反常积分的审敛法[实用知识]

1、二、无界函数反常积分的审敛法二、无界函数反常积分的审敛法 反常积分 无穷限的反常积分 无界函数的反常积分 一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法 第五节第五节 反常积分的审敛法 函数 第五五章 1技术教学 一、无穷限的广义积分的审敛法一、无穷限的广义积分的审敛法 收敛收敛上有界，则广义积分上有界，则广义积分在在 若函数若函数且且 上连续，上连续，在区间在区间定理设函数定理设函数 a x a dxxfa dttfxFxf axf )(), )()(0)( ),)( 不通过被积函数的原函数判定广义积分收不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法敛性的判定方法. 由定理由定理

2、1，对于非负函数的无穷限的广义积，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理分有以下比较收敛原理 2技术教学 也发散也发散发散，则发散，则且且 并并也收敛；如果也收敛；如果 收敛，则收敛，则并且并且 上连续，如果上连续，如果区间区间 在在、设函数设函数比较审敛原理比较审敛原理定理定理 aa aa dxxfdxxg xaxfxg dxxfdxxgx axgxfa xgxf )()( ),()()(0 )()(), ()()(0), )()()(2 证证 .)()()( )()()(0 a b a b a a dxxgdxxgdxxf dxxgxgxfba 收敛，得收敛，得 及及，由，由设

3、设 上有上界上有上界在在即即),)()( adxxfbF b a 3技术教学 由定理知由定理知收敛收敛 a dxxf)( .)( ,)(),()(0 必定发散必定发散则则 发散发散且且如果如果 a a dxxf dxxgxfxg 也收，这与假设矛盾也收，这与假设矛盾 收敛，由第一部分知收敛，由第一部分知如果如果 a a dxxg dxxf )( )( 例如，例如， 时发散时发散当当 时收敛；时收敛；当当 广义积分广义积分 1 1 )0( P p a x dx a p 4技术教学 发散发散则则 ，使得，使得常数常数 收敛；如果存在收敛；如果存在则则 ，使得，使得及及存在常数存在常数 如果如果上连

4、续，且上连续，且 在区间在区间设函数设函数比较审敛法比较审敛法定理定理 a a p dxxf xa x N xfN dxxfxa x M xfpM xfaa xf )( )()(0 )(),( )(10 . 0)()0(), )()(3 5技术教学 例例 . 1 1 34 的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分 x dx 解解 , 11 1 1 0 3/4 3434 xxx , 1 3 4 p 根据比较审敛法，根据比较审敛法， . 1 1 34 收敛收敛广义积分广义积分 x dx 6技术教学 发散发散 则则或或如果如果 收敛；收敛；存在，则存在，则使得使得 ，如果存在常数如果存在常数上连续，

5、且上连续，且 在区间在区间设函数设函数极限审敛法极限审敛法定理定理 a xx a p x dxxf xxfdxxf dxxfxfx pxfa axf )( ),)(lim(0)(lim )()(lim 1. 0)()0( ),)()(4 例例 . 1 1 2 的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分 xx dx 解解, 1 1 1 lim 2 2 xx x x 所给广义积分收敛所给广义积分收敛 7技术教学 例例. 1 1 2 2/3 的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分dx x x 解解 2 2 2 2/3 1 lim 1 lim x xx x x x xx , 根据极限审敛法，所给广义积

6、分发散根据极限审敛法，所给广义积分发散 例例. arctan 1 的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分dx x x 解解x x x x xx arctanlim arctan lim , 2 根据极限审敛法，所给广义积分发散根据极限审敛法，所给广义积分发散 8技术教学 也收敛也收敛收敛；则收敛；则如果如果 上连续，上连续，在区间在区间设函数设函数定理定理 aa dxxfdxxf axf )()( ),)(5 证证).)()( 2 1 )(xfxfx 令令 , )()(0)(xfxx ，且且,)(收敛收敛dxxf a .)(也收敛也收敛dxx a , )()(2)(xfxxf 但但 ,)()

7、(2)( b a b a b a dxxfdxxdxxf .)()(2)( aaa dxxfdxxdxxf 即即收敛收敛. 9技术教学 . )(5 称为绝对收敛称为绝对收敛 条件的广义积分条件的广义积分满足定理满足定理定义定义 a dxxf 必定收敛必定收敛绝对收敛的广义积分绝对收敛的广义积分 a dxxf)( 例例5 .)0 ,(sin 0 的收敛性的收敛性常数常数 都是都是判别广义积分判别广义积分 a badxbxe ax 解解.,sin 0 收敛收敛而而 dxeebxe axaxax .sin 0 收敛收敛 dxbxe ax 所以所给广义积分收敛所以所给广义积分收敛. 10技术教学 二、

