使AB边始终与半圆0相切，直角顶点B在直径DE勺延长线上移 动，求出点B移动的最大距离.11. 如图，AB AC分别是O 0的直径和弦，点D为

6、劣弧AC点，弦DEL AB分别交O 0于E,交 ABF H,交AC于 F. P是 ED延长线上一点且 PC=PF(1) 求证：PC是O 0的切线；(2) 点D在劣弧AC十么位置时，才能使 AD2=DE?D,为什么？(3) 在(2)的条件下，若 0H=1 AH=2求弦AC的长.12. 如图，在 ABC中，/ ABC=90，以AB的中点0为圆心、0A为半径的圆交 AC于点D, E 是BC的中点，连接DE 0E(1) 判断DE与O 0的位置关系，并说明理由；( 2)求证： BC2=CD?20E；(3) 若 COS/ BAD= BE=6,求 0E的长.专题：圆与相似答案1. (1)相切，理由见解析；

7、(2) 4. ( 1 )如图，连接 0G./ 0A= 0G0GA=/ 0AG.CD丄AB,.Z AKHZ OAG= 90./ KE= GE Z KGE=Z GKE=Z AKH. Z KGEZ OGAfZ AKHZ OAG= 90 Z OGE= 90,即卩 OGL EF.又 G在圆O上， EF与圆O相切.(2) AC/ EF, / F=Z CAH Rt AHS Rt FGOCH OGAC OF35，设 AH= 3t，则心5t，CH= 4t.AH 在 Rt OAH中, -AC FB= 1 G4，解得：0G= 4.OG 15圆O的半径为4 .考点：1.等腰三角形的性质；2.切线的判定；3.相似三角形

8、的判定与性质.3 io2. （ 1）证明见解析；（2） E=4OD?OP证明见解析；（3） 3 ,匕.53【解析】试题解析：（1）如图，连接OB/ PB是OO的切线，/ PBO=9O ./ OA=OB BAI PO于 D,. AD=BDZ POA2 POB.又 PO=POA PAOA PBO（ SAS ./ PAO=/ PBO=90 . 直线 PA为OO 的切线.2(2) EF=4OD?OP 证明如下：/ PAO=z PDA=90，/ OAD# AOD=90，/ OPA+Z AOP=90 ./ OADZ OPA.OADA OPA. OA OD 即卩 oA=OD?OP.OP OA 又 EF=2O

9、A - EF2=4OD?OP.1(3) T OA=OC AD=BD BC=6 - OD BC=3 (三角形中位线定理)2设 AD=xAD 1T tan Z F=FD=2x, OA=OF=2)e 3.FD 2在 Rt AOD中，由勾股定理，得(2x - 3) 2=x2+32,解得，X1=4, X2=0 (不合题意，舍去). AD=4 OA=2x- 3=5./AC是OO直径，/ ABC=90 .口z BC 63又 AC=2OA=10 BC=6 - cos Z ACB= -AC 105/ OA2=OD?OP 3 ( PE+5) =25. PE= .33. 试题解析：(1) 证明：如图，连结 0C/

10、C是劣弧AE的中点，OCL AE,CG/ AE, CGI 0C CG是O 0的切线；(2) 证明：连结AC BC,/ AB是O 0的直径， / ACB=90 , / 2+Z BCD=90 ,而 CDLAB / B+Z BCD=90 , / B=Z 2,/ AC 弧=CE 弧， Z 1 = Z B, Z 1 = Z 2, AF=CF；(3) 解：在 Rt ADF中，Z DAF=30 , FA=FC=21 DF=丄 AF=1,2 AD=、3 DF= .、3 ,/ AF/ CG DA: AG=DF CF,即 73 : AG=1 2, AG=2 v.；3 .4. ( 1)证明：连接 AE,v AB 是

11、O O 的直径，/ AEB=90 , Z 1 + Z 2=90.v AB=AC Z 1 = 1 Z CAB tZ CBF=1 Z CAB / 1 = Z CBF, Z CBF+Z 2=90 ,即 Z ABF=90，:2 2AB是O O的直径，直线 BF是O O的切线.f5- 5(2)过点 C作 CGL AB于 G.t sin Z CBF= , Z 1 = Z CBF, sin Z 1 =，在 Rt AEB55中，Z AEB=90 , AB=5 BE=AB?sinZ 1 = 75，: AB=AC Z AEB=90 , BC=2BE=25 ,在Rt ABE中，由勾股定理得 AE=. AB2 BE2

12、 =2.5 ,AB 5AB 52=匹=空,在 Rt cbg中 ,可求得 GC=4 GB=2 AG=3 / GC/ BF , AG3A ABF,GC = AG . bf=GC AB 20BF = AB AG 3考点：1切线的判定与性质；2.勾股定理；3.圆周角定理；4.相似三角形的判定与性质;5. 试题解析：(1)如图，连接AO/ OM : MD=3:2，.可设 OM=3 k, MD=2 k (k 0)，贝U OA=OD=5 k.又弦 AB=8 直径 CDL AB于 M . AM=4.在Rt OAM中，由勾股定理可得：k=1 .圆O的半径为5 .(2) 如图，连接AE由垂径定理可知：?AEC=?

