同济大学第五高等数学下D对坐标曲面积分PPT学习教案

1、会计学1 同济大学第五高等数学下同济大学第五高等数学下D对坐标曲面积对坐标曲面积 分分 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带莫比乌斯带 曲面分上侧和 下侧 曲面分内侧 和外侧 曲面分左侧和 右侧 (单侧曲面的典型) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共28页 其方向用法向量指向 方向余弦 coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧 外侧 内侧 设 为有向曲面, ,)( yx S S yx S)( 侧的规定 表示 : 其面元 在 xoy 面上的投影记为 ,0)( yx yx S)( 的面积为 则规定 ,)( yx ,)( yx ,0 时当0cos 时当0co

2、s 时当0cos 类似可规定 zxyz SS)( ,)( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共28页 1. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 的流量 . S 分析分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量 法向量: 流速为常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosn v cosvS nvS n v 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共28页 用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” n i 1 0 lim 0 lim n i 1 iiii Pcos),( iiii Rcos),( 0 lim n i

3、 1 zyiiii SP)(,( xziiii SQ)(,( yxiiii SR)(,( iiii Qcos),( i S 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 进行分析可得 i n i v iii Snv )cos,cos,(cos iiii n设 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共28页 设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点, 0 lim n i 1 zyiiii SP)(,( xziiii SQ)(,( 分, yxRxzQzyPdddddd 记作 P, Q, R 叫做被积函数被积函数; 叫做

4、积分曲面积分曲面. yxiiii SR)(,( 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 xd ydzd P Q R ),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共28页 引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为 zyPdd xzQdd 称为Q 在有向曲面上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分; yxRdd 称为R 在有向曲面上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分. 称为P 在有向曲面上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分; yxRxzQzyPdddddd 若记 正侧正侧的单位法向量为

5、 令 )cos,cos,cos(n )dd,dd,d(dddyxxzzySnS ) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共28页 (1) 若 , 1 k i i k i 1 之间无公共内点, 则 i 且 (2) 用 表示 的反向曲面, 则 SA d SASAdd i SA d yxRxzQzyPdddddd SnAd SA d 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共28页 定理定理: 设光滑曲面 yx Dyxyxzz),( , ),(: 取上侧, ),(zyxR 是 上的连续函数, 则

6、 yxzyxRdd),() ,( yx D yxR),(yxz yxdd 证证: 0 lim n i 1 yxiiii SR)(,( yxi S )( yxi) ( 取上侧, ),( iii z 0 lim n i 1 ) ,( ii R),( ii z yxi) ( yxx,yzyxR yx D dd)(,( yxzyxRdd),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共28页 若 ,),( , ),(: zy Dzyzyxx 则有 zyzyxPdd),(), (zy,P zy D ),(zyxzydd 若 ,),( , ),(: xz Dxzxzyy 则有 xzzyxQdd),()

7、 z, ,( xz D xQ),(xzyxzdd (前正后负) (右正左负) 说明说明: 如果积分曲面 取下侧, 则 yxzyxRdd),() ,( yx D yxR),(yxzyxdd 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共28页 yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)( 其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方 体的整个表面的外侧. 解解: 利用对称性. 原式 yxxzdd)(3 的顶部 ),(: 222 1 aaa yxz 取上侧 的底部 ),(: 222 2 aaa yxz 取下侧 1 dd)(3yxxz yx D yxx a dd) 2 (3 yxxz 2 dd)

8、( yxx a yx D dd) 2 ( yx D yxadd3 3 3a x z y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共28页 解解: 把 分为上下两部分 22 1 1:yxz 根据对称性 0dd yxxyz 思考思考: 下述解法是否正确: ,dd yxxyz 其中 为球面 2 x 外侧在第一和第八卦限部分. o z y x 1 1 2 yx D 0,0 1 :),( 22 yx yx Dyx yx 22 2 1:yxz 1 22 zy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共28页 yx D yxyxyxdd 12 22 22 1cossin2rr yx D rrrd

9、1 2 1 0 3 15 2 2 0 d2sin o z y x 1 1 2 yx D yxzyxdd 2 ddyxzyx 1 ddyxzyx yx D yxxydd )1( 22 yx yx D yxxydd 22 1yx ddrr 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共28页 1 222 zyx 的外侧 , 计算 S xx zy I 2 cos dd2 解解: 利用轮换对称性, 有 S xx zy 2 cos dd2 0 cos dd cos dd 22 SS z yx y xz S zz yx I 2 cos dd 1 0 222 1cos1 d rr rr 1 0 22 2

10、1cos 1d 4 r r 1tan4 y xz 2 cos dd zz yx 2 cos dd , cos dd2 2 S zz yx 1 22222 221cos1 dd yx yxyx yx 2 0 d2 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共28页 n i 1 zyiiii SP)(,( xziiii SQ)(,( yxRxzQzyPdddddd yxiiii SR)(,( 0 lim 0 lim n i 1 iiii Pcos),( iiii Qcos),( iiii Rcos),( i S SRQPdcoscoscos 曲面的方向用法向量的方向余弦刻画 机动 目录 上

11、页 下页 返回 结束 第14页/共28页 令 yxRxzQzyPdddddd SRQPdcoscoscos SAnd 向量形式 ),(RQPA )cos,cos,(cosn )dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA d nAAn SnAd ( A 在 n 上的投影) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共28页 解解: S r q d 2 S R q d 2 q4 。 q )(),( 222 33 zyxrzyx r q r r q E 求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 . SE d SnEdS r r d r r q 3 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1

12、6页/共28页 y x z 1 1 1 ,1: 22 yxz 是其外法线与 z 轴正向 夹成的锐角, 计算 .dcos 2 SzI 解解: SzIdcos 2 yxzdd 2 rrrd)1(d 2 1 0 2 0 2 yx D yxyxdd)1( 22 n 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共28页 22 1 cos yx x 其中 解解: 利用两类曲面积分的联系, 有 zyxzdd)( 2 Sdcos yxdd cos cos o y x z 2 原式 = )( x )( 2 xzyxzdd ,dddd)( 2 yxzzyxz 旋转抛物面 )( 22 2 1 yxz 介于平面 z

13、= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. )( 2 xz 22 1 1 cos yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共28页 )( xx yx D 222 )( 4 1 yx o y x z 2 原式 = )( 22 2 1 yx yxyxx yx D dd)( 22 2 1 2 rrrrd)cos( 2 2 1 2 2 0 2 2 0 d 8 yxdd 得代入将,)( 22 2 1 yxz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共28页 定义定义: Szyxfd),( iii n i i Sf ),(lim 1 0 yxRxzQzyPdddddd zy iiii n

14、i SP ),(lim 1 0 yx iiii SR),( 1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系 xz iiii SQ),( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共28页 yxRxzQzyPdddddd yxRxzQzyPdddddd 联系联系: yxRxzQzyPdddddd SRQPdcoscoscos 思考思考: 的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ? 两类曲线积分的定义一个与 的方向无关, 一个与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共28页 面积分 第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 二重积分 (1) 统一积分变量 代入曲面方程 (方程不同时分片积分)

15、 (2) 积分元素投影 第一类： 面积投影 第二类： 有向投影 (4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况. 转化 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共28页 yx Dyxyxzz),( , ),(: 时， yxzzyxzyxfSzyxf yx D yx dd1),(,(d),( 22 yxyxzyxRyxzyxR yx D dd),(,(dd),( （上侧取“+”, 下侧取“”) 类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共28页 1. P167 题2 提示提示: 设

16、 ,),( ,0: yx Dyxz 则 取上侧时, yxzyxRdd),( yx D yxyxRdd),(0 取下侧时, yxzyxRdd),( yx D yxyxRdd),(0 2. P184 题 1 3. P167 题3(3) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共28页 ,),(Czyxf 是平面 1zyx 在第四卦限部分的上侧 , 计算 zyxzyxfIdd),( xzyzyxfdd),(2 yxzzyxfdd),( 提示提示:求出 的法方向余弦, 转化成第一类曲面积分 作业作业 P167 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2) SzyxId)( 3 1 Sd 3 1 yx x d3d 0 1 1 0 3 1 2 1 第六节 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共28页 , dddddd z yx y xz x zy I 1: 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 取外侧 . 解解: z yxdd dxdy cyx D b y a x , 2 2 2 2 1 11 dxdy cyx D b y a x , 2 2 2 2 1 11 yx cyx