8、无界函数的广义积分的审敛法二、无界函数的广义积分的审敛法 .)( ),( )( )(10 )(), ( )( )(10 .)(lim, 0)( ,()()2(6 0 发散发散则广义积分则广义积分 ，使得，使得及及 收敛；如果存在常数收敛；如果存在常数则广义积分则广义积分 ，使得，使得及及常数常数 如果存在如果存在上连续，且上连续，且 在区间在区间设函数设函数比较审敛法比较审敛法定理定理 b a q b a q ax dxxf bxa ax N xfqN dxxfb xa ax M xfqM xfxf baxf 11技术教学 发散发散分分 则广义积则广义积或或 ，使得，使得如果存在常数如果存在常

9、数 收敛；收敛；则广义积分则广义积分存在存在 ，使得，使得如果存在常数如果存在常数 上连续，且上连续，且 在区间在区间设函数设函数极限审敛法极限审敛法定理定理 b a q ax q ax b a q ax ax dxxf xfaxd xfaxq dxxf xfaxq xfxfba xf )( ),)()(lim(0 )()(lim1 )(, )()(lim10 .)(lim, 0)(,( )()2( 0 0 0 0 12技术教学 例例6. ln 3 1 的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分 x dx 解解的左邻域内无界的左邻域内无界被积函数在点被积函数在点1 x 由洛必达法则知由洛必达法则

10、知 x x x xx1 1 lim ln 1 )1(lim 0101 , 01 根据极限审敛法根据极限审敛法2,所给广义积分发散所给广义积分发散. 13技术教学 例例7. 1 sin 3 1 的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分dx x x 解解 也收敛也收敛从而从而dx x x 1 0 1 sin 收敛，收敛，而而 1 , 1 1 sin x dx xx x 收敛，收敛，dx x x 1 0 1 sin 根据比较审敛原理根据比较审敛原理, 14技术教学 例8. 判定椭圆积分判定椭圆积分) 1( )1)(1 ( d 2 1 0222 k xkx x 散性 . 解解:,1为瑕点此处x由于 1

11、 lim x 的敛 2 1 ) 1( x )1)(1 ( 1 222 xkx )1)(1 ( 1 lim 22 1xkxx )1 (2 1 2 k 根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 . 15技术教学 类似定理类似定理5, 有下列结论有下列结论: ,)(d)( b a axxf收敛为瑕点若反常积分 例例9. 判别反常积分 x x x d ln1 0 的敛散性 . 解解: ,d)( b a xxf收敛称为绝对收敛 . ,0为瑕点此处x,0lnlim 4 1 0 xx x 因 , 1ln, 4 1 xxx 有的 故对充分小 从而 4 1 4 1 lnln x xx x x 4 1 1 x 据比较

12、审敛法2, 所给积分绝对收敛 . 则反常积分 16技术教学 )0()( 0 1 sdxxes sx 定义定义 特点特点: 1.积分区间为无穷积分区间为无穷; . 001. 2 右领域内无界右领域内无界 的的时被积函数在点时被积函数在点当当 xs , 1 1 2 1 0 1 1 dxxeIdxxeI sxsx 设设 ;,1)1( 1 是常义积分是常义积分时时当当Is ,10时时当当 s 函数函数三、三、 17技术教学 , 111 11 1 sxs sx xex xe ., 2, 11 1 收收敛敛根根据据比比较较审审敛敛法法而而Is , 0lim)(lim)2( 1 12 x s x sx x

13、e x xex ., 1 2 也也收收敛敛根根据据极极限限审审敛敛法法I .0 )2(),1( 0 1 均收敛均收敛对对 知知由由 sdxxe sx s )(s o 18技术教学 函数的几个重要性质：函数的几个重要性质： ).0()()1( ssss递推公式递推公式 .)(0 ss时，时，当当 ).10( sin )1()(3 s s ss余元公式余元公式 .2)( )( 0 12 2 0 1 2 duues uxdxxes su sx 有有 ，中，作代换中，作代换在在 19技术教学 四、小结四、小结 比较审敛法极限审敛法 无穷限的广义积分审敛法 比较审敛法极限审敛法 无界函数的广义积分审敛法 广广义义积积分分审审敛敛法法 绝对收敛绝对收敛 20技术教学 练练 习习 题题 ; 23 . 4; )(ln . 3 ; 1 sin. 2; 1 . 1 2 1 32 2 1 3 1 2 0 24 2 xx dx x dx dx x dx xx x 的收敛性：的收敛性：一、判别下列广义积分一、判别下列广义积分 .) 1 (ln. 2);0(. 1 1 00 dx x ndxe pxn 收敛范围：