13、CAF又 ?ACF=?ACF ?AC3 ?FCA. AC CB 即卩 aC=CE?CF.CF AC 在 Rt ACM中，由勾股定理可得：AC=AM+CM=16+64=80 , CE?CF=80.6. 解：(1)证明：连接CD/ AD是O O的直径，/ ACD=90 。 / CAD+/ ADC=90。又/ PAC=/ PBA / ADC玄 PBA / PAC玄 ADCCAD+Z PAC=90。 PA 丄 OA又 AD是O O的直径， PA是O O的切线。(2 )由(1)知，PAL AD,又 CFL AD, CF/ PA。. / GCAZ PAC又/ PAC/ PBAGCA/ PBA又/ CAGZ

14、 BACCA3A BAGACABAGAC，即 aC=AG?AB/ AG?AB=12 AC2=12o. AC=2 3。(3 )设 AF=x,/AF： FD=1: 2,. FD=2xo. AD=AF+FD=3x在 Rt ACD中, v CFLAD, AC=AF?AD 即 3x2=12o解得；x=2o AF=2, AD=6 .O O半径为 3。在 Rt AFG中，v AF=2, GF=1,根据勾股定理得：AG . AF2 GF2 22 125 。由(2)知，AG?AB=12 AB1212 5AG连接BD,/ AD是OO的直径，/ ABD=90。生5 sin Z ADB去。55AB在 Rt ABD中，

15、T sin / ADB= , AD=6 AB AD2 f5/Z ACE玄 ACB玄 ADB sin Z ACE么57. ( 1)解：/Z C=90 , AC=3 BC=4 AB=5,/ DB为直径， Z DEB玄 C=90 ,又/Z B=Z B, DBEA ABC DE=(2)证法一：连接OE/ EF为半圆O的切线， Z DEO-Z DEF=90 , Z AEF=Z DEO/ DBEA ABC Z A=Z EDB又/Z EDOZ DEO Z AEF=Z A , FAE是等腰三角形；证法二：连接OE/ EF为切线， Z AEF-Z OEB=90 ,/Z C=90 , Z A-Z B=90 ,/

16、OE=OB Z OEBZ B , Z AEF=Z A , FAE是等腰三角形.8. 证明：(1)如图，连接OE/ BE丄 EF, Z BEF=90 , BF是圆O的直径./ BE 平分Z ABC, Z CBE玄 OBE/ OB=OE/ OBE=/ OEB/ OEB=/ CBEOE/ BC,/ AEO=/ C=90 , AC是O O的切线；(2) 如图，连结DE/ CBE玄 OBE ECL BC于 C, EFU AB于 H, EC=EH/ CDE+Z BDE=180，/ HFE+Z BDE=180 ,/ CDE=/ HFE在厶 CDE-与 HFE中， CDEA HFE( AAS ,CD=HF(3

17、) 由(2)得 CD=HF 又 CD=1 HF=1,在 Rt HFE中，EF=；：牟 .,/ EFL BE,/ BEF=90 ,/ EHF=/ BEF=90 ,/ EFH=/ BFE, EHFA BEF,-=,即=, BF=10, OE=BF=5 OH=5-仁4, Rt OHE中 , cos/ EOA= Rt EOA中 , cos/ EOA=,=, OA=,* AF= -5=.9. ( 1)证明：连接OM/ MP是圆的切线， OML PM / OMD/ DMP=90 ,/ OA! OB / OND/ ODM=9 ,/ MNP/ OND / ODM/ OMD / DMP/ MNP PM=PN(2

18、)解：设BC交OM于E,/ BD=4, OA=OB=BD=2 PA=3, PO=5;/ BC/ MP OML MP OML BC, BE=BC / BOM# MOP=9 , 在直角三角形OM冲，/ MPO# MOP=9 ,/ BOM# MPO/ BEO# OMP=9 , OM BEOOf _ fit 帀_血解得：BE= BC=10. (1)证明：连接OF, AB切半圆O于点F，OF是半径, # OFB=90 ,# ABC=90 , # OFB玄 ABC OF/ BC,/ BC=OE OE=O F BC=OF四边形OBCF是平行四边形， DE/ CF;(2)解：若 OB3A ACB OB=# A=30, # ABC=90 , BC=OE=2 AC=4, AB=2 .又 OF=OE=24X1 OB=；若厶 BOFA ACB/ OB=4X2 OB= =4;综上,OB或4;(3) 解：画出移动过程中的两个极值图，由图知：点B移动的最大距离是线段 BE的长， # A=30, # ABO=30 , BO=4, BE=2,点B移动的最大距离是线段 BE的长为2.11. (1)证明：连接0C/ PC=PF OA=OC/ PCA玄 PFC / OCAM OAC/ PFC=/ AFH DEL AB,/ AHF=90 